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第16练定积分问题题型分析高考展望定积分在理科高考中，也是重点考查内容.主要考查定积分的计算和利用定积分求不规则图形的面积，题目难度不大，多为中低档题目，常以选择题、填空题的形式考查，掌握定积分的计算公式，会求各种类型的曲边图形的面积是本节重点.常考题型精析题型一定积分的计算例1(1)(2014陕西)定积分(2xex)dx的值为()A.e2 B.e1C.e D.e1(2)(2014江西)若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx等于()A.1 B.C. D.1点评(1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解；(2)对有关函数图象和圆的定积分问题可以利用定积分的几何意义求解.变式训练1(1)设f(x)则f(x)dx等于()A. B.C. D.不存在(2)若定积分dx，则m等于()A.1 B.0C.1 D.2题型二利用定积分求曲边梯形的面积例2(1)(2014山东)直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2 B.4C.2 D.4(2)直线l过抛物线C：x24y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A. B.2C. D.(3)由曲线ysin x，ycos x与直线x0，x所围成的平面图形(如图中的阴影部分所示)的面积是()A.1 B.C. D.22点评求曲边多边形面积的步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形.(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限.(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和.(4)计算定积分.变式训练2(2015陕西)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_.高考题型精练1.已知自由落体运动的速率vgt，则落体运动从t0到tt0所走的路程为()A. B.gtC. D.2.(2015广州模拟)若(sin xacos x)dx2，则实数a等于()A.1 B.1C. D.3.由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为()A. B.1C. D.4.已知等差数列an的前n项和为Sn，且S10(12x)dx，S2017，则S30为()A.15 B.20C.25 D.305.(2015德州模拟)图中阴影部分的面积是()A.16 B.18C.20 D.226.(2015北京朝阳区模拟)设f(x)(其中e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为()A. B.C. D.7.(2014湖南)已知函数f(x)sin(x)，且f(x)dx0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是( )A.x B.xC.x D.x8.设n4sin xdx，则二项式(x)n的展开式的常数项是()A.12 B.6C.4 D.19.曲线y与直线yx，x2所围成的图形的面积为_.10.(2015青岛模拟)已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为_.11.(2015福建)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_.12.求曲线y，y2x，yx所围成图形的面积.答案精析第16练定积分问题常考题型精析例1(1)C (2)B解析(1)(2xex)dx(x2ex)|e.故选C.(2)f(x)x22f(x)dx，f(x)dx(x32xf(x)dx)|2f(x)dx，f(x)dx.变式训练1(1)C(2)A解析(1)f(x)dxx2dx(2x)dxx3|.(2)根据定积分的几何意义知，定积分dx的值就是函数y的图象与x轴及直线x2，xm所围成图形的面积，y是一个半径为1的半圆，其面积等于，而dx，即在区间2，m上该函数图象应为个圆，于是得m1，故选A.例2(1)D(2)C(3)D解析(1)令4xx3，解得x0或x2，S(4xx3)844，故选D.(2)抛物线方程为x24y，其焦点坐标为F(0,1)，故直线l的方程为y1.如图所示，可知l与C围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数yx2的图象和x轴正半轴及直线x2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S42dx4.(3)方法一由sin xcos x(x(0，)，得x.故所求阴影部分的面积S (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx(sin xcos x) (cos xsin x) sin cos sin 0cos 0(cos sin )(cos sin )22.故选D.方法二由sin xcos x(x(0，)，得x.根据图象的对称性，可知所求阴影部分的面积S2 (cos xsin x)dx2(sin xcos x) 2(sin cos sin 0cos 0)22.故选D.变式训练21.2解析由题意可知最大流量的比即为横截面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为yax2，将点(5,2)代入抛物线方程得a，故抛物线方程为yx2，抛物线的横截面面积为S12dx2(m2)，而原梯形下底为1026(m)，故原梯形面积为S2(106)216，1.2.高考题型精练1.C 由题意，可知所走路程为gt2gt.2.A (sinxacosx)dx(cos xasin x)a12，a1.3.D cos xdx=sin xsin sin.4.A 由已知得S10(12x)dx12，据等差数列性质可得S1012，S20S105，S30S20S3017亦成等差数列，故有12S301710S3015.5.B Sdy18.6.A 根据定积分的运算法则，由题意，可知f(x)dxx2dxdxx3|ln x|1.7.A sin(x)dxcos(x)0，cos()cos 0.cos()cos 0.sin cos 0.sin()0.k1(k1Z).k1(k1Z).f(x)sin(xk1)(k1Z).由xk1k2(k1，k2Z)得x(k1k2)(k1，k2Z)，f(x)的对称轴方程为x(k1k2)(k1，k2Z).故x为函数f(x)的一条对称轴.8.B 由定积分得n4cos x4，二项式的通项公式为Tk1Cx4k()kC(1)kx42k，由42k0，得k2，所以常数项为T3C(1)26，故选B.9.ln 2解析S(x)dxln 2.10.1解析由曲线在原点处与x轴相切，可得f(0)b0，此时f(x)x3ax2x2(ax)，据定积分知阴影部分面积(x3ax2)dx，解得a1.11.解析由题意知，阴影部分的面积(4x2)dx，所求概率P.12.解由得交点A(1,1)；由得交点B(3，1).故所求面积Sdxdx.
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