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第3练“三个二次”的转化与应用题型分析高考展望“二次函数、二次方程、二次不等式”是高中数学知识的基础，在高考中虽然一般不直接考查，但它是解决很多数学问题的工具.如函数图象问题、函数与导数结合的问题、直线与圆锥曲线的综合问题等.“三个二次”经常相互转化，相辅相成，是一个有机的整体.如果能很好地掌握三者之间的转化及应用方法，会有利于解决上述有关问题，提升运算能力.常考题型精析题型一函数与方程的转化例1是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1,3上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.点评二次函数零点问题或二次函数图象与直线交点个数问题，一般都需转化为二次方程根的存在性及根的分布来解决，解决的方法是列出判别式和有关函数值的不等式(组)，或用数形结合方法解决.变式训练1设定义域为R的函数f(x)则关于x的函数y2f 2(x)3f(x)1的零点的个数为_.题型二函数与不等式的转化例2已知函数yf(x)是定义在R上的增函数，函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称.若对任意的x，yR，不等式f(x26x21)f(y28y)3时，x2y2的取值范围是_.点评不等式是解决函数定义域、值域、参数范围等问题的有效工具，将函数问题转化为不等式解决是解答此类问题的常规思路.而二次不等式的解的确定又要借助二次函数图象，所以二者关系密切.函数单调性的确定是抽象函数转化为不等式的关键.变式训练2已知一元二次不等式f(x)0的解集为x|x，则f(10x)0的解集为()A.x|xlg 2 B.x|1xlg 2 D.x|x0，且AB，则实数p的取值范围是()A.p4 B.4p0的解集为()A.x|x2或x2 B.x|2x2C.x|x4 D.x|0x43.已知函数f(x)x22x3在闭区间0，m上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为()A.1，) B.0,2C.(，2 D.1,24.若方程x2xm0在x1,1上有实根，则m的取值范围是()A.m B.mC.m D.m5.若f(x)x2ax1有负值，则实数a的取值范围是()A.a2 B.2a2或a2 D.1a36.(2015长沙模拟)已知函数f(x) 若关于x的方程f2(x)af(x)0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是()A.(0,1) B.(0,2)C.(1,2) D.(0,3)7.已知函数f(x)ax22ax4(0a3)，若x1x2，x1x21a，则()A.f(x1)f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定8.若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内 B.(，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，)内 D.(，a)和(c，)内9.(2015湖北)a为实数，函数f(x)|x2ax|在区间0,1上的最大值记为g(a).当a_时，g(a)的值最小.10.若关于x的不等式(2x1)20，即f(x)0有两个不相等的实数根，若实数a满足条件，则只需f(1)f(3)0即可.f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0，a或a1.检验：(1)当f(1)0，a1时，f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，得x0或x1.方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故a1.(2)当f(3)0时，a，此时f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，解得x或x3.方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故a.综上所述，a1.变式训练17解析由y2f2(x)3f(x)10得f(x)或f(x)1，如图画出f(x)的图象，由f(x)知有4个根，由f(x)1知有3个根，故函数y2f2(x)3f(x)1共有7个零点.例2(13,49)解析由函数f(x1)的图象关于点(1,0)对称可知，函数f(x)为奇函数.所以不等式f(x26x21)f(y28y)0可化为f(x26x21)f(y28y)f(y28y).又因为函数f(x)在R上为增函数，故必有x26x21y28y，即x26x21y28y0，配方，得(x3)2(y4)23，故不等式组表示为它表示的区域为如图所示的半圆的内部.而x2y2表示该区域内的点到坐标原点距离的平方.由图可知，x2y2的最小值在点A处取得，但因为该点在边界的分界线上，不属于可行域，故x2y2322213，而最大值为圆心(3,4)到原点的距离与半径之和的平方，但因为该点在圆的边界上，不属于可行域，故x2y2(52)249，故13x2y20的解集为x|1x0等价于110x1，而10x可化为10x10lg ，即10x10lg 2.由指数函数的单调性可知xlg 2，故选D.例3解(1)由条件，抛物线f(x)x22mx2m1与x轴的交点分别在区间(1,0)和(1,2)内，如图所示，得即m，故m的取值范围是(，).(2)抛物线与x轴交点的横坐标均在区间(0,1)内，如图所示，列不等式组即m1.故m的取值范围是(，1.变式训练3B 令f(x)(m2)xn80，x，当m2时，对称轴x0，由题意，得2，2mn12，6，mn18，由2mn12且2mn知m3，n6.当m2时，抛物线开口向下，由题意，即2nm18，9，mn，由2nm18且2nm，得m9(舍去)，mn最大值为18，选B.高考题型精练1.A 当A时，(p2)240，4p4.2.C f(x)ax2(b2a)x2b.f(x)是偶函数，b2a0，即b2a.f(x)ax24a，又f(2)0，x(0，)时，f(x)为增函数.f(2x)f(2)或f(2x)f(2).2x2或2x2，即x4.3.D f(x)(x1)22，其对称轴为x1，当x1时，f(x)min2，故m1，又f(0)3，f(2)3，m2.综上可知1m2.4.D mx2x2，x1,1.当x1时，m取最大值为，当x时，m取最小值为，m.5.C f(x)x2ax1有负值，(a)240，则a2或a2.6.A 设tf(x)，则方程为t2at0，解得t0或ta，即f(x)0或f(x)a.如图，作出函数f(x)的图象，由函数图象，可知f(x)0的解有两个，故要使方程f2(x)af(x)0恰有5个不同的解，则方程f(x)a的解必有三个，此时0a1.所以a的取值范围是(0,1).7.A f(x)的对称轴为直线x1，又x1x21a，0a1.x10，f(x1)f(x2).8.A 由于ab0，f(b)(bc)(ba)0.因此有f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.9.22解析(1)当a0时，f(x)x2，函数f(x)在区间0,1上单调递增，故g(a)f(1)1.(2)当a0时，函数f(x)的图象如图(1)所示，函数f(x)在区间0,1上单调递增，故g(a)f(1)1a.(3)当0a1时，函数f(x)的图象如图(2)所示，f，f(1)1a，ff(1)(1a).当0a22时，因为ff(1)0，即ff(1)，所以g(a)f(1)1a；当22a1时，因为ff(1)0，即ff(1)，所以g(a)f.(4)当1a2时，函数f(x)的图象如图(3)所示，因为函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，故g(a)f.(5)当a2时，函数f(x)的图象如图(4)所示，因为函数f(x)在区间0,1上单调递增，故g(a)f(1)a1.综上，g(a)当ag(22)32；当22a32.综上，当a22时，g(a)min32.10.解析因为不等式等价于(a4)x24x10，且有4a0，故0a4，不等式的解集为x，则一定有1,2,3为所求的整数解集.所以30时，f(x)在1,1上有零点的条件是解得a.综上，实数a的取值范围为.12.解依题意，f(x)g(x)，即ax2axxa，整理得ax2(a1)xa0，a0，函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A、B，0，即(a1)24a23a22a1(3a1)(a1)0，1a且a0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x10，x1x2.设点O到直线g(x)xa的距离为d，则d，S|x1x2| .1a且a0，当a时，S取得最大值.即OAB的面积S的最大值为.
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