小学奥数系列——行程问题习题及详解.doc

. 可编辑修改 1 行 程 问 题 行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型之一（计算、数论、几何、 行程） 。具体题型变化多样，形成 10 多种题型，都有各自相对独特的解题方法。 现根据四大杯赛的真题研究和主流教材将小题型总结如下，希望各位看过之后 给予更加明确的分类。 一般行程问题 相遇问题（重点）与相离问题，两类问题的共同点是 都用到了速度和 行程问题几大题型 追及问题与领先问题，两个问题的共同点是同向而行，一快 一慢，有速度差 “火车过桥问题” “流水行船问题” “钟表问题” 行程问题是“行路时所产生的路程、时间、速度的一类应用题” ，基本数 量关系如下： 速度时间=路程 ；路程时间=速度 ； 路程速度=时间。注 意总行程的平均速度的算法：平均速度=总路程总时间，而不是两个（或几个） 速度相加再除以 2。 行 程 问 题 涉 及 的 变 化 较 多 ， 有 的 涉 及 一 个 物 体 的 运 动 ， 有 的 涉 及 两 个 物 体 的 运 动 ， 有 的 涉 及 多 个 物 体 的 运 动 。 涉 及 两 个 物 体 运 动 的 ， 又 有 “相 向 运 动 ”（ 相 遇 问 题 ） 、 “同 向 运 动 ”（ 追 及 问 题 和 领 先 问 题 ） 和 “相 背 运 动 ” （ 相 离 问 题 ） 三 种 情 况 。 但 归 纳 起 来 ， 不 管 是 “一 个 物 体 的 运 动 ”还 是 “两 个 物 体 的 运 动 ”， 不 管 是 “相 向 运 动 ”、 “同 向 运 动 ”， 还 是 “相 背 运 动 ”， 他 们 的 特 点 是 一 样 的 ， 具 体 地 说 ， 就 是 它 们 反 映 出 来 的 数 量 关 系 是 相 同 的 ， 都 可 以 归 纳 为 ： 速 度 时 间 =路 程 （ 路程时间=速度，路程速度=时间） 。 在 各 类 行 程 问 题 中 进一步推演的数量关系都依赖于这一基本思想，在学 习时要多注意从“简单”到“复杂”的推导过程，重在理解，在理解的基础上 形成对各类行程问题中所涉及到的关系式的记忆和正确应用；此类问题的题型 非常多且富于变化，但是“万变不离其宗” ，希望学习者能深入理解其中包含的 数学思想的本源，从而做到“以不变应万变”！ 解行程问题时还要注意充分利用图示把题中的“情节”形象地表示出来， 有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。 相 向 而 行 的 公 式 ： 相 遇 时 间 =距 离 速 度 和 。 相 背 而 行 的 公 式 ： 相 背 距 离 =速 度 和 时 间 。 追 及 问 题 的 公 式 ： 速 度 慢 的 在 前 ， 快 的 在 后 。 追 及 时 间 = 追 及 距 离 速 度 差 。 在 环 形 跑 道 上 ， 速 度 快 的 在 前 ， 慢 的 在 后 。 追 及 距 离 =速 度 差 时 间 （ 例 如 求 环 形 跑 道 的 长 度 ） 。 追 及 距 离 时 间 =速 度 差 ， 追 及 距 离 速 度 差 =时 间 。 “火 车 过 桥 问 题 ”、 “流 水 行 船 问 题 ”、 用 行 程 问 题 结 合 图 形 知 识 解 答 的 “钟 表 问 题 ”是 几 类 较 特 殊 的 行 程 问 题 ， 在 解 题 时 更 要 注 意 具 体 问 题 具 体 分 析 。 要 正 确 的 解 答 有 关 “行 程 问 题 ”的 应 用 题 ， 必 须 弄 清 物 体 运 动 的 具 体 情 况 。 如 运 动 的 方 向 （ 相 向 ， 相 背 ， 同 向 ） ， 出 发 的 时 间 （ 同 时 ， 不 同 时 ） ， . 可编辑修改 2 出 发 的 地 点 （ 同 地 ， 不 同 地 ） ， 运 动 的 路 线 （ 封 闭 ， 不 封 闭 ） ， 运 动 的 结 果 （ 相 遇 、 相 距 多 少 、 交 错 而 过 、 追 及 ） 。 两 个 物 体 运 动 时 ， 运 动 的 方 向 与 运 动 的 速 度 有 着 很 大 关 系 ， 当 两 个 物 体 “相 向 运 动 ”或 “相 背 运 动 ”时 ， 此 时 的 运 动 速 度 都 是 “两 个 物 体 运 动 速 度 的 和 ”（ 简 称 速 度 和 ） ， 当 两 个 物 体 “同 向 运 动 ”时 ， 此 时 两 个 物 体 的 追 及 的 速 度 就 变 为 了 “两 个 物 体 运 动 速 度 的 差 ”（ 简 称 速 度 差 ） 。 当 物 体 运 动 有 外 作 用 力 时 ， 速 度 也 会 发 生 变 化 。 如 人 在 赛 跑 时 顺 风 跑 和 逆 风 跑 ； 船 在 河 中 顺 水 而 下 和 逆 水 而 上 。 此 时 人 在 顺 风 跑 时 运 动 的 速 度 就 应 该 等 于 人 本 身 运 动 的 速 度 加 上 风 的 速 度 ， 人 在 逆 风 跑 时 运 动 的 速 度 就 应 该 等 于 人 本 身 的 速 度 减 去 风 的 速 度 ； 我 们 再 比 较 一 下 人 顺 风 的 速 度 和 逆 风 的 速 度 会 发 现 ， 顺 风 速 度 与 逆 风 速 度 之 间 相 差 着 两 个 风 的 速 度 ； 同 样 比 较 “顺 水 而 下 ”与 “逆 流 而 上 ”， 两 个 速 度 之 间 也 相 差 着 两 个 “水 流 的 速 度 ”。 所 谓 “逆 水 行 舟 ， 不 进 则 退 ”就 是 这 个 道 理 。 1、相遇问题和相离问题： （1）相遇问题：“两物体分别从两地出发，相向而行” ，注意关键词“相向” ， 如果两物体同时出发，相遇时所用时间一定相同，注意对速度和的理解 图示: 甲 乙 甲从 A 地出发 乙 从 B 地出发 关系式： 相遇时间=总路程 速 度 和 总路程= 速 度 和 相遇时间 典型例题： 两港相距 168 千米，一艘客轮和一艘货轮同时从两港相对开出，客轮每小时 行 24 千米，货轮每小时行 18 千米，几小时后两艘轮船相距 21 千米？ 甲乙两车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 52 千米，两车在离中点 16 千米处相遇。东西两地相距多少千米？ A、B 两地相距 470 千米，甲车以每小时 46 千米，乙车以每小时 40 千米的 速度先后从两地出发，相向而行。相遇时甲车行驶了 230 千米。问：乙车比甲 车早出发几小时？ 甲、乙两车的速度比是 3：4，两车同时从两地相向而行，在离中点 6 千米 处相遇，求两地相距多少千米？ 解法（一）：由题意可知，甲乙两车同时开出后，路程比成正比例，总是等于 速度比，设两地间路程的一半为 X，则 = ， 解 比 例 得 X=42， 422=84 千米即为两地间的距离。6x43 6 千米 解法（二）： 甲 乙 . 可编辑修改 3 中点 从线段图上我们可以看出，相遇时，甲差 6 千米到达中点，乙已经过了中点 6 千米，甲和乙的路程差是 6 千米的两倍，如果将两地间距离成看成 3+4=7“份” 的话，相遇时甲和乙的路程差是其中的“一份” 。则有 62 =84 千 米 。3 多人相遇问题： （解决此类问题同时要理解领先问题）甲、乙、丙三人，每分钟分别行 68 米、70.5 米、72 米。现甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发， 丙和乙相遇后，丙又过了 2 分钟与甲相遇。求：东西两镇相距多少千米。 （解决此类问题同时要理解与“封闭路程”有关的行程问题）甲乙丙三人沿 着湖边散步，同时从湖边的一个地点出发。甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时 针方向走。甲第一次遇到乙后 1 分 钟 遇 到 丙 ， 再 过 3 分 钟 第 二 次 遇 到 乙 。44 已 知 乙 的 速 度 是 甲 的 ， 湖 的 周 长 是 600 米 ， 求 丙 的 速 度 。32 多次相遇问题： 甲乙两辆汽车同时从 A、B 两地相对开出，甲每小时行 75 千米，乙每小时行 65 千米。甲、乙两车第一次相遇后继续前进，分别到达 B、A 两地后，立即按 原路返回，两车从出发到第二次相遇共行了 6 小时，A、B 两地相距多少千米？ 一个游泳池长 90 米。甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一 端立即返回。照这样往、返游，两人游 10 分钟，甲每秒游 3 米，乙每秒游 2 米， 二人会相遇几次？ （2）相离问题：“两物体从同一地点出发，相背而行” ， 注意对“速度和”的 理解，注意时间的因素 图示： 甲 出发点 乙 A B 关系式： 相离距离=速 度 和 相背而行的时间 典型例题，相遇和相离的综合问题举例：A、B 两地相距 420 千米，甲车从 A 地 出发开往 B 地，每小时行驶 72 千米，甲车行驶 25 分钟后，乙车从 B 地开往 A 地，每小时行驶 28 千米。两车相距 100 千米时，甲车共行驶多长时间？（分析 各种情况） 2、追及问题和领先问题 （1）追及问题：“两物体同向而行，一快一慢，慢者先行，快者追之” 图示： 慢者先走出一段距离 就是需要追及的距离 在快者追时慢者继续往前走 . 可编辑修改 4 快者此时此地追起 追到 出发点 注意：追上 时一共走出的路程不叫追及距离 关系式： 追及时间=需要追及的距离速度差；追及距离=速度差追及时间 速度差=追及距离所用时间，近而再根据其他已知条件求出各自速度，从而解 决问题。 速度差=速度（快的）-速度（慢的）需要追及的距离也就是慢者先行的距离或 者快者开始出发时距慢者的距离。 典型例题： 晚饭后，小明和爸爸沿同一条公路去散步，小明走得慢，每分钟走 60 米， 所以他先从家出发。5 分钟后，爸爸以每分钟 80 米的速度去追小明，经过多少 分钟可以追上？ A、B 两地相距 1800 米，若甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发，9 分钟会 相遇；如果两人同向而行，则甲 30 分钟可以追到乙，问：甲从 A 地到 B 地需要 多少小时？ 甲乙丙三辆车先后从 A 地开往 B 地。乙比丙晚出发 5 分钟，出发后 45 分钟 追上丙；甲比乙晚出发 15 分钟，出发后 1 小时追上丙。甲出发后几小时追上乙？ 解法：设数法解题。 上午 8 时 8 分，小明骑自行车从家里出发。8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他。 在离家 4 千米的地方追上了小明，然后爸爸立即回家。到家后，爸爸又立即回 头去追小明。再追上他的时候，离家恰好是 8 千米，这时是几点几分？ 解法：下图中实线是爸爸从第一次追上小明到第二次追上小明所走的路线， 虚线是同时间小明走的路线。从线段图中我们可以看出爸爸走了 3 个 4 千米的 时间，小明只走了 1 个 4 千米，小明所行路程是爸爸所行路程的 ， 相 同 时 间1 内 ， 路 程 与 速 度 成 正 比 ， 则小明的速度是爸爸速度的 。 4 千米 4 千米 爸爸 小明 家 第一次追上时离家 4 千米 第二次追上时离家 8 千米 我们再来看第一次爸爸追上小明时的情况，由于小明的速度是爸爸速度的 ，从爸爸第一次开始追小明到追上小明的这段时间内，爸爸行出 4 千米，小31 明行出 4 千米的 （ 同 样 是 根 据 相 同 时 间 内 ， 路 程 与 速 度 成 正 比 ） ， 小 明 必31 须 先 行 出 4 千 米 的 = ， 也 就 是 说 ， 小 明 用 8 分 钟 的 时 间 先 行 出2 . 可编辑修改 5 4 = 千 米 。328 小 明 先 用 8 分 钟 时 间 走 出 4 千 米 的 小 明32 爸 爸 进 而 我 们 求 出 小 明 的 速 度 是 8= 千 米 /分 钟 ， 小 明 8 点 8 分 从 家 里 出 发 ，381 到 爸 爸 二 次 追 上 小 明 时 ， 小 明 共 行 8 千 米 ， 8 =24 分 钟 ， 从 而 求 得 第 二31 次 追 上 的 时 间 是 8 点 32 分 。 解 题 过 程 ： 4（ 4+8） = 4（1- ） = （ 千 米 ） 1 38 8= （ 千 米 /分 钟 ）3 8 =24（ 分 钟 ） 8+24=32（ 分 ） 答 ： 这时是 8 点 32 分。 （2）领先问题：“两物体同向而行，在同一出发点同时出发，一快一慢，则快 者必领先于慢者” 图示： 慢 者 快 者 快者领先的距离 两者在同一出发点同时出发 关系式： 领先距离=速度差所用时间，速度差=领先距离所用时间，所用时间=领先距 离速度差 典型例题： 甲 乙 两 人 练 跑 步 ， 甲 跑 步 的 速 度 每 分 钟 比 乙 快 千 米 ， 两 人 从 某 地 同 时503 出 发 ， 跑 了 一 段 时 间 后 ， 甲 领 先 乙 200 米 ， 问 此 时 甲 跑 了 多 少 秒 ？ 小 李 和 老 王 同 时 从 A 地 出 发 去 B 地 ， 小 李 骑 电 动 车 ， 老 王 开 汽 车 ， 2 分 钟 后 小 李 在 老 王 的 后 方 0.5 千 米 ， A、 B 两 地 相 距 90 千 米 ， 老 王 用 了 3 个 . 可编辑修改 6 小 时 到 达 B 地 ， 问 小 李 到 达 B 地 时 ， 老 王 已 经 到 达 B 地 多 长 时 间 了 ？ 两 辆 汽 车 同 时 从 某 地 出 发 ， 运 送 一 批 货 物 到 距 离 165 千 米 的 工 地 。 甲 车 比 乙 车 早 到 48 分 钟 ， 当 甲 车 到 达 时 ， 乙 车 还 距 工 地 24 千 米 。 问 ： 甲 车 行 完 全 程 用 了 多 少 小 时 ？ 注意，此题虽然是“领先问题”的模式，但是却没有用到速度差，路程差的关 系式，而是根据题意先求出了乙车的速度，然后直接利用到达目的地的时间差 求出快车（题目中的甲车）行完全程所用的时间，可见，分析问题重在思维灵 活，不能僵化地利用公式。 两条公路成十字交叉，甲从十字路口南 1200 米处向北直行，乙从十字路口 处向东直行，甲、乙同时出发，10 分钟时，两人与十字路口的距离相等，出发 后 100 分钟，两人与十字路口的距离再次相等，此时他们距离十字路口多少米？ 与“封闭路程”有关的行程问题： 注意以下两点：一是两人同地背向运动，从一次相遇到下次相遇共行一个全程； 二是同地同向运动时，甲追上乙时，甲比多行一个全程。 典型例题： 在 300 米的椭圆形跑道上，小田和小刘同时同地起跑，如果同向而跑 2 分 30 秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，小齐和小强的速度分别是多少？ 如图，A、B 是圆形跑道的两端，小张在 A 点，小陈在 B 点同时出发，反向 行走，他们在 C 点第一次相遇，C 点离 A 点的跑道长 80 米；在 D 点第二次相 遇，D 点离 B 点跑道长 60 米，求这个圆形跑道的长度。 D A B c 3、 “流水行船”问题： 解答这类问题的要素有下列几点： 船行使时本身的速度（简称船速） 、水流速度（简称水速） 、顺流速度、逆流速 度； 航程（船行驶的路程） 、顺流行驶时间和逆流行驶时间，平均速度的算法。 基本关系式如下： 顺流速度= 船速 + 水速 逆流速度= 船速 - 水速 （记住这个原理下面的四个关系式也就都理解了） 顺流速度=逆流速度+ 2水速 逆流速度=顺流速度-2水速 船速（没有水流的情况下船本身的行使速度）= （顺流速度+逆流速度） 2 水 速 =（顺流速度 - 逆流速度） 2 典 型 例 题 ： 一 位 少 年 短 跑 选 手 ， 顺 风 跑 90 米 用 了 10 秒 钟 ， 在 同 样 的 风 速 下 ， 逆 风 跑 70 米 ， 也 用 了 10 秒 钟 。 问 ： 在 无 风 的 情 况 下 ， 他 跑 100 米 用 多 长 时 间 ？ 一艘轮船顺流航行 105 千米，再逆流航行 120 千米，共用 12 小时；若顺流 . 可编辑修改 7 航行 60 千米，再逆流航行 132 千米，共用 15 小时。如果先顺流航行 120 千米， 再逆流航行 120 千米回到始点，最短需要多少小时？ 4、 “火车过桥”问题 解答火车过桥问题的关键是要明确火车“完全”通过大桥所经过的路程： 从火车头接触桥的一端开始，到火车尾离开桥的另一端。如下图，我们可以这 样理解此一问题：火车“完全”通过大桥所经过的路程也就是火车尾在车头上 桥开始到车尾离开桥结束所要经过的路程，也就是“火车的长度+桥的长度” ， 然后利用 路程（桥的长度 +火车的长度）= 速度（也就是火车的速度）过桥 时间。 图示： 火车上桥时 车尾还在距离车头 火车下桥是指一个车长的位置 车尾离开桥 桥 长 由此可见，火车过桥所经过的路程也就是图中车尾经过的路程 即火车的长度+桥的长度！ 典型例题： 一座大桥长 3400 米，一列火车通过大桥时每分钟行 800 米，从车头上桥到 车尾下桥共需 4.5 分。这列火车长多少米？ 一 列 火 车 车 身 长 200 米 ， 用 15 秒 开 过 每 小 时 4 千 米 的 同 方 向 行 走 的 步 行 人 甲 ， 而 用 12 秒 开 过 骑 自 行 车 的 人 乙 ， 那 么 乙 每 小 时 行 多 少 千 米 ？ 某特训纵队以 7 千米/时的速度行进，队尾的通讯员以 11 千米/时的速度赶 到队首送一封信，送到后又立即返回队尾，共用 0.22 小时，求这支队伍的长度。 5、 “钟表问题” 首先需要说明的是，研究钟表时间的数学问题钟表问题不一定都能用 行程问题的思想来解答，但是其中相当一部分问题应用到了行程问题中的追及 或领先模式。同学们都有这样一个基本常识，钟表的时针、分针和秒针都是做 同一方向运动的（当然是顺时针方向） ，而且显然秒针走的最快，而时针走的最 慢。钟表问题常常是围绕时针、分针或秒针的重合、垂直、成直线或夹角的度 数等问题来进行研究的。 钟面上有 12 个数字（1 到 12）对应 1 点到 12 点，每个数字间都有 5 个小 格，这样，125=60 个小格，对应分针走 60 分钟是一个小时。以小格来计算， 时针每小时走 5 小格，分针每小时走 60 小格（刚好走一个圆周） ，时针的速度 是分针的 ， 分 针 每 分 钟 比 时 针 多 走 1- = 小 格 ， 在 计 算 分 针 与 时 针 夹22 角 时 ， 我 们 更 可 以 根 据 圆 周 角 =360 度 ， 分 针 每 小 时 走 完 一 个 圆 周 ， 每 份 钟 走 36060=6（ 度 ） 对 应 上 面 提 到 的 一 小 格 ， 时 针 每 小 时 走 30 度 ， 所 . 可编辑修改 8 以 时 针 每 分 钟 走 了 3060=0.5（ 度 ） ， 分 针 每 分 钟 比 时 针 多 走 6- 0.5=5.5（ 度 ） ， 这 个 度 数 差 也 就 是 我 们 解 决 钟 表 问 题 经 常 用 到 的 “速 度 差 ” 典 型 例 题 ： 6 时 整 时 ， 时 针 与 分 针 反 方 向 成 一 条 直 线 ， 下 一 次 时 针 与 分 针 反 向 成 一 条 直 线 时 是 几 时 几 分 ？ 图 示 ： 小明晚上 6 点钟开始做作业，一直到时针与分针第二次成直角时，作业 正好做完，小明做作业花了多少时间？ 一个旧时钟，时针和分针每隔 66 分钟重合一次，如早上 7 点将时钟对 准，到第二天早晨时钟的时针再次指向 7 点时，实际是几点几分？（答案：7 点 12 分） 钟表问题中不需要应用行程思想的题型举例： 有一块表，每小时比标准时间慢一分钟，中午 12 时调准，下午慢钟指到 6 时时， 标准时间是下午几时几分？ 这个问题，可以根据“问题表”的指针速度不变，看作钟表与标准时间成正比 例来解答 6、一般行程问题 升学考试中即便考到“一般”行程问题，也不会很直接地给出已知条件， 也就是说最终能利用基本关系式解决问题的“时间” 、 “速度” 、 “路程”是需要 你利用已知条件去推算的。而且考题中很可能涉及到比例的数学思想，应用设 数法解题,综合分析法等技巧。另外行程中间有“停留”或速度变化的问题也需 要注意，具体问题具体分析。 典型例题： 小王骑摩托车往返 A、B 两地。平均速度为每小时 48 千米，如果他去时每小 时行 42 千米，那么他返回时的平均速度是每小时行多少千米？ 一辆火车的速度为 121 千米每小时，现有一块每 4 小时慢 2 分钟的表。若用 这块表计时，这辆火车的速度是多少？ 7、注意行程问题中的综合题，举例如下： 既涉及相遇又涉及到追及的综合A、B 两地相距 1800 米，若甲乙两人分别 从 A、B 两地同时出发，9 分钟会相遇；如果两人同向而行，则甲 30 分钟可以 追到乙，问：甲从 A 地到 B 地需要多少小时？ 相遇问题和领先问题 甲、乙、丙三人，每分钟分别行 68 米、70.5 米、 72 米。现甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙和乙相遇 后，丙又过了 2 分钟与甲相遇。求：东西两镇相距多少千米。 火 车 过 桥 问 题 中 有 追 及 和 相 离 的 问 题 一 列 火 车 车 身 长 200 米 ， 用 15 秒 开 过 每 小 时 4 千 米 的 同 方 向 行 走 的 步 行 人 甲 ， 而 用 12 秒 开 过 骑 自 行 车 的 . 可编辑修改 9 人 乙 ， 那 么 乙 每 小 时 行 多 少 千 米 ？ 行程中有停留的，要具体问题具体分析：绕湖一周是 24 千米，小张和小陈 从湖边某一地点同时出发反向而行。小张以每小时 4 千米的速度走 1 小时休息 5 分钟，小陈以每小时 6 千米的速度每走 50 分钟休息 10 分钟。两人出发多长 时间第一次相遇？ 行程问题结合比的应用，重点题型 甲 乙 分 别 从 A、 C 两 地 同 时 出 发 ， 匀 速 相 向 而 行 ， 它 们 的 速 度 比 是 5： 4， 相 遇 于 B 地 后 ， 甲 继 续 以 原 来 的 速 度 向 C 地 的 方 向 前 进 ， 而 乙 则 立 即 调 头 返 回 C， 且 乙 的 速 度 比 相 遇 前 降 低 了 ， 这 样 ， 当 乙 回 到 C 地 时 ， 甲 刚 好 到 达 离 C 地 18 千 米 处 的 D 地 ， 那 么51 A、 C 之 间 的 距 离 是 多 少 千 米 ？ 之 所 以 将 此 题 列 为 重 点 题 型 ， 原 因 如 下 ： 小 学 六 年 级 分 数 、 比 、 百 分 数 、 比 例 是 数 学 知 识 的 重 点 ， 而 结 合 分 数 （ 分 率 ） 、 百 分 数 、 比 和 比 例 的 行 程 问 题 较 为 复 杂 、 抽 象 ， 可 以 很 好 地 考 查 同 学 们 综 合 运 用 所 学 知 识 的 思 维 能 力 行程问题结合分 数 、 百 分 数 、 比 和 比 例 的 综 合 问 题 典 型 例 题 解 析 典 型 例 题 一 ： 一 辆 汽 车 和 一 辆 摩 托 同 时 从 A、 B 两 地 相 对 开 出 。 汽 车 每 小 时 行 50 千 米 ， 摩 托 车 的 速 度 是 汽 车 速 度 的 ， 相 遇 后 汽 车 继 续 行 3.2 小54 时 到 达 B 地 。 A、 B 两 地 相 距 多 少 千 米 ？ 线 段 图 分 析 ： 从 相 遇 点 开 始 ， 到 B 地 汽 车 从 A 点 出 发 汽 车 共 用 3.2 小 时 相遇时汽车走出“5 份” 相遇时摩托车走出“4 份” A B 两车此时相遇 摩托车从 B 点出发 解法（一）相遇问题中，同时两地出发，相向而行的两车相遇，相遇时行驶的 时间相同，路程比等于速度比（正比例关系） ，则我们算出速度比也就算出了路 程比。 1 ： = 5 ： 4， 503.24（5+4）=360 （千米） 答：A 、 B 两 地 相 距 360 千 米 。 解 法 （ 二 ） 直 接 利 用 “相遇时行驶的时间相同”的原理： 503.2=160（千米）两车相遇地点到 B 点的路程 160（50 ） = 4(小 时 )相 遇 时 摩 托 车 所 用 时 间 ， 也 就 是 相 遇 时 汽 车 所5 用 时 间 （ 50+40） 4 = 360（千米） 典型例题二：甲乙两人同时从从 A、 B 两 地 出 发 ， 相 向 而 行 ， 出 发 时 他 们 . 可编辑修改 10 的 速 度 比 是 3 ： 2， 相 遇 后 ， 甲 继 续 向 B 地 走 ， 但 是 速 度 提 高 了 20%， 乙 继 续 向 A 地 走 ， 速 度 比 相 遇 前 提 高 了 30%。 这 样 ， 当 甲 到 达 B 地 时 ， 乙 离 A 地 还 有 14 千 米 。 那 么 A、 B 两 地 间 的 距 离 是 多 少 千 米 ？ 线 段 图 分 析 ： 甲 A B 乙 此时相遇 14 千米 解法（一）设数法解题，设甲、乙两人相遇时间是 1 小时，那么也就是甲在相 遇前，走完全程的 ， 用 了 1 小 时 ， 则 甲 的 速 度 就 是 每 小 时 行 全 程 的 ， 甲53 53 提 速 后 每 小 时 可 以 行 完 全 程 的 （1+20%）= ， 那 么 提 速 后 行 完 剩 下 的53258 用 掉 的 时 间 是 = （ 小 时 ） ； 同 理 ， 乙在相遇前，走完全程的 ，52289 2 用 了 1 小 时 ， （1+30% ）= （ 乙 提 速 后 的 “速 度 ”） ， 在 甲 从 相 遇 至 到 达 B 地 这 段513 时 间 内 ， 乙 走 了 全 程 的 = ， 这 时 离 A 地 还 差 14 千 米 ， 那 么 14 千 米 相 当 与 全 程 的 （ -25394 53 ） 。1 设甲、乙两人相遇时间是 1 小时 （1+20% ）= =53258218 （ 小 时 ）95 （1+30% ） = 14（ - ） =45（ 千 米 ）29543 答 ： A、 B 两 地 间 的 距 离 是 45 千 米 。 解 法 （ 二 ） 相 遇 时 ， 甲 走 了 “3 份 ”路 程 ， 乙 走 了 “2 份 ”路 程 ， 相 遇 后 甲 乙 的 速 度 比 为 3（1+20%）：2（1+30%）=18：13，从相遇开始，甲到 达 B 点还要走“ 2 份 ”路 程 ， 这 是 乙 行 了 21813= “份 ”路 程 。93 3（1+20%）：2（1+30%）=18：13 21813= （ 3+2） -（ 2+ ） = 14 （ 3+2） =45（ 千9134 米 ） 典 型 例 题 三 ： 从 甲 地 到 乙 地 的 路 程 分 为 上 坡 、 平 路 、 下 坡 三 段 ， 路 程 全 长 是 20 千 米 。 各 段 路 程 之 比 是 1： 2： 3， 某 人 走 这 三 段 路 所 用 时 间 比 是 . 可编辑修改 11 4： 5： 6。 已 知 他 上 坡 时 的 速 度 是 每 小 时 2.5 千 米 ， 则 此 人 从 甲 地 到 乙 地 共 需 多 长 时 间 ？ 线 段 图 分 析 ： 2 份 1 份 3 份 解 法 ： 20 = （ 千 米 ） 2.54（4+5+6）=5（小时）310310 答：此 人 从 甲 地 到 乙 地 共 需 5 小 时 。 典 型 例 题 四 ： 一 辆 汽 车 从 甲 地 开 往 乙 地 ， 如 果 把 车 速 提 高 20%， 可 以 比 原 定 时 间 提 前 1 小 时 到 达 ； 如 果 按 原 速 行 驶 120 千 米 后 ， 再 将 速 度 提 高 25%， 则 可 提 前 40 分 钟 到 达 。 那 么 甲 、 乙 两 地 相 距 多 少 千 米 ？ 线 段 图 分 析 及 解 法 ： 第 一 种 情 况 速 度 提 高 20%， 则 速 度 提 高 到 原 来 的 56 则 所 用 时 间 将 是 按 原 速 行 驶 所 用 时 间 的 因 为 路 程 一 定 ， 速 度 与 时 间 成 反 比 ， 据 此 我 们 建 立 反 比 例 模 型 ， 设 速 度 为 x， 时 间 为 y， 路 程 为 k(路 程 k 一 定 )， 则 有 xy=k, 1+20%= ,( x) (56 y)=k,时 间 缩 短 为 按 原 速 行 驶 所 需 时 间 y 的 ， 则 1- 也 就 是 1 小 时 的65 65 时 间 所 对 应 的 分 率 。 解 题 时 书 写 1+20%= =1 1（ 1- ） =6 小 时 （ 即 按56 原 速 行 驶 需 6 小 时 ） 第 二 种 情 况 120 千 米 速 度 提 高 25%， 则 速 度 提 高 到 原 来 的 45 则 所 用 时 间 将 是 按 原 速 行 驶 所 用 时 间 的 54 与 第 一 种 情 况 同 理 ， 可 以 算 出 按 原 速 行 完 除 去 120 千 米 的 剩 余 部 分 用 小310 . 可编辑修改 12 时 ， 则 按 原 速 行 驶 120 千 米 所 用 的 时 间 是 6- = （ 小 时 ） ， 由 此 可 以 求3108 出 原 速 度 ， 在 根 据 第 一 种 情 况 的 结 论 用 速 度 乘 以 时 间 求 出 全 程 。 解 题 时 书 写 ： 1+25%= =1 40 分 钟 = 小 时 ， （ 1- ） = （ 小4525430 时 ） 120（ 6- ） 6=270（千米）3 答：甲 、 乙 两 地 相 距 270 千 米 。 典 型 例 题 五 ： 如 图 ， 甲 、 乙 分 别 从 A、 C 两 地 同 时 出 发 ， 匀 速 相 向 而 行 ， 它 们 的 速 度 比 是 5： 4， 相 遇 于 B 地 后 ， 甲 继 续 以 原 来 的 速 度 向 C 地 的 方 向 前 进 ， 而 乙 则 立 即 调 头 返 回 C， 且 乙 的 速 度 比 相 遇 前 降 低 了 ， 这 样 ， 当 乙51 回 到 C 地 时 ， 甲 刚 好 到 达 离 C 地 18 千 米 处 的 D 地 ， 那 么 A、 C 之 间 的 距 离 是 多 少 千 米 ？ A B C D 线 段 图 分 析 及 解 法 ： 甲 A B C D 乙 如图，甲 、 乙 相 遇 于 B 点 时 ， 所 行 路 程 AB 与 AC 之 间 的 比 等 于 他 们 的 速 度 比 5： 4， 而 当 “乙 的 速 度 比 相 遇 前 降 低 了 ”后 ， 甲 、 乙 所 行 的 路 程 比 应 是51 5： 4（1- ） =25： 16， 如 果 我 们 设 BC 之 间 的 路 程 为 X 千 米 ， 则 有 BD:BC=25： 16,而 BD=BC+CD=BC+18,建 立 比 例 式 后 ， 问 题 迎 刃 而 解 。 解 题 时 书 写 ： 解 ： 设 BC 之 间 的 路 程 为 X 千 米 。 4（1- ） = 5： =25： 16 (x+18):x=25： 16,解 比 例 得 x=32 324(5+4)=72(千米) 答：A 、 C 之 间 的 距 离 是 72 千 米 . 可编辑修改 13 较复杂的行程问题 【名师导航】 行程问题是根据速度、时间、路程之间的关系，研究物体运动情况的问题。解 决行程问题常用方法有：1、分解。将综合性的题先分解成若干个基本题，再按 其所属类型，直接利用基本数量关系解题。 2、图示。把题中复杂的情节，通过线段图清楚地表示出来，帮助分析思考。 3、简化。对于一些较复杂的问题，解答时可以先退一步，考虑最基本的情况， 使复杂的问题简单化，从而找到解题途径。 4、挖掘。把题目中隐藏的条件给挖掘出来，特别是对一些关键字眼的仔细推敲， 对解题起至关重要的作用。 【例题精讲】 例题 1、甲、乙两车分别从 A，B 两地同时出发相向而行，6 小时后相遇在 C 点如果甲车速度不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A，B 两地同时出 发相向而行，则相遇地点距 C 点 12 千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行 5 千米，且两车还从 A，B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 16 千 米甲车原来每小时行多少千米? 解： 方法一：(12+16)5=56 小时， 51.628 (千米)，4206=70(千米) 514208AB 甲车原来每小时走 (千米)7316 方法二：设甲、乙两人原来的速度分别为 x 千米时，y 千米时，那 么 AC=6x，BC=6y， 在第二、三次相遇中利用甲、乙两人所用时间相等，可得方程组： . 可编辑修改 14 ,交叉相乘,解得 61256xy 304xy 即甲原来的速度是每小时 30 千米 方法三：设第一次改变速度，甲、乙相遇在 D 点，第二次改变速度，甲、 乙相遇在 E 点 在第二次相遇中，假设走满 6 小时，甲走到了 C 点，乙则走到了 F 点，FC 长：56=30(千米)，FD 长：30-12=18(千米) 所以乙提速 5 千米时后，甲、乙速度比为 DC：DF=12：18=2：3 同样的，在第三次相遇中，假设走满 6 小时，乙走到了 C 点，甲则走到了 G 点， CG 长：56=30(千米)，EG 长：30-16=14(千米)，所以甲提速 5 千米时后， 甲、乙速度比为 EG：CE=14：16=7：8 设甲原来速度为 x 千米小时，乙原来速度为 y 千米小时，则 23578xy 解得 即甲原来的速度为每小时 30 千米304xy 例题 2、甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人 的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快两人出发后 1 小 时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰那 么甲回到出发点共用多少小时? 解：将上山甲、乙速度分别记为 a、b；则下山时甲、乙速度为 1.5a、1.5b . 可编辑修改 15 用 h 表示山顶到山脚的距离， 由右图知： ，即有 4b=3a0.51hab 由左图知： 即 ;得 h=3600 米 6.601.5.7h 即山顶到山脚的距离为 3600 米 再变回到“甲下山速度是上山速度的 1.5 倍” 由 1 小时后，甲距山脚还有 3600-600=3000 米知，甲到山脚还需 3000(4000 15)=O.5 小时 所以甲自出发到回到山脚共用 1+0.5=1.5 小时 做一做 1、男、女两名田径运动员在长 110 米的斜坡上练习跑步(坡顶为 A，坡 底为 B两人同时从 A 点出发，在 A，B 之间不停地往返奔跑已知男运动员上 坡速度是每秒 3 米，下坡速度是每秒 5 米，女运动员上坡速度是每秒 2 米，下 坡速度是每秒 3 米那么两人第二次迎面相遇的地点离 A 点多少米? 解：开始下山时，男运动员的速度大于女运动员的速度，有男运动员到达坡底 B 所需时间为 1105=22 秒，此时女运动员才跑了 223=66 米 现在女运动员的速度不变，还是每秒 3 米，而男运动员将从 B 上坡到 A， 速度变为每秒 3 米男、女运动员的距离为 110-66=44 米，所以当男运动员再 跑 44(3+3)3=22 米后男女运动员第一次迎面相遇，相遇点距 B 地 22 米，如 下图所示(本题 4 图所标注数字均是距坡底 B 的距离数) . 可编辑修改 16 所以当女运动员到达坡底 B 时，男运动员又跑了 22 米，即到达距 B 地 44 米的 地方，如下图所示 此后，女运动员从坡底 B 上坡到 A，速度变为每秒 2 米，男运动员的速度 还是每秒 3 米，所以当男运动员再跑 110-44=66 米到达坡顶 A 时，女运动员才 跑了 6632=44 米，即距离坡底 B 地 44 米的地方，如下图所示 这时，女运动员的速度不变还是每秒 2 米，而男运动员的速度变为每秒 5 米， 男、女运动员相距 110-44=66 米，所以当男、女运动员第二次相遇时，男运动 员又跑了 米，如下图所示16(52)47 即第二次相遇的地点距以 点 米147 例题 3、某人沿电车线路行走，每 12 分钟有一辆电车从后面追上，每 4 分钟有 一辆电车迎面开来假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔 解：设电车的速度为 a，行人的速度为 b，因为每辆电车之间的距离为定值，设 为 l 由电车能在 12 分钟追上行人 l 的距离知， ； 由电车能在 4 分钟能12a 与行人共同走过 l 的距离知， ,所以有 l=12(a-b)=4(a+b)，有 a=2b，4ab . 可编辑修改 17 即电车的速度是行人步行速度的 2 倍 那么 l=4(a+b)=6a，则发车间隔上： 6la 即发车间隔为 6 分钟 例题 4、A，B 两地相距 105 千米，甲、乙两人分别骑车从 A，B 两地同时相向出 发,甲速度为每小时 40 千米，出发后 1 小时 45 分钟相遇，然后甲、乙两人继续 沿各自方向往前骑在他们相遇 3 分钟后，甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙 在 C 地追上乙若甲以每小时 20 千米的速度，乙以每小时比原速度快 2 千米的 车速，两人同时分别从 A，B 出发相向而行，则甲、乙二人在 C 点相遇，问丙的 车速是多少? 解： 甲以 40 千米小时的速度行驶 l 小时 45 分钟，行驶了 千米，那么剩下的 105-70=35 千米为乙在 1 小时 45 分钟内行4501706 驶的，所以乙的速度为 千米小时，如下图所示351204 又甲、乙再行驶 3 分钟，那么甲又行驶了 千米，乙又行驶了34026 千米即在甲、乙相遇 3 分钟后，乙行驶至距 B 地 35+1=36 千米的地2016 方，甲行驶至距 A 地 70+2=72 千米的地方，此地距 B 地 10572=33 千米，如下 图所示 . 可编辑修改 18 而如果甲以 20 千米小时的速度，乙的速度增加 2 千米小时至 22 千米 小时，那么相遇点 C 距 B 地为： 千米，如下图所示1052 那么，当丙与甲相遇在距 B 地 33 千米的地方时，乙在距 B 地 36 千米的地方， 而后丙行驶至 C 地(距 B 地 55 千米)时，乙也在 C 地，即相遇 在这段时间内，乙行驶了 55-36=19 千米，而丙行驶了 55-33=22 千米，所 以丙的速度为 千米小时，23019 如下图所示 例题 5、从甲市到乙市有一条公路，它分成三段在第一段上，汽车速度是每 小时 40 千米；在第二段上，汽车速度是每小时 90 千米；在第三段上，汽车速 度是每小时 50 千米己知第一段公路的长恰好是第三段的 2 倍，现有两汽车分 别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1 小时 20 分后，在第二段从甲到乙方向 的 处相遇那么，甲、乙两市相距多少千米?3 解：设第一、二、三段公路的长度依次为 a、b、c，有 a=2c，如下图所示： . 可编辑修改 19 易知当另一汽车到达第二、三段交接点处，即行驶的路程为 c 时，一汽车 行驶的路程为 ，而第一段长度为第三段长度的 2 倍，所以甲行驶至第一段405c 的 处,如下图所示2a 所以当另一汽车行驶 路程的时间内，23b 一汽车行驶了 的距离，同时减去 的里程，则另一汽车行驶了 的315ab13b1 路程，一汽车行驶了 的路程 由两汽车行驶的时间相等知 ，即 a:b=20：81，如下图所示 153409ab 设第一段路程为 20k，则第二段路程为 81k，第三段路程为 lOk； 于是，一汽车跑至 第二段时，所需时间为 ，解得131120489033kk 而甲乙全程为 20k+81k+10k=111k，有 53k 51 所以甲、乙两市相距 185 千米 例题 6、甲、乙两人在 400 米圆形跑道上进行 10000 米比赛两人从起点同时 同向出发，开始时甲的速度为每秒 8 米，乙的速度为每秒 6 米当甲每次追上 乙以后，甲的速度每秒减少 2 米，乙的速度每秒减少 0.5 米这样下去，直到 甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速度每秒增加 O.5 米， . 可编辑修改 20 直到终点那么领先者到达终点时，另一人距终点多少米? 解： 先求出当第一次甲追上乙时的详细情况，因为甲乙同向，所以为追击问 题 甲、乙速度差为 8-6=2 米秒，当甲第一次追上乙时，甲应比乙多跑了一圈 400 米，即甲跑了 40028=1600 米，乙跑了 40026=1200 米 相遇后，甲的速度变为 8-2=6 米秒，乙的速度变为 6-0.5=55 米 秒显然，甲的速度大于乙，所以仍是甲超过乙 当甲第二次追上乙前，甲、乙速度差为 6-5.5=0.5 米秒，追上乙时，甲 应在原基础上再比乙多跑一圈 400 米，于是甲又跑了 4000.56=4800 米，乙 又跑了 4000.55.5=4400 米 甲第二次追上乙后，甲的速度变为 6-2=4 米秒，乙的速度变为 5.5-0.5= 5 米秒显然，现在乙的速度大于甲，所以变为乙超过甲 当乙追上甲时，甲、乙速度差为 5-4=1 米秒，乙追上甲时，乙应比甲多 跑一圈 400 米，于是甲又跑了 40014=1600 米，乙又跑了 40015=2000 米 。 这时甲的速度变为 4+0.5=4.5 米秒，乙的速度变为 5+0.5=5.5 米秒并 以这样的速度跑完剩下的全程 在这过程中甲共跑了 1600+4800+1600=8000 米，乙共跑了 1200+4400+2000=7600 米 甲还剩下 10000-8000=2000 米的路程，乙还剩下 10000-7600=2400 米的路 程 显然乙先跑完全程，此时甲还剩下 米的路24040.5361 程 即当领先者到达终点时，另一人距终点 米36 评注：此题考察了我们的分析问题的能力，也考察了我们对追击这一基本 行程问题的熟练程度. 做一做 2、龟兔赛跑，全程 5.2 千米，兔子每小时跑 20 千米，乌龟每小时跑 3 千米乌龟不停地跑；但兔子却边跑边玩，它先跑了 1 分钟然后玩 15 分钟，又 . 可编辑修改 21 跑 2 分钟然后玩 15 分钟，再跑 3 分钟然后玩 15 分钟，那么先到达终点 的比后到达终点的快多少分钟? 解： 乌龟到达终点所需时间为 5.2360=104 分钟 兔子如果不休息，则需要时间 5.22060=15.6 分钟 而兔子休息的规律是跑 1、2、3、分钟后，休息 15 分钟 因为 15.6=1+2+3+4+5+0.6，所以兔子休息了 515=75 分钟，即兔子跑到 终点所需时间为 156+75=906 分钟 显然，兔子先到达，先乌龟 104-90.6=13.4 分钟达到终点 例题 7、A，B 两地相距 125 千米，甲、乙二人骑自行车分别从 A，B 两地同时出 发，相向而行丙骑摩托车以每小时 63 千米的速度，与甲同时从 A 出发，在甲、 乙二人间来回穿梭(与乙相遇立即返回，与甲相遇也立即返回)若甲车速度为 每小时 9 千米，且当丙第二次回到甲处时(甲、丙同时出发的那一次为丙第零次 回到甲处)，甲、乙二人相距 45 千米问：当甲、乙二人相距 20 千米时，甲与 丙相距多少千米? 解：我们设乙的速度为 9x，即甲的 x 倍 当乙、丙第一次相遇的时候，设甲走了“1” ，则乙走了“x” ，丙走了“7” ， 所以有“7”+“x”=125，于是“1” ，此时甲、丙相距“7”-“1”1257x =“6” 这样丙第一次回到甲时，甲又向前行 9= ,丙又行了“6”-639“”4“” ，乙又行了3214“”34x“”“” . 可编辑修改 22 所以，甲、乙此时相距 千米.213312537(7)()125444xxxx“” 有丙第二次回到甲处的时，125 千米的路程相当于百 千米，371254x 即甲、乙相距 ，所以 , ,解得 2371544x2765xx 所以乙的速度为 千米小时79x97 当第三次甲、丙相遇时，甲、乙相距 千米33455247x 当第四次甲、丙相遇时，甲、乙相距 千米，而题中甲、乙相距38175 20 千米，此时应在甲、丙第三次和第四次相遇的某个时刻 有 千米，而甲、乙的速度比为 9：7，所以甲从甲、丙第四次相819205 遇处倒退 千米即可70 又因为丙的速度是甲的 7 倍，所以丙倒退的路程应为甲的 7 倍，于是甲、丙相 距 千米171().80 当甲、乙二人相距 20 千米时,甲与丙相距 17.1 千米. 评注：甲从 A 地往 B 地出发，乙从 B 地往 C 出发，丙从 A 地开始在甲乙之 间来回往返跑动 当甲丙第 1 次相遇时所需的时间为 t，(甲、丙同时出发时，算第 0 次相遇) 则甲丙第 2 次相遇时还所需的时间为 vvt乙丙 甲 丙 乙丙 甲 丙 则甲丙第 3 次相遇时还所需的时间为 2tvv乙丙 甲 丙 乙丙 甲 丙 . 可编辑修改 23 则甲丙第 n 次相遇时还所需的时间为 1nvvt乙丙 甲 丙 乙丙 甲 丙 由此可知,丙在相邻的 2 次相遇之间所走路程为等比数列. 例题 8、一辆小汽车与一辆大卡车在一段 9 千米长的狭路上相遇，必须倒车， 才能继续通行已知小汽车的速度是大卡车速度的 3 倍，两车倒车的速度是各 自速度的 ，小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车的路程的 4 倍如果小汽车15 的速度是每小时 50 千米，那么要通过这段狭路最少用多少小时? 解： 如果一辆车在倒车，另一辆的速度一定大于其倒军速度，即一车倒出狭路另一 车也驶离狭路，倒车的车可立即通过 小汽车倒车的路程为 千米，大卡车倒车的路程为947.21 千米91.84 小汽车倒车的路程为 千米小时，大卡车倒车的速度为50 千米/小时053 当小汽车倒车时，倒车需 7.210=O.72 小时，而行驶过狭路需 950=0.18 小时，共需 072