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第8练突难点抽象函数与函数图象题型分析高考展望抽象函数即没有函数关系式，通过对函数性质的描述，对函数相关知识进行考查，此类题目难度较大，也是近几年来高考命题的热点.对函数图象问题，以基本函数为主、由基本函数进行简单的图象变换，主要是平行变换和对称变换，这样的题目都离不开函数的单调性与奇偶性.常考题型精析题型一与函数性质有关的简单的抽象函数问题例1(1)(2014湖南)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)等于()A.3 B.1C.1 D.3(2)(2014课标全国)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数点评抽象函数的条件具有一般性，对待选择题、填空题可用特例法、特值法或赋值法.也可由函数一般性质进行推理.变式训练1已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的()A.既不充分也不必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.充要条件题型二与抽象函数有关的综合性问题例2(2014辽宁)已知定义在0,1上的函数f(x)满足：f(0)f(1)0；对所有x，y0,1，且xy，有|f(x)f(y)|xy|.若对所有x，y0,1，|f(x)f(y)|0，都有f(2x)2f(2x)，已知f(1)4，那么f(3)等于()A.2 B.2 C.8 D.83.对于函数yf(x)，xR，“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2015课标全国)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A.(，1)(0,1)B.(1,0)(1，)C.(，1)(1,0)D.(0,1)(1，)5.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A.f(x)|g(x)|是偶函数B.f(x)|g(x)|是奇函数C.|f(x)|g(x)是偶函数D.|f(x)|g(x)是奇函数6.函数y的图象大致是()7.定义在R上的偶函数f(x)满足f(2x)f(x)，且在3，2上是减函数，是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是()A.f(sin )f(cos ) B.f(sin )f(cos )C.f(cos )f(cos )8.函数f(x)的定义域为A，若x1，x2A且f(x1)f(x2)时总有x1x2，则称f(x)为单函数.例如，函数f(x)2x1(xR)是单函数.下列命题：函数f(x)x2(xR)是单函数；若f(x)为单函数，x1，x2A且x1x2，则f(x1)f(x2)；若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数.其中的真命题是_.(写出所有真命题的序号)9.已知g(x)x24，f(x)为二次函数，满足f(x)g(x)f(x)g(x)0，且f(x)在1,2上的最大值为7，则f(x)的解析式为_.10.方程1的曲线即为函数yf(x)的图象，对于函数yf(x)，有如下结论：f(x)在R上单调递减；函数F(x)4f(x)3x不存在零点；函数yf(x)的值域是R；f(x)的图象不经过第一象限.其中正确的有_.11.函数yf(x)为定义在R上的减函数，函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称，x，y满足不等式f(x22x)f(2yy2)0，M(1,2)，N(x，y)，O为坐标原点，则当1x4时，的取值范围为_.12.已知函数yf(x)(xR)为奇函数，且对定义域内的任意x都有f(1x)f(1x).当x(2,3)时，f(x)log2(x1)，给出以下4个结论：函数yf(x)的图象关于点(k,0)(kZ)成中心对称；函数yf(x)是以2为周期的周期函数；当x(1,0)时，f(x)log2(1x)；函数yf(|x|)在(k，k1)(kZ)上单调递增，则正确结论的序号是_.答案精析第8练突难点抽象函数与函数图象常考题型精析例1(1)C(2)C解析(1)f(x)g(x)x3x21，f(x)g(x)x3x21.f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)f(x)，g(x)g(x).f(x)g(x)x3x21.f(1)g(1)1111.(2)A：令h(x)f(x)g(x)，则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)是奇函数，A错.B：令h(x)|f(x)|g(x)，则h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函数，B错.C：令h(x)f(x)|g(x)|，则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，h(x)是奇函数，C正确.D：令h(x)|f(x)g(x)|，则h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，h(x)是偶函数，D错.变式训练1D f(x)在R上是偶函数，f(x)的图象关于y轴对称.f(x)为0,1上的增函数，f(x)为1,0上的减函数.又f(x)的周期为2，f(x)为区间14,043,4上的减函数.f(x)为3,4上的减函数，且f(x)的周期为2，f(x)为1,0上的减函数.又f(x)在R上是偶函数，f(x)为0,1上的增函数.由知“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的充要条件.例2B取y0，则|f(x)f(0)|x0|，即|f(x)|x，取y1，则|f(x)f(1)|x1|，即|f(x)|(1x).|f(x)|f(x)|xx，|f(x)|.不妨取f(x)0，则0f(x)，0f(y)，|f(x)f(y)|0，要使|f(x)f(y)|0时，1x0.当g(x)0.故g(x)0或1x0时均有f(x)0，可排除选项B；当x2时，y1，当x4时，y，但从选项D的函数图象可以看出函数在(0，)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.7.B 因为f(x)为R上的偶函数，所以f(x)f(x)，又f(2x)f(x)，所以f(x2)f(2(x2)f(x)f(x)，所以函数f(x)以2为周期，因为f(x)在3，2上是减函数，所以f(x)在1,0上也是减函数，故f(x)在0,1上是增函数，因为，是钝角三角形的两个锐角，所以，则0sin sincos 1，故f(sin )f(cos )，选B.8.解析当f(x)x2时，不妨设f(x1)f(x2)4，有x12，x22，此时x1x2，故不正确；由f(x1)f(x2)时总有x1x2可知，当x1x2时，f(x1)f(x2)，故正确；若bB，b有两个原象时，不妨设为a1，a2，可知a1a2，但f(a1)f(a2)，与题中条件矛盾，故正确；函数f(x)在某区间上具有单调性时整个定义域上不一定单调，因而f(x)不一定是单函数，故不正确.故答案为.9.f(x)x22x4或f(x)x2x4解析设f(x)ax2bxc(a0)，则由题意可得f(x)g(x)f(x)g(x)2ax22c2x280，得a1，c4.显然二次函数f(x)在区间1,2上的最大值只能在x1时或x2时取得.当x1函数取得最大值7时，解得b2；当x2函数取得最大值7时，解得b，所以f(x)x22x4或f(x)x2x4.10.解析由方程1可知，x，y不可能同时大于0，分类讨论：当x0，y0时，1表示双曲线的一部分；当x0，y0时，1表示椭圆的一部分；当x0，y0时，1表示双曲线的一部分；作出图象可知正确，对于的判断：由于yx是双曲线1和1的渐近线，所以结合图形可知曲线yf(x)与直线yx没有交点，则F(x)4f(x)3x不存在零点.11.0,12解析yf(x1)的图象关于(1,0)对称，yf(x)关于原点对称是奇函数，又f(x)为R上的减函数，f(x22x)f(y22y)，x22xy22y，|x1|y1|.又1x4，(x，y)满足的可行域如图.又x2y，当直线x2y0过A(4，2)时有最小值0，当直线x2y0过B(4,4)时有最大值12.0x2y12.12.解析因为f(1x)f(1x)，yf(x) (xR)为奇函数，所以f(x)f(2x)，f(2x)f(x)，f(2x)f(x)，所以yf(x)(xR)是以2为周期的周期函数，正确；所以f(2kx)f(x)，f(xk)f(xk)f(kx)，所以f(xk)f(kx)，即函数yf(x)的图象关于点(k,0)(kZ)成中心对称，正确；当x(1,0)时，2x(2,3)，f(x2)f(2x)，函数yf(x)的图象关于点(2,0)成中心对称；所以f(x)f(x2)f(2x)log2(2x1)log2(1x)，正确；函数yf(|x|)是偶函数，在关于原点对称的区间上的单调性相反，所以不正确.
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