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第19练解三角形问题题型分析高考展望正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题；三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命题的重点和热点.常考题型精析题型一活用正弦、余弦定理求解三角形问题例1(1)(2015广东)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2，cos A且bc，则b等于()A.3 B.2C.2 D.(2)(2014山东)ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a3，cos A，BA.求b的值；求ABC的面积.点评在根据正弦、余弦定理解三角形问题中，要结合大边对大角进行判断.一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，有两解，已知大角求小角有一解；在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止增解等扩大范围的现象发生.变式训练1(2015课标全国)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，BD2DC.(1)求；(2)若BAC60，求B.题型二正弦、余弦定理的实际应用例2如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？点评解三角形中的实际问题四步骤：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.变式训练2(2014四川)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于_m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)题型三解三角形与其他知识的交汇例3(2015长春模拟)已知向量m(cos x，1)，n，函数f(x)(mn)m.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a1，c，且f(A)恰是函数f(x)在上的最大值，求A，b和ABC的面积.点评解三角形问题与三角函数性质、向量、不等式、立体几何、数列等知识结合交汇，是近年来高考的新题型，对于这种问题要细心读题，弄清问题实质，一般都以其他知识为载体，主体还是利用正弦、余弦定理解三角形，所以将问题转化为解三角形是关键.变式训练3(2015陕西)ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m(a，b)与n(cos A，sin B)平行.(1)求A；(2)若a，b2，求ABC的面积.高考题型精练1.(2015北京改编)在ABC中，a4，b5，c6，则等于()A. B.2 C.1 D.2.(2015重庆改编)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，则c等于()A.2 B.3 C. D.43.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C2A，cos A，b5，则ABC的面积为()A. B. C. D.4.(2014江西)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a2b，则的值为()A. B.C.1 D.5.(2014课标全国)钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC等于()A.5 B. C.2 D.16.在ABC中，|3，则ABC面积的最大值为()A. B.C. D.37.(2014天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bca,2sin B3sin C，则cos A的值为_.8.(2015江苏)设向量ak(k0,1,2，12)，则(akak1)的值为_.9.(2014课标全国)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_.10.设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，a，则b2c2的取值范围为_.11.(2014重庆)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且abc8.(1)若a2，b，求cos C的值；(2)若sin Acos2sin Bcos22sin C，且ABC的面积Ssin C，求a和b的值.12.(2015南京模拟)如图所示，某小区准备将闲置的一直角三角形(其中B，ABa，BCa)地块开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分有公共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形(AMN和AMN)，现考虑方便和绿地最大化原则，要求M点与B点不重合，A落在边BC上，设AMN.(1)若时，绿地“最美”，求最美绿地的面积；(2)为方便小区居民的行走，设计时要求将AN，AN的值设计最短，求此时绿地公共走道的长度.答案精析第19练解三角形问题常考题型精析例1(1)C 由余弦定理a2b2c22bccos A，得4b2122b2，即b26b80，b4或b2，又bc，b2.(2)解在ABC中，由题意知，sin A，又因为BA，所以sin Bsincos A.由正弦定理，得b3.由BA得cos Bcossin A.由ABC，得C(AB).所以sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.因此ABC的面积Sabsin C33.变式训练1解(1)由正弦定理得，.因为AD平分BAC，BD2DC，所以.(2)因为C180(BACB)，BAC60，所以sin Csin(BACB)cos Bsin B.由(1)知2sin Bsin C，所以tan B，即B30.例2解(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m).所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，由于0t，即0t8，故当t min时，甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理，得BCsin A500(m).乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内.变式训练260解析根据已知的图形可得AB.在ABC中，BCA30，BAC37，由正弦定理，得，所以BC20.6060(m).例3解(1)f(x)(mn)mcos2xsin xcos xsin 2xcos 2xsin 2x2sin2.因为2，所以最小正周期T.(2)由(1)知f(x)sin2，当x时，2x.由正弦函数图象可知，当2x时，f(x)取得最大值3，又A为锐角，所以2A，A.由余弦定理a2b2c22bccos A，得1b232bcos ，所以b1或b2，经检验均符合题意.从而当b1时，ABC的面积S1sin ；当b2时，ABC的面积S2sin .变式训练3解(1)因为mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，从而tan A，由于0A，所以A.(2)方法一由余弦定理，得a2b2c22bccos A，而由a，b2，A，得74c22c，即c22c30，因为c0，所以c3，故ABC的面积为Sbcsin A.方法二由正弦定理，得，从而sin B，又由ab，知AB，所以cos B，故sin Csin(AB)sinsin Bcos cos Bsin .所以ABC的面积为Sabsin C.高考题型精练1.C 由余弦定理：cos A，sin A，cos C，sin C，1.2.D 由3sin A2sin B，得3a2b，ba23，在ABC中，由余弦定理，得c2a2b22abcos C223222316，解得c4.3.A cos A，cos C2cos2A1，sin C，tan C3，如图，设AD3x，AB4x，CD53x，BDx.在RtDBC中，tan C3，解之得：BDx，SABCBDAC.4.D ，.3a2b，.2()212()211.5.B SABBCsin B1sin B，sin B，B或.当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1225，AC，此时ABC为钝角三角形，符合题意；当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1221，AC1，此时AB2AC2BC2，ABC为直角三角形，不符合题意.故AC.6.B 设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，|3，又cos A11，cos A，0sin A，ABC的面积Sbcsin Atan A，故ABC面积的最大值为.7.解析由2sin B3sin C及正弦定理得2b3c，即bc.又bca，ca，即a2c.由余弦定理得cos A.8.9解析ak，akak1coscoscoscossin.故akak1ososin.由os0，in0，得akak1cos129.9.解析2R，a2，又(2b)(sin Asin B)(cb)sin C可化为(ab)(ab)(cb)c，a2b2c2bc，b2c2a2bc.cos A，A60.ABC中，4a2b2c22bccos 60b2c2bc2bcbcbc(“”当且仅当bc时取得)，SABCbcsin A4.10.(3,6解析由正弦定理，得2，b2sin B，c2sin C，所以b2c24(sin2Bsin2C)2(1cos 2B1cos 2C)42cos 2B2cos 2(B)4sin 2Bcos 2B42sin(2B).又0B，所以2B.所以12sin(2B)2.所以3b2c26.11.解(1)由题意可知c8(ab).由余弦定理得cos C.(2)由sin Acos2sin Bcos22sin C，可得sin Asin B2sin C，化简得sin Asin Acos Bsin Bsin Bcos A4sin C.因为sin Acos Bcos Asin Bsin(AB)sin C，所以sin Asin B3sin C.由正弦定理可知ab3c.又因为abc8，故ab6.由于Sabsin Csin C，所以ab9，从而a26a90，解得a3，b3.12.解(1)由B，ABa，BCa，所以BAC.设MAMAxa(0x1)，则MBaxa，所以在RtMBA中，cos(2)，所以x.由于AMN为等边三角形，所以绿地的面积S2aasin a2.(2)因为在RtABC中，B，ABa，BCa，所以BAC，所以在AMN中，ANM，由正弦定理得，设AMax(0x1)，则AMax，BMaax，所以在RtMBA中，cos(2)，所以x，即AM，所以AN.2sin sinsin2sin cos sin 2cos 2sin(2)，因为，所以2，所以当且仅当2，即时，AN的值最小，且ANa，此时绿地公共走道的长度MNa.
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