不定积分总结 .docx

不定积分总结 1.求不定积分不定积分 目的要求 1.理解原函数的定义，知道原函数的性质，会求简单函数的原函数。2.理解不定积分的概念，掌握不定积分的线性性质，会用定义求简单函数的不定积分。内容分析 1.不定积分是一元函数微积分学的基本内容，本章教材是在学生已掌握求导数方法的基础上，研究求原函数或不定积分的。故学好“导数与微分”是学好不定积分的前提，教学时，要与“导数与微分”一章的有关内容进行对照。2.本节教学重点是原函数和不定积分的概念教学，难点是原函数的求法，突破难点的关键是紧紧扣住原函数的定义，逆用求导公式，实现认知结构的理顺，由于逆运算概念学生并不陌生，因此教学中要充分利用思维定势的积极因素并引入教学。另外，本节切勿提高教学难度，因为随着后续学习的深入，积分方法多，无需直接用定义求不定积分。3.本节教学要始终抓住一条主线：“求导数与求原函数或不定积分（在不计所加任意常数时）互为逆运算”。强调求不定积分时，不要漏写任意常数C；另外，要向学生说明：求一个函数的不定积分，允许结果在形式上不同，但结果的导数应相等。指出这点是有益的，一方面使学生会检查得到的不定积分是否正确，另一方面消除学生由于所得不定积分形式的不同而产生的疑问。4.根据本节知识的抽象性，教学中应充分安排学生进行观察、联想、类比、讨论等课堂活动，使之参与到概念的发现过程，体会知识的形成过程，本着这一原则，本节课宜采用引导发现法进行教学。教学过程 1.创设情境，引入新课 （1）引例（见解本章头）。用多媒体显示引例图象，提出问题，激起学生求知欲望，揭示并板书课题。（2）介绍微积分产生的时代背景，弘扬科学的学习态度和钻研精神。2.尝试探索，建立新知 （1）提出问题：已知某个函数的导数，如何求这个函数？ （2）尝试练习：求满足下列条件的函数F(*) （3）解决问题：上述练习是完成与求导数相反的逆运算。因此，解决问题的方法仍为求导数。（4）形成定义：详见课本“原函数”的定义 对于原函数的定义，教师应强调下列三点： 第一，F(*)与f(*)是定义在同一区间I上，这里的区间I可以是闭区间或半闭区间或开区间。第二，F(*)是f(*)的一个原函数，不是所有的原函数 第三，求原函数（在不计所加常数C的情况下）与求导数互为逆运算。（5）简单应用： 例1 求下列函数的一个原函数 小结解法：根据定义，求函数f(*)的原函数，就是要求一个函数F(*)，使它的导数F(*)等于f(*)。(6)讨论问题：已知函数f(*)的一个原函数F(*)，那么函数f(*)是否还有其他原函数？举例说明。（略） （7）归纳性质： 一般地，原函数有下面的性质： 设F(*)是函数f(*)在区间I上的一个原函数，对于任意常数C,F (*)+C也是f(*)的原函数，并且f(*)在区间I上任何一个原函数都可以表示成F(*)+C的形式。教师强调：一个函数虽然有无穷多个原函数，但是我们只要求出其中的一个就行，其他的原函数都可以由这个原函数再加上一个常数得到，这样就给出了求已知函数的所有原函数的方法。3.类比分析，拓广知识 根据原函数的性质，类比引入不定积分的概念 （1）讲解不定积分的有关概念：不定积分、积分号、被积函数、积分变量、被积式、积分常数等（详见课本） 对于不定积分的定义，教师说明如下： 第一，函数f(*)的不定积分 等于函数f(*)的所有原函数F (*)+C，常数C不要漏写，F(*)只能表示一个原函数，这也正是原函数和不定积分的区别；不定积分记号， 由积分记号“ ”和被积式“f(*)d*”构成，书写时不要漏掉d*. 第二，在不定积分 中，积分变量是*；在不定积分 中，积分变量是*，被积分函数 是关于*的指数函数；在 中，积分变量是u，被积函数 是关于u的幂函数。（2）推导不定积分的性质 性质1： 证明：设函数f(*)的一个原函数为F(*)，即F(*)= f(*) 由不定积分的定义得 性质2： 证明（略） 上述两个性质表明：求导数与求不定积分（在不计所加的任意常数时）互为逆运算。因此，求不定积分时，常常利用导数与不定积分的这种互逆关系，验证所求的不定积分是否正确。4.例题评价，反馈训练 例2 如果在区间（a,b）内，恒有f(*) = g(*)，则一定有（B） A.f(*)=g(*) B.f(*)=g(*)+C C. D.f(*)=Cg(*) 例3 求下列不定积分 （1） (2) 小结解法： （1）求不定积分时，都要在结果上写上任意常数C。本章凡是没有特别说明时，所加的C均表示任意常数。（2）求一个函数的不定积分，由于方法不同，它的结果在形式上往往也不同。这种形式上不同的结果，可以用求它们的导数的方法，看其导数是否相同，如果导数相同，就说明结果是正确的。课堂练习：教科书练习第1、3、4题 例4 已知f(*)是二次函数，且 ，求f(*)的解析式 解：由不定积分的性质得 5.归纳总结，巩固提高 （1）一条主线：求导数与求不定积分（在不计所加任意常数时）互为逆运算。（2）二组概念：原函数的定义和性质，不定积分的定义和性质。（3）三个注意：一是注意一个函数的原函数有无穷多个，。2.求这个不定积分有几种方法去求积分。最常见的是三角代换： 设*=asint, d*=acostdt 代入 原积分=积分 a2sin2t(acost)(acostdt) =积分a4 (sin(2t)2/4 dt =积分a4/4*1-cos(4t)/2 dt =积分a4/8 1-cos(4t) =a4/8*t-sin(4t)/4+C =a4/8*arcsin(*/a)-*根号a2-*2*(1-2*2)+C 最后一个表达式用到了sin(4t)=2sin(2t)cos(2t)=4sintcost(1-2sin2t).。