专题：构造全等三角形方法总结

专题：构造全等三角形利用三角形的中线来构造全等三角形（倍长中线法）倍长中线法：即把中线延长一倍，来构造全等三角形。图1GCFBAED1、如图1，在ABC中，AD是中线，BE交AD于点F，且AEEF试说明线段AC与BF相等的理由简析由于AD是中线，于是可延长AD到G，使DGAD，连结BG，则在ACD和GBD中，ADGD，ADCGDB，CDBD，所以ACDGBD（SAS），所以ACGB，CADG，而AEEF，所以CADAFE，又AFE BFG，所以BFGG，所以BFBG，所以ACBF说明要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个三角形全等，而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形利用三角形的角平分线来构造全等三角形法一：如图，在ABC中，AD平分BAC。在AB上截取AE=AC，连结DE。（ 可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。） 法二：如图，在ABC中，AD平分BAC。延长AC到F，使AF=AB，连结DF。(可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。)法三：在ABC中，AD平分BAC。作DMAB于M，DNAC于N。(可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形)（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN）2、已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180 法一：证明：在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。 法二：延长BA到F，使BF=BC，连结DF。 BD是ABC的角平分线（已知） BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义） 1=2（角平分线定义）在ABD和EBD中 在BFD和BCD中 AB=EB（已知） BF=BC（已知） 1=2（已证） 1=2（已证） BD=BD（公共边） BD=BD（公共边）ABDEBD（S.A.S） BFDBCD（S.A.S） A3（全等三角形的对应角相等） FC（全等三角形的对应角相等AD=DE（全等三角形的对应边相等） DF=DC（全等三角形的对应边相等） AD=CD（已知），AD=DE（已证） AD=CD（已知），DF=DC（已证）DE=DC（等量代换） DF=AD（等量代换） 4=C（等边对等角） 4=F（等边对等角） 3+ 4180 （平角定义）， FC（已证）A3（已证） 4=C（等量代换）A+ C180（等量代换） 3+ 4180（平角定义） A+ C180（等量代换） 法三：作DMBC于M，DNBA交BA的延长线于N。 BD是ABC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义） DNBA，DMBC（已知）N=DMB=90（垂直的定义）在NBD和MBD中 N=DMB （已证） 1=2（已证） BD=BD（公共边）NBDMBD（A.A.S） ND=MD（全等三角形的对应边相等） DNBA，DMBC（已知）NAD和MCD是Rt在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已证） AD=CD（已知）RtNADRtMCD（H.L） 4=C（全等三角形的对应角相等） 3+ 4180（平角定义）， A3（已证）A+ C180（等量代换） 法四：作DMBC于M，DNBA交BA的延长线于N。 BD是ABC的角平分线（已知） DNBA，DMBC（已知） ND=MD（角平分线上的点到这个角的两边距离相等） DNBA，DMBC（已知）NAD和MCD是Rt在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已证） AD=CD（已知）RtNADRtMCD（H.L） 4=C （全等三角形的对应角相等） 3+ 4180（平角定义） A3（已证）A+ C180（等量代换）利用高可以高线为对称轴构造全等三角形EDCBA3、在ABC中，ADBC，若C2B试比较线段BD与AC+CD的大小 简析由于ADBC，所以可在BD上截取DEDC，于是可得ADEADC（SAS），所以AEAC，AEDC，又C2B，所以AED2B，而AEDB+BAE，即BBAE，所以BEAEAC，所以BDBE+DEAE+DEAC+CD 说明利用三角形高的性质，在几何解题时，可以高线为对称轴构造全等三角形求解利用特殊图形可通过旋转变换构造全等三角形图4PPBAC4、设点P为等边三角形ABC内任一点，试比较线段PA与PB+PC的大小简析由于ABC是等边三角形，所以可以将ABP绕点A旋转60到ACP的位置，连结PP，则ACPABP（SAS），所以APAP，CPBP，APP是等边三角形，即PPPA，在CPP中，因为PPPC+PC，所以PAPB+PC说明由于图形旋转的前后，只是位置发生了变化，而形状和大小都没有改变，所以对于等边三角形、正方形等特殊的图形我们可以利用旋转的方法构造全等三角形来解题利用利用平行线构造全等三角形F图5MEABCD5、ABC中，ABAC，E是AB上任意一点，延长AC到F，连接EF交BC于M，且EMFM试说明线段BE与CF相等的理由简析由于BE与CF的位置较散，故可考虑将线段CF平移到ED，所以过点E作 EDCF，则EDBACB，EDMFCM，由于EMFM，EMDFMC，所以EMDFMC（AAS），所以EDCF，又因为ABAC，所以BACB，即BEDB，所以EBED，所以BECF说明这里通过辅助线将较散的结论相对集中，使求解的难度降低综合练习1、如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：C=2B法一：证明：在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。 AD是BAC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在AED和ACD中 AE=AC（已知） 1=2（已证） AD=AD（公共边）AEDACD（S.A.S） C3（全等三角形的对应角相等)ED=CD（全等三角形的对应边相等）又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）EB=DC=ED（等量代换）B=4（等边对等角） 3= B+4= 2B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）C=2B（等量代换） 法二：延长AC到F，使CF=CD，连结DF。 AD是BAC的角平分线（已知）1=2（角平分线定义） AB=AC+CD，CF=CD（已知） AB=AC+CF=AF（等量代换）在ABD和AFD中 AB=AF（已证） 1=2（已证） AD=AD（公共边）ABDAFD（S.A.S） FB（全等三角形的对应角相等） CF=CD（已知） B=3（等边对等角） ACB= 2F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）ACB=2B（等量代换）2、如图，已知直线MNPQ，且AE平分BAN、BE平分QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D，交PQ于点C。求证：AD+AB=BC。法一：证明：延长AE，交直线PQ于点F。法二：延长BA到点G，使得AG=AD，连结EG。 法三：延长BA到点G，使得AG=AD，连结EG。 3、已知：如图在RtABC中，BAC=90，AEBC， BD是ABC的角平分线， GFBC ，求证：AD=FC。证明：过D作DHBC，垂足为H。5戴氏教育集团 努力+勤奋+信心=成功