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第7练抓重点函数性质与分段函数题型分析高考展望函数单调性、奇偶性、周期性是高考必考内容，以分段函数为载体是常考题型.主要以选择题或填空题的形式考查，难度为中档偏上.二轮复习中，应该重点训练函数性质的综合应用能力，收集函数应用的不同题型，分析比较异同点，排查与其他知识的交汇点，找到此类问题的解决策略，通过训练提高解题能力.常考题型精析题型一函数单调性、奇偶性的应用1.常用结论：设x1、x2a，b，则(x1x2) f(x1)f(x2)00f(x)在a，b上递增.(x1x2)f(x1)f(x2)00，则x的取值范围是_.点评(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径.尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)f(x).(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性.变式训练1(1)(2015天津)已知定义在R上的函数f(x)2|x-m|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()A.abc B.cab C.acb D.cba(2)(2015北京)下列函数中为偶函数的是()A.yx2sin x B.yx2cos xC.y|ln x| D.y2-x题型二函数的周期性与对称性的应用重要结论：1.若对于定义域内的任意x，都有f(ax)f(ax)，则f(x)关于xa对称.2.若对于任意x都有f(xT)f(x)，则f(x)的周期为T.例2(1)已知函数f(x)是(，)上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x1对称，当x1,0)时，f(x)x，则f(2 015)f(2 016)_.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x).当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x，则f(1)f(2)f(3)f(2 016)_.点评利用函数的周期性、对称性可以转化函数解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.变式训练2已知定义在R上的偶函数满足：f(x4)f(x)f(2)，且当x0,2时，yf(x)单调递减，给出以下四个命题：f(2)0；x4为函数yf(x)图象的一条对称轴；函数yf(x)在8,10上单调递增；若方程f(x)m在6，2上的两根为x1，x2，则x1x28.则所有正确命题的序号为_.题型三分段函数例3已知函数f(x)是奇函数.(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围.点评(1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上，因对应关系的不同而分别用几个不同的式子来表示的.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.(2)在求分段函数f(x)解析式时，一定要首先判断x属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式.变式训练3(2014浙江)设函数f(x) 若f(f(a)2，则实数a的取值范围是_.高考题型精练1.(2015安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A.yln x B.yx21C.ysin x D.ycos x2.(2015陕西)设f(x)则f(f(2)等于()A.1 B. C. D.3.(2014山东)函数f(x)的定义域为()A. B.(2，)C.(2，) D.2，)4.(2014江西)已知函数f(x)(aR)，若ff(1)1，则a等于()A. B.C.1 D.25.下列函数f(x)中，满足“x1，x2(0，)，且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是()A.f(x)x B.f(x)x3C.f(x)ln x D.f(x)2x6.函数yf(x1)的图象关于直线x1对称，当x(，0)时，f(x)xf(x)bc B.bacC.cab D.acb7.设函数g(x)x22(xR)，f(x) 则f(x)的值域是()A.，0(1，) B.0，)C.，) D.，0(2，)8.(2015青岛模拟)对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f(x)(x22)(xx2)，xR.若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A.(，2(1，)B.(，2(1，)C.(1，)(，)D.(1，)，)9.(2014安徽)若函数f(x)(xR)是周期为4的奇函数，且在0,2上的解析式为f(x)则ff_.10.对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_.11.已知函数f(x)其中x表示不超过x的最大整数.若直线yk(x1)(k0)与函数yf(x)的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是_.12.已知函数yf(x)，xR，有下列4个命题：若f(12x)f(12x)，则f(x)的图象关于直线x1对称；yf(x2)与yf(2x)的图象关于直线x2对称；若f(x)为偶函数，且f(2x)f(x)，则f(x)的图象关于直线x2对称；若f(x)为奇函数，且f(x)f(x2)，则f(x)的图象关于直线x1对称.其中正确命题的序号为_.答案精析第7练抓重点函数性质与分段函数常考题型精析例1(1)B(2)(1,3)解析(1)因为当x0时，f(x)(|xa2|x2a2|3a2)，所以当0xa2时，f(x)(a2x2a2x3a2)x；当a2x0，得2x12，即1x0时，x0时，f(x)x22x(x1)21，当x1，)时，f(x)单调递减；当x(0,1时，f(x)单调递增.当x0时，f(x)x22x(x1)21，当x(，1时，f(x)单调递减；当x1,0)时，f(x)单调递增.综上知：函数f(x)在1,1上单调递增.又函数f(x)在区间1，a2上单调递增.解得12或0x.故选C.4.A 由题意得f(1)2(1)2，ff(1)f(2)a224a1，a.5.A “x1，x2(0，)，且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”等价于在(0，)上f(x)为减函数，易判断f(x)x符合.6.B 因为函数yf(x1)的图象关于直线x1对称，所以yf(x)关于y轴对称.所以函数yxf(x)为奇函数.因为xf(x)f(x)xf(x)，所以当x(，0)时，xf(x)f(x)xf(x)0，函数yxf(x)单调递减，从而当x(0，)时，函数yxf(x)单调递减.因为120.22,0ln 21，log2，从而0ln 220.2ac.7.D 由xg(x)得xx22，x2；由xg(x)得xx22，1x2.f(x)即f(x)当x2；当x2时，f(x)8.当x(，1)(2，)时，函数的值域为(2，).当1x2时，f(x)0.当x1,2时，函数的值域为，0.综上可知，f(x)的值域为，0(2，).8.B f(x)即f(x)f(x)的图象如图所示，由图象可知B正确.9.解析f(x)是以4为周期的奇函数，fff，fff.当0x1时，f(x)x(1x)，f.当1x2时，f(x)sin x，fsin .又f(x)是奇函数，ff，ff.ff.10.1解析依题意，得h(x)当02时，h(x)3x是减函数，h(x)在x2时取得最大值h(2)1.11.解析根据x表示的意义可知，当0x1时，f(x)x，当1x2时，f(x)x1，当2x3时，f(x)x2，以此类推，当kxk1时，f(x)xk，kZ，当1x0时，f(x)x1，作出函数f(x)的图象如图，直线yk(x1)过点(1,0)，当直线经过点(3,1)时恰有三个交点，当直线经过点(2,1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k.12.解析1，故函数yf(x)的图象关于直线x1对称，故正确；对于，令tx2，则问题等价于yf(t)与yf(t)图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t0对称，即函数yf(x2)与yf(2x)的图象关于直线x20即x2对称，故正确；由f(x2)f(x)，可得f(x4)f(x2)f(x)，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数yf(x)的图象关于直线x4k(kZ)对称，不能推得函数yf(x)的图象关于直线x2对称，故错误；由于函数f(x)为奇函数，由f(x)f(x2)，可得f(x)f(x2)，由于1，可得函数yf(x)的图象关于直线x1对称，故正确.
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