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第13练必考题型导数与单调性题型分析高考展望利用导数研究函数单调性是高考每年必考内容，多以综合题中某一问的形式考查，题目承载形式多种多样，但其实质都是通过求导判断导数符号，确定单调性.题目难度为中等偏上，一般都在最后两道压轴题上，这是二轮复习的得分点，应高度重视.常考题型精析题型一利用导数求函数单调区间求函数的单调区间的“两个”方法(1)确定函数yf(x)的定义域；求导数yf(x)；解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f(x)0，b0，d0B.a0，b0，c0C.a0，b0，d0D.a0，b0，c0，df(c)f(d)B.f(b)f(a)f(c)C.f(c)f(b)f(a)D.f(c)f(b)f(d)2.(2014课标全国)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是()A.(，2 B.(，1C.2，) D.1，)3.若函数yf(x)在R上可导，且满足不等式xf(x)f(x)恒成立，且常数a，b满足ab，则下列不等式一定成立的是()A.af(b)bf(a) B.af(a)bf(b)C.af(a)bf(b) D.af(b)bf(a)4.(2015太原模拟)定义在上的函数f(x)，f(x)是它的导函数，且恒有f(x)f B.f(1)f D.f0时，有0的解集是()A.(2,0)(2，)B.(2,0)(0,2)C.(，2)(2，)D.(，2)(0,2)6.若函数f(x)x2ax在(，)是增函数，则a的取值范围是()A.1,0 B.1，)C.0,3 D.3，)7.设函数f(x)ln xax，g(x)exax，其中a为常数.若f(x)在(1，)上是减函数，且g(x)在(1，)上有最小值，则a的取值范围是()A.(e，) B.e，)C.(1，) D.1，)8.函数f(x)exln(x1)的单调递增区间是_.9.已知函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_.10.若函数f(x)2x2ln x在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是_.11.已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数).(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由.12.(2015课标全国)已知函数f(x)x3ax，g(x)ln x.(1)当a为何值时，x轴为曲线yf(x)的切线；(2)用minm，n表示m，n中的最小值，设函数h(x)minf(x)，g(x)(x0)，讨论h(x)零点的个数.答案精析第13练必考题型导数与单调性常考题型精析例1解因为f(x)ax，所以f(1)a1.由f(1)g(1)2可得ab3.又f(x)在x处取得极值，所以fa0，所以a2，b1.所以h(x)x2ln xx，其定义域为(0，).h(x)2x1，令h(x)0得x1，x21，当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0，得0x1；由f(x)1.故函数f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1，).(2)f(x)3a4x.若函数f(x)在区间1,2上为单调函数，则f(x)0，或f(x)0在区间1,2上恒成立.于是3a4x0，或3a4x0在区间1,2上恒成立，即3a4x，或3a4x在区间1,2上恒成立.令h(x)4x，则h(x)在区间1,2上是增函数.因此h(x)maxh(2)，h(x)minh(1)3.即3a或3a3，故a或a1.所以a的取值范围为(，1.变式训练2解(1)对f(x)求导得f(x)，因为f(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，即a0.当a0时，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1)，从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(x1)，化简得3xey0.(2)由(1)知f(x).令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0解得x1，x2.当xx1时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数；当x1xx2时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数.由f(x)在3，)上为减函数，知x23，解得a，故a的取值范围为.例3B 由函数yxf(x)的图象知，x0，f(x)为增函数；1x0时，f(x)0，f(x)为减函数；0x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)为增函数.故选项B的图象符合.变式训练3A 由已知f(0)d0，可排除D；其导函数f(x)3ax22bxc且f(0)c0，可排除B；又f(x)0有两不等实根，且x1x20，所以a0，故选A.高考题型精练1.C 由f(x)的图象知，xa，c时，f(x)0，f(x)为增函数，cba，f(c)f(b)f(a).2.D 由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立.由于k，而0f(x)，得xf(x)f(x)0，即F(x)0，所以F(x)在R上为递增函数.因为ab，所以af(a)bf(b).4.D f(x)0，0.函数在上单调递增，从而，即f0时0，(x)为减函数，又(2)0，当且仅当0x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数.故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2).6.D 由题意知f(x)0对任意的x(，)恒成立，又f(x)2xa，所以2xa0对任意的x(，)恒成立，分离参数得a2x，若满足题意，需a(2x)max，令h(x)2x，x(，)，因为h(x)2，所以当x(，)时，h(x)0，即h(x)在x(，)上单调递减，所以h(x)g(1)ea.又g(x)在(1，)上有最小值，则必有eae.综上，a的取值范围是(e，).8.(0，)解析f(x)ex，该函数单调递增且f(0)0，所以当x0时，f(x)0，所以函数f(x)的单调递增区间是(0，).9.1，)解析f(x)mx20对一切x0恒成立，m2，令g(x)2，则当1时，函数g(x)取最大值1，故m1.10.1，)解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)4x.由f(x)0，得x.据题意得解得1k0，即(x22)ex0.ex0，x220，解得x0，x2(a2)xa0对xR都成立.(a2)24a0，即a240，不成立.故函数f(x)不可能在R上单调递减.若函数f(x)在R上单调递增，则f(x)0对xR都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立，ex0，x2(a2)xa0对xR都成立.而(a2)24aa240，故函数f(x)不可能在R上单调递增.综上可知，函数f(x)不可能是R上的单调函数.12.解(1)设曲线yf(x)与x轴相切于点(x0,0)，则f(x0)0，f(x0)0.即解得x0，a.因此，当a时，x轴为曲线yf(x)的切线.(2)当x(1，)时，g(x)ln x0，从而h(x)minf(x)，g(x)g(x)0，故h(x)在(1，)无零点.当x1时，若a，则f(1)a0，h(1)minf(1)，g(1)g(1)0，故x1是h(x)的零点；若a，则f(1)0，h(1)minf(1)，g(1)f(1)0.所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数.()若a3或a0，则f(x)3x2a在(0,1)无零点，故f(x)在(0,1)单调.而f(0)，f(1)a，所以当a3时，f(x)在(0,1)有一个零点；当a0时，f(x)在(0,1)没有零点.()若3a0，即a0，f(x)在(0,1)无零点；若f0，即a，f(x)在(0,1)有唯一零点；若f0，即3a，由于f(0)，f(1)a，所以当a时，f(x)在(0,1)有两个零点；当3或a时，h(x)有一个零点；当a或a时，h(x)有两个零点；当a时，h(x)有三个零点.
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