动态规划(投资分配问题).ppt

第21讲动态规划,投资分配问题,ACM算法设计与分析王建芳,投资分配问题,现有数量为a（万元）的资金，计划分配给n个工厂,用于扩大再生产。假设：xi为分配给第i个工厂的资金数量（万元）；gi(xi)为第i个工厂得到资金后提供的利润值（万元）。问题：如何确定各工厂的资金数，使得总的利润为最大。,据此，有下式：,令：fk(x)表示以数量为x的资金分配给前k个工厂，所得到的最大利润值。用动态规划求解，就是求fn(a)的问题。,当k=1时，f1(x)=g1(x)（因为只给一个工厂）,当1kn时，其递推关系如下：设：y为分给第k个工厂的资金（其中0yx），此时还剩xy（万元）的资金需要分配给前k1个工厂,如果采取最优策略，则得到的最大利润为fk1(xy),因此总的利润为：gk(y)fk1(xy),投资分配问题,如果a是以万元为资金分配单位，则式中的y只取非负整数0，1，2，x。上式可变为：,所以，根据动态规划的最优化原理，有下式：,投资分配问题,设国家拨给60万元投资，供四个工厂扩建使用，每个工厂扩建后的利润与投资额的大小有关，投资后的利润函数如下表所示。,依据题意，是要求f4(60)。,投资分配问题,按顺序解法计算。第一阶段：求f1(x)。显然有f1(x)g1(x)，得到下表,第二阶段：求f2(x)。此时需考虑第一、第二个工厂如何进行投资分配，以取得最大的总利润。,投资分配问题,最优策略为（40，20），此时最大利润为120万元。,同理可求得其它f2(x)的值。,投资分配问题,最优策略为（30，20），此时最大利润为105万元。,投资分配问题,最优策略为（20，20），此时最大利润为90万元。,最优策略为（20，10），此时最大利润为70万元。,投资分配问题,最优策略为（10，0）或（0，10），此时最大利润为20万元。,f2(0)0。最优策略为（0，0），最大利润为0万元。得到下表,最优策略为（20，0），此时最大利润为50万元。,投资分配问题,第三阶段：求f3(x)。此时需考虑第一、第二及第三个工厂如何进行投资分配，以取得最大的总利润。,投资分配问题,最优策略为（20，10，30），最大利润为155万元。,同理可求得其它f3(x)的值。得到下表,投资分配问题,第四阶段：求f4(60)。即问题的最优策略。,投资分配问题,最优策略为（20，0，30，10），最大利润为160万元。,投资分配问题,THANKS,