中考数学第一轮复习全套讲义精选(二)

学习特训营 中考数学高分专题 精讲精品讲义 第一高分专题 数与式 1 第一关 考点精讲 考点 1 有理数 实数的概念 知识要点 1 实数的分类 有理数 无理数 2 实数和数轴上的点是 对应的 每一个实数都可以用数轴上的 来表示 反过来 数轴上的 点都表示一个 3 叫做无理数 一般说来 凡开方开不尽的数是无理数 但要注意 用根号形式表示的 数并不都是无理数 如 也不是所有的无理数都可以写成根号的形式 如 4 典型考题 1 把下列各数填入相应的集合内 51 0 2 8 321 5 7 有理数集 无理数集 正实数集 2 在实数 中 共有 个无理数27 64 2 0 43 3 在 中 无理数的个数是 5sin321 4 写出一个无理数 使它与 的积是有理数 复习指导 解这类问题的关键是对有理数和无理数意义的理解 无理数与有理数的根本区别在于能否用既约分数来表示 考点 2 数轴 倒数 相反数 绝对值 知识要点 1 若 则它的相反数是 它的倒数是 0 的相反数是 0 a 2 一个正实数的绝对值是 一个负实数的绝对值是 0 的绝对值是 x 3 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与 的距离 典型考题 1 的倒数是 0 28 的相反数是 21 2 如图 1 数轴上的点 M 所表示的数的相反数为 M 3 则 的值为 0 2 nmnm 4 已知 且 则 的值等于 1 4 yx xy 5 实数 在数轴上对应点的位置如图 2 所示 下列式子中正确的有 cba 0 ca acb acb A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6 数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是 数轴上表示 1 和 3 的两点之间的距离是 数轴上表示 和 1 的两点 A 和 B 之间的距离是 如果 AB 2 那么x x 复习指导 1 若 互为相反数 则 反之也成立 若 互为倒数 则 反之也成立 ba 0 baba 1ab 2 关于绝对值的化简 1 绝对值的化简 应先判断绝对值符号内的数或式的值是正 负或 0 然后再根据定义把绝对值符号去掉 2 已知 求 时 要注意 xxx 考点 3 平方根与算术平方根 知识要点 1 0 1 2 3 图 1 2 1 0 1 2 a 图 2 3 bc 2 1 若 则 叫 做的 记作 正数 的 叫做算术平方根 0 的算术平 0 2 axxaa 方根是 当 时 的算术平方根记作 2 非负数是指 常见的非负数有 1 绝对值 2 实数的平方 3 算术平0 0 2a 方根 3 如果 是实数 且满足 则有cba 0 2 cba cba 典型考题 1 下列说法中 正确的是 A 3 的平方根是 B 7 的算术平方根是37 C 的平方根是 D 的算术平方根是5 15 2 2 2 9 的算术平方根是 3 等于 8 4 则03 yx xy 考点 4 近似数和科学计数法 知识要点 1 精确位 四舍五入到哪一位 2 有效数字 从左起 到最后的所有数字 3 科学计数法 正数 负数 典型考题 1 据生物学统计 一个健康的成年女子体内每毫升血液中红细胞的数量约为 420 万个 用科学计算法可以表示为 2 由四舍五入得到的近似数 0 5600 的有效数字的个数是 精确度是 3 用小数表示 5107 考点 5 实数大小的比较 知识要点 1 正数 0 负数 2 两个负数绝对值大的反而小 3 在数轴上 右边的数总大于左边的数 4 作差法 0 00 babababa 则 若则 若 则若 典型考题 1 比较大小 21 3 2 应用计算器比较 的大小是 5与 3 比较 的大小关系 4 1 4 已知 中 最大的数是 2 1 0 xx 那 么 在 考点 6 实数的运算 知识要点 1 是 正 整 数 时 当 naan 0 2 今年我市二月份某一天的最低温度为 最高气温为 那么这一天的最高气温比最低气温高C 5C 13 3 如图 1 是一个简单的数值运算程序 当输入 x 的值为 1 时 则输出的数值为 4 计算 1 21 3204 0 输入 x 输出 3 2 30cos2 1 0 考点 7 乘法公式与整式的运算 知识要点 1 判别同类项的标准 一是 二是 2 幂的运算法则 以下的 是正整数 nm nma 2 a 3 nab 0 4 aanm5b 3 乘法公式 1 2 32 b 4 去括号 添括号的法则是 典型考题 1 下列计算正确的是 A B C D 532x 632x 623 x 23x 2 下列不是同类项的是 A B C D与 nm与 ba241与 221y与 3 计算 2 1 a 4 计算 4yxyx 考点 8 因式分解 知识要点 因式分解的方法 1 提公因式 2 公式法 2 2 baba 典型考题 1 分解因式 2mn422 2 分解因式 1x 考点 9 分式 知识要点 1 分式的判别 1 分子分母都是整式 2 分母含有字母 2 分式的基本性质 0 mab 3 分式的值为 0 的条件 4 分式有意义的条件 5 最简分式的判定 6 分式的运算 通分 约分 典型考题 1 当 x 时 分式 有意义52 x 2 当 x 时 分式 的值为零4 3 下列分式是最简分式的是 4 A B C Dab 2axy3612 x12 x 4 下列各式是分式的是 A B C D12 6 5 计算 x 1 6 计算 2a 考点 10 二次根式 知识要点 1 二次根式 如 0 a 2 二次根式的主要性质 1 2 2 0 2aa 3 4 0 baab bb 3 二次根式的乘除法 0 aa 4 分母有理化 5 最简二次根式 6 同类二次根式 化简到最简二次根式后 根号内的数或式子相同的二次根式 7 二次根式有意义 根号内的式子必须大于或等于零 典型考题 1 下列各式是最简二次根式的是 A B C D 2x332x5 2 下列根式与 是同类二次根式的是 8 A B C D 6 3 二次根式 有意义 则 x 的取值范围 4 x 4 若 则 x 6 5 计算 32 6 计算 0 4522 a 7 计算 510 5 8 数 a b 在数轴上的位置如图所示 化简 222 1 ba 数与式考点分析及复习研究 答案 考点 1 有理数 实数的概念 1 有理数集 51 0 28 345 7 无理数集 1 正实数集 51 0 2 8 3 45 2 2 3 2 4 答案不唯一 如 2 考点 2 数轴 倒数 相反数 绝对值 1 8 0 2 5 3 1 4 8 5 C 6 3 4 x13或 考点 3 平方根与算术平方根 1 B 2 3 3 2 4 6 考点 4 近似数和科学计数法 1 个60 2 4 万分位 3 0 00007 考点 5 实数大小的比较 1 2 3 3 4 12 4 x1 考点 6 实数的运算 1 C 8 2 1 3 1 解 原式 4 2 解 原式 1 2 23 4 3 考点 7 乘法公式与整式的运算 1 C 2 B 3 12 2 aa 解 原式 24a 4 42yxyx 第 8题 1 解 原式 442yx 2 考点 8 因式分解 1 banm 2 1 x 考点 9 分式 1 5 2 3 D 4 A 5 x 解 原式 1 1 x 1 x 1 2x 6 1 2a 解 原式 1 2a1 2 a 考点 10 二次根式 1 B 2 A 3 4 x 4 2 5 323 解 原式 6 0 422 a 解 原式 5 3 7 105 8 222 baba 解 0 1 0 ba 原式 1 2 第二关 难题透视 例 1 根据下表中的规律 从左到右的空格中应依次填写的数字是 000 110 010 111 001 111 A 100 011 B 011 100 C 011 101 D 101 110 考点要求 本题考查以计算机语言为背景 用符号来表示数字的问题 利用符号来表示数字 0 和 1 要求能实现 符号与数字的相互转化 思路点拨 通过观察 不难发现两个并排的短横表示 0 而一条长横表示 1 所表示的数是从上往下看 因而表 格中的两个空格中所填的数这 011 和 100 答案 选 B 方法点拨 部分学生不能够读懂题意 无法做出正确选择 往往会随便猜出一个答案 突破方法 根据表格中 所提供的信息 找出规律 容易发现短横与长横所表示的不同意义 然后对照分析出两个安全空格中所应填写的 数字 解题关键 对题目中提供的信息要仔细观察分析 理解其表示的意义 例 2 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按图 1 1 方式铺地板 则第 3 个图形中有黑色瓷砖 块 第 个图形中需要黑色瓷砖 块 用含 的代数式表示 n n 第 8题 1 考点要求 本题考查数形结合 整理信息 将图形转化为数据 猜想规律 探求结论 思路点拨 根据图形可得出以下数据 第 1 个图形 黑色瓷砖 4 块 第 2 个图形 黑色瓷砖 7 块 第 3 个图形 黑色瓷砖 10 块 不难看出 每幅图形中的黑色瓷砖依次增加 3 块 如果把第一个图形中的黑色瓷砖表示为 1 3 则第 2 个图形中的黑色瓷砖可表示为 1 3 2 所以第 n 个图形中的黑色瓷砖为 1 3n 答案 黑色瓷砖 10 块 第 n 个图形中的黑色瓷砖为 1 3n 方法点拨 部分学生缺乏一定的图形鉴别能力 不知如何分析 突破方法 抓住其中的黑色瓷砖数目的变化规 律 结合图形 观察其变化规律 例 3 下列运算中 计算结果正确的是 A B 62x 22 nnxx C D 94 63 考点要求 本题考查整式运算公式 思路点拨 同底数幂的乘法法则是底数 不变指数相加 而除法可能转化为乘法进行 幂的乘方是底数不变 指数相乘 A 项结果应等于 C 项结果应等于 而 D 项无法运算 5x64x 答案 选 B 方法点拨 部分学生对幂运算公式掌握不够熟练 容易前生计算错误 突破方法 加强相关练习 熟悉乘法公 式 例 4 我国自行研制的 神舟 6 号飞船 载人飞船于 2005 年 10 月 12 日成功发射 并以每秒约 7 820185 公里的速度 在距地面 343 公里的轨道上绕地球一圈只需 90 分钟 飞行距离约 42229000km 请将这一数字用科学记数法表示 为 km 要求保留两位有效数字 考点要求 本题考查了学生科学记数法以及有效数字的知识 思路点拨 用科学记数法表示绝对值较大的数时 关键是 10 的指数 可归纳为指数 n 等于原数整数部分的位数 减一 所以这一数字可表示为 4 2 107 答案 4 2 10 7 方法点拨 部分学生在用科学记数法表声学家较大或者较小的数时 对于 10 的指数容易弄错 突破方法 掌握 规律 记住幂的指数的确定方法 解题关键 科学记数法 中 a 是整数数位只有一位的数 10 的指数是由小数点移动的位数决定的 也可以10n 简单的记作用原数的数位减去 1 所得到的数值 例 5 分解因式 2b 考点要求 本题考查多项式的因式分解 思路点拨 本题是四项 应采用分组分解法 分组分解法主要有两种 一是二二分组 另一种是一三分组 本 题应采用一三分组法进行分解 原式 22 1 abab 1 ab 答案 填 1 a 规律总结 部分学生含四项的多项式分解感到有一些困难 突破方法 在无法用提公因式或者直接运用公式进 行因式分解时 往往还会进行分组分解 解题关键 分组分解一般是对含四项的多项式而言的 常见的有两种分组方法 二二分组 一三分组 有时还需 要对原式的各项进行必要的交换 例 6 有一道题 先化简 再求值 其中 小玲做题时把 错抄成22 41 xx 3x 3x 了 但她的计算结果也是正确的 请你解释这是怎么回事 3x 考点要求 本题考查的是分式的化简求值 同时也考查了学生辨析正误的学习能力 思路点拨 把原式化简 可得 因为 所以无论是 2224 4 xx 22 3 或 代入化简后的式子中 所求得的值都是相等的 因而即使代错数值 结果仍然是正确3x 3x 的 方法点拨 部分学生不熟悉这种题型 因而不知如何下手 举棋不定 突破方法 平时要注意多加积累 熟悉 2 3 图 1 1 2 各种不同形式的问题 同时要能有一定创新思维 能应对新问题 解题关键 解这类问题时 先按常规方法正确求解 再比较分析为什么会出现值代错了但结果正确的原因 例 7 已知 化简 的结果是 4abm 2 ab A 6 B 2m 8 C 2m D 2m 考点要求 本题考查多项式的求值运算 不仅考查了学生整式乘法运算 同时还要求具备整体思想 这也是数 学解题中常用的一种技巧 思路点拨 原式按多项式乘法运算后为 再将 代入 可得 2m 4 4abm 答案 选 D 方法点拨 部分学生想通过由已知条件求出 a b 的值 然后再代入求值 一种情况是无法解得结果 另一种是 会用含 m 的式子表示 a b 但解题过程较繁琐 且容易出错 突破方法 运用整体思想解题 能发现原式乘开后 可用含 和 的式子表示 再将已知条件代入即可 a 解题关键 许多类似的求代数式值的问题 往往不是直接将字母的值代入 而是利用整体代入求值 例 8 如图 1 2 时钟的钟面上标有 1 2 3 12 共计 12 个数 一条直线把钟面分成了两部分 请你再用一条直线 分割钟面 使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相 等 则其中的两个部分所包含的几个数分别是 考点要求 本题考查对数字的观察及推理能力 思路点拨 钟面上的数字之和为 78 依题意 三部分之和相等 则每部分 之和只能为 78 3 26 而图中钟面上的 1 2 11 12 之和已经为 26 所以 所画的这条线只能在图中这条直线的下方 即过 4 和 5 8 和 9 之间画直 线 答案 3 4 9 10 5 6 7 8 误区警示 本题部分学生不知从何处入手 或者漫无目标的尝试去画 这 样费时较多 而且容易达到目标 突破方法 仔细阅读 认真分析 理清题 意可减少尝试分割的次数 例 9 我们把分子为 1 的分数叫做单位分数 如 任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分 1234 数的和 如 236 450 1 根据对上述式子的观察 你会发现 请写出 所表示的数 1 A 2 进一步思考 单位分数 n 是不小于 2 的正整数 请写出 所表示的式 并加以验证 1 A 考点要求 本题考查学生对新信息的理解与运用 思路点拨 通过对三组式子的观察 不难找出规律 等式右边的第一个分母是左边的分母加 1 第二个分母是前 两个分母的乘积 如果设左边的分母为 n 则右边第一个分母为 n 1 第二个分母为 n n 1 所以问题 1 中 表示的数为 6 表示的数为 30 问题 2 中 表示的式为 表示的式为 1 n 验证 所以上述结论成立 1 nn n1 答案 1 表示的数为 6 表示的数为 30 2 表示的式为 表示的式为 1 1 n 方法点拨 部分学生不能看出题目已知条件中所反映出的规律 突破方法 对比已知的三个式子 进行比较分 析 可以看出每个等式中的各个分子都是 1 而分母也特殊关系 得到这些信息后 完成解题不再困难 解题关键 当题中有一组并列条件时 往往将它们放在一起进行观察 比较 分析 从中发现重要信息 例 10 阅读下面的材料 回答问题 点 A B 在数轴上分别表示实数 a b A B 两点之间的距离表示为 当 A B 两点中有一点在原点时 不妨 设点 A 在原点 如图 1 3 当 A B 两点都不在原点时 Oab 1 如图 1 4 点 A B 都在原点的右边 Obab 图 1 2 3 O A 0 b B 图 1 3 O 0 b B 图 1 4 a A 2 如图 1 5 点 A B 都在原点的左边 OAaab 3 如图 1 6 点 A B 在原点的两边 AB B b a A 图 1 5 O 0 b a A 图 1 6 O 0 综上 数轴上 A B 两点之间的距离 ABb 回答下列问题 1 数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是 数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是 数轴上表示 1 和 3 的两点之间的距离是 2 数轴上表示 x 和 1 的两点 A 和 B 之间的距离是 如果 那么 x 2AB 考点要求 本题通过阅读材料 引出数轴上两点 A B 的距离公式 再引出相关问题 考查学生阅ab 读材料 获取新的信息和结论 然后应用所得结论 解答新问题的能力 思路点拨 依据阅读材料 所获得的结论为 结合各问题分别代入求解 1 ab 2 因为 所以 所以253 5 3 1 4 1 x 2AB 2x 或 所以 或 1x 2x3 答案 1 3 3 4 2 或 误区警示 部分学生因为题目较长 阅读能力稍差的同学不易找出正确结论解题 突破方法 反复阅读材料 从中获取重要结论 帮助解题 难点突破方法总结 实数是初中数学基础知识 中考试题中的实数问题各种题型都会涉及到 在解决实数问题时 要注意以下几点 1 要准确掌握各个概念 概念是组成数学知识的基本元素 实数一章中的概念较多 基础性强 对后续学习影响大 不少概念还含有运算性质 如相反数 倒数 绝对值 算术平方根 负整数指数幂 科学记数法等 所以必须要 弄清各个概念的区别或者联系 防止应考过程中出现混淆 2 要熟练各种运算 明白各种运算法则和运算性质 要通过一定量的练习使实数的有关运算形成一定的运算技能 3 在解答有关实数的选择题 填空题和计算题时 一般采用直接求解法 对于体现创新意识的探索规律型问题 可 采用图示 猜想 归纳 计算验证等各种方法 整式和分式是代数中的重要内容 填空 选择题以基本概念为主 而解答题则以化简 求值为主 一般要注意如 下内容 1 要准确理解和辨析单项式次数 系数 同类项 分式的通分和约分 最简分式等概念的内涵 特别要关注简单整 式和分式的运算 2 运用公式或法则进行计算 首先要判断题目是否具备某一公式或者法则的结构特征 在此基础上正确选用公式或 法则进行计算 3 灵活运用分式的基本性质 变号法则 因式分解 整体变换等解题技能进行分式的约分和通分运算 B 4 4 充分关注数形结合思想 整体思想 分类讨论思想 在整式和分式变换求值中的应用 5 此外 试题呈现的背景贴近生活 贴近社会 而不再是拘泥于抽象的纯数学问题 因而要求学生要学会观察 分 析 猜想 验证 表达等基本的解决辨别及解决问题的能力和策略 第三关 五年真题剖析与规律总结 2009 年 1 3的相反数是 D A 3 B 13C 3 D 13 3 今年 6 月 南宁市举行了第五届泛珠三角区域经贸合作洽谈会 据估算 本届大会合同投资总额达 2260 亿元 将 2260 用科学记数法表示为 结果保留 2 个有效数字 A A 320 B 32 0 C 3 60 D 40 231 14 计算 2ab ab 18 正整数按图 8 的规律排列 请写出第 20 行 第 21 列的数字 420 20 先化简 再求值 21xx 其中 2x 2008 年 1 2008 年 南宁市 6 的倒数是 A B C 6 D 61 答案 A 解析 本题考查倒数的概念 乘积是 1 的两个数互为倒数 故选 A 2 2008 年 南宁市 下列运算中 结果正确的是 A B C D a 3 42a 523 a 2a 答案 D 解析 本题考查幂的运算和整式的加减 A 是同底数幂数相除 底数不变 指数相减 应是 B 是合并同0 类项 C 是幂的乘方 底数不变 指数相乘 应是 D 是同底数幂相乘 底数不变 指数相加 故6 D 正确 9 2008 年 南宁市 2008 年北京奥林匹克运动国家体育场 鸟巢 钢结构的材料 首次使用了我国科技人员自 主研制的强度为 460000000 帕的钢材 该数据用科学记数法表示为 帕 答案 8106 4 解析 本题考查科学记数法的表示方法 科学记数法是指把一个数写成 其中 是整数 na10 10 a n 的形式 其中 10 的指数就是原数的整数位数减去 1 即可 13 2008 年 南宁市 因式分解 x3 第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21 图 8 5 答案 1 x 解析 分解因式一般遵循 先看有无公因式 再看能否套公式 切记分解要彻底 的原则进行 本题可先提 公因式 分解成 而 可利用平方差公式分解成 212 x 1 x 2007 年 1 写出一个小于 的数 答案不唯一 2 3 4 因式分解 4x 2 1 x 11 实数 在数轴上的位置如图 5 所示 ab 则下列各式正确的是 C A B b C D a 20 先化简 再求值 其中 223 ab 12ab 原式 4 分22b 5 分2ab 6 分 将 代入上式得12 原式 7 分 8 分 2006 年 4 今年秋季 广西将有一百三十余万名义务教育阶段的贫困学生享受到国家免费教科书政策 预计免费教科书发 放总量为 1500 万册 发放总量用科学记数法记为 万册 保留 2 个有效数字 31 50 9 如图 3 是硬币圆周上一点 硬币与数轴相切于原点 AOA 与 点重合 假设硬币的直径为 1 个单位长 O 度 若将硬币沿数轴正方向滚动一周 点 恰A 好与数轴上点 重合 则点 对 应的实数是 2005 年 2005205 因式分解 24x 2 x 按照广西高速公路网的规划 我区地方高速公路于 2030 年全部建成 建设里程为 5353 公里 总投资达 1542 7 亿元 用科学记数法表示总投资为 亿 元 保留两位有效数字 31 50 12 分式 计算的结果是 D 1ab A B C D ab 2ab ab ab0 图 5 6 7 第二讲 方程与不等式 第一关 考点点睛 一元一次方程 考点一 方程解的应用 例 1 2009 芜湖 已知方程 3x 2x 9x m 0 的一个根是 1 则 m 的值是 解题思路 根据方程解的定义 把方程的解 x 1 代入方程成立 然后解决关于 m 的方程即可 解 把 x 1 代入原方程 得 3 1 9 1 m 0 解得 m 6 答案 6 点评 解题 依据是方程解的定义 解题方法是把方程的解代入原方程 转化为关于待定系数的方程 考点二 巧 解一元一次方程 例 2 2008 江苏 解方程 343822xx 解题思路 此题先用分配律简化方程 再解就容易了 解 去括号 得 164x 移项 合并同类项 得 x 6 14 系数化为 1 得 x 6 4 点评 解一元一次方程 掌握步骤 注意观察特点 寻找解题技巧 灵活运用分配委或分数基本性质等 使 方程简化 考点三 根据方程 ax b 解的情况 求待定系数的值 例 3 已知关于 x 的方程 1 6 32xa 无解 则 a 的值是 A 1 B 1 C 1 D 不等于 1 的数 解题思路 需先化成最简形式 再根据无解的条件 列出 a 的等式或不等式 从而求出 a 的值 解 去分母 得 2x 6a 3x x 6 即 0 x 6 6a 因为原方程无解 所以有 6 6a 0 即 a 1 答案 D 考点四 一元一次方程的应用 例 4 2009 福州 某班学生为希望工程共捐款 131 元 比每人平均 2 元还多 35 元 设这个班的学生有 x 人 根据题意列方程为 解题思路 本题的相等关系是捐款总数相等 解决此题的关键是用学生人数 平均数与余数 35 元表示出捐款 总数 2x 35 元 答案 2x 35 131 二元一次方程 考点 1 二元一次方程及其解 例 1 下列方程中 是二元一次方程的是 A 3x 2y 4z B 6xy 9 0 C 1x 4y 6 D 4x 24y 思路点拨 掌握判断二元一次方程的三个必需条件 含有两个未知数 含有未知数的项的次数是 1 等 式两边都是整式 所以选 D 例 2 二元一次方程 5a 11b 21 A 有且只有一解 B 有无数解 C 无解 D 有且只有两解 思路点拨 不加限制条件时 一个二元一次方程有无数个解 所以选 B 考点 2 二元一次方程组及其解 例 1 下列方程组中 是二元一次方程组的是 A 22842319 375464xyxyabxcy 思路点拨 二元一次方程组的三个必需条件 含有两个未知数 每个含未知数的项次数为 1 每个 方程都是整式方程 所以选 A 例 2 已知 x 1 2y 1 2 0 且 2x ky 4 则 k 思路点拨 由已知得 x 1 0 2y 1 0 8 x 1 y 12 把 12 xy 代入方程 2x ky 4 中 2 12k 4 k 1 考点 3 二元一次方程组的应用 例 1 某校初三 2 班 40 名同学为 希望工程 捐款 共捐款 100 元 捐款情况如表 捐款 元 1 2 3 4 人数 6 7 表格中捐款 2 元和 3 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚 若设捐款 2 元的有 x 名同学 捐款 3 元的有 y 名同学 根据题意 可得方程组 A 67yx B 1027x C 23 D 3y 思路点拨 这是一道表格信息题 通过已知条件可发现两个等量关系 总人数为 40 人 总捐款金额 100 元 利用表格信息可列方程组 627x 故应选 A 例 2 如图 点 O 在直线 AB 上 OC 为射线 1 比 2的 3 倍少 10 设 2的度数分别为 x y 那 么下列求出这两个角的度数的方程是 A 108yx B 1038yx C D 思路点拨 本题侧重考查学生的数形结合思想 已知条 件看似给了一个 其实还有一个隐含条件 即 1 与 2互为邻 补角 利用它们可列方程组 1038yx 故应选 B 分式方程 考点 1 分式的定义 例 1 请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式 并化简该分式 2 4 4 2 2 4 2 A 1 B 2 C 3 D 4 思路点拨 分母中含字母的代数式 xy1 2 都是分式 其他都不是 注意 1 除外 2 分式是形式定义 如 2 化简之后为 x 但 2 是分式 答案 B 考点 2 分式成立的条件 例 1 写出一个含有字母 x的分式 要求 不论 x取 C A B1 2 O 9 任何实数 该分式都有意义 21x 答案不惟一 思路点拨 本题考查了分式成立的条件即分母不能为 0 例 2 分式 x成立的条件是 思路点拨 分式成立的条件是分母即 x 2 0 答案 x 2 考点 3 分式值为 0 的条件 例 若分式 12x的值为 0 则 x 的值为 A 1 B 1 C 1 D 2 思路点拨 应同时具备两个条件 1 分式的分子为零 2 分式的分母不为零 答案 D 考点 4 分式的运算 例 1 已知 3xy 则代数式 214xy 的值为 思路点拨 本类题主要考查分式的化简和代数式的值 在计算代数式的值时 一般先要求出其中字母的值再代 入计算 但有时字母的值不能求出或不好求出 可以利用整体代入的方法来计算 这类题目一般都是先化简后代数 甚至有的不用代数 解 22x11 x 2 x1 21x 当 x 08或 0时 2的值均为 2008 小明虽然把 值抄错 但结果也是正确的 考点 5 分式方程的解法 例 1 解分式方程 213x 解 方程两边同乘 得 2 3 23 xxx 化简 得 4x 解得 检验 时 0 是原分式方程的解 例 2 解方程 2160 x 答案 设 yx 则原方程可化为 2y2 y 6 解得 231 y y 2 2 即 21 x 3x 解得 12x 213x 经检验 12 3x 是原方程的根 思路点拨 解分式方程的基本思想是转化 即把分式方程转化为整式方程求解 具体步骤为 一去 去分母 二 解 解整式方程 三检验 检查求出的根是否是增根 转化的方法有两种 1 方程两边同乘最简公分母 2 换 10 元 要注意的是解分式方程必须要检验 考点 6 分式方程的增根 例 当 m 时 关于 x的分式方程 213xm 无解 思路点拨 分式方程的增根是原分式方程去分母后转化为整式方程的根 它使得最简公分母为 0 所以原分式 方程无解或者说分式方程有增根答案 6 一元二次方程 一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的 一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程 的应用是中考的重点 题型多样 一般分值在 6 9 分左右 考点 1 一元二次方程及其解法 例 1 方程 0232 x的解是 A x B 1 x 2 C D 思路点拨 考查一元二次方程的解法 一元二次方程的解法有 一是因式分解法 二是配方法 三是求根公式 法 此题可以用此三种方法求解 此题以因式分解法较简单 此式可以分解为 x 1 x 2 0 所以 x 1 0 或 x 0 解得 x x 故此题选 例 2 若 20 则 23 1x 的值等于 A 3B 3C D 或 3 思路点拨 本题考查整体思想 即由题意知 x2 x 2 所以原式 3212 选 A 考点 2 一元二次方程的根与系数的关系 例 1 如果 21 x是方程 012 x的两个根 那么 1x的值为 A 1 B 2 C D 2 思路点拨 本题考查一元二次方程 2 cba的根与系数关系即韦达定理 两根之和是 ab 两根之 积是 ac 易求出两根之和是 2 答案 B 例 2 设一元二次方程 730 x 的两个实数根分别为 1x和 2 则 1x x 1 x2 思路点拨 本体考查一元二次方程根与系数的关系 x 1 x2 是一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根 则 x1 x2 ab x1 x2 c 要特别注意的是方程必须有实数根才能用这一结论 即 b 2 4ac 0 答案 7 3 考点 3 一元二次方程的应用 例 1 某商品经过两次连续降价 每件售价由原来的 55 元降到了 35 元 设平均每次降价的百分率为 x 则下列方程中正确的是 A 55 1 x 2 35 B 35 1 x 2 55 C 55 1 x 2 35 D 35 1 x 2 55 思路点拨 列一元二次方程解决实际问题是一个难点 但在中考试题中经常出现 所以我们要学好列方程解 决实际问题 则需要在这方面加大训练力度 列方程的全过程 其步骤如下 1 弄清题意 正确理解 准确把握题目条件中的数量关系 必要时可用图表辅助分析 2 用字母表示问题中的一个未知数 3 将题设条件中的语句都 翻译 成含有 字母 的代数式 4 寻找等量关系 列出方程 因为增长率问题是 加 下降率问题是 减 所以本题正确的是 55 1 x 2 35 所以本题选 C 不等式及不等式组 11 不等式及不等式组 它是在学习方程的基础上进行学习的 不等式的性质和应用在中考中有着比较广泛的出现 分值在 3 6 分左右 经常与一次函数相结合 考查最值问题或者方案设计 考点 1 不等式及其性质 例 1 已知有理数 ab 在数轴上对应的点如图 1 所示 则下列式子正确的是 A 0b B C D 0 思路点拨 由图 1 可知 0 a 1 b 1 所以 ab a a ba x b a x b a 2 解不等式 得 x 1 所以不等式组的解集为 2 x 1 故选 C 考点 4 用不等式 组 解决实际问题 例 学校为家远的同学安排住宿 现有房问若干间 若每间住 5 人 则还有 14 人安排不下 若每间住 7 人 则有一间房有人住但还余床位 问学校可能有几间房间可以安排同学住宿 住宿的学生可能有多少人 思路点拨 由于题目中既不知道有多少房间也不知道有多少住宿的学生 因而感到此题无法处理 但注意到 若每间住 5 人 则还有 14 人安排不下 可设学校有房问 x 间从而可知住宿的学生有 5x 14 人 然生再根据每问住 7 人 未住满 可以列出不等式 解 设学校有房间 x 间 则可住宿的学生有 5x 14 人 依题意 得 7 x 1 5x 14 7x 7 xx2 x3 B x 1 x3 x2 C x 3 x2 x1 D x 3 x1 x2 思路点拨 根据反比例函数的增减性 然后利用数形结合的思想画出符合条件的草图 答案 选 C 例 2 在同一直角坐标平面内 如果直线 xky1 与反比例函数的图象 xky2 没有交 点 那么 1k和 2的关系一定是 A 0 B 1k 0 2 0C 1 2同号 D 1 2异号 思路点拨 根据两种函数的图象分布特点可以断定有没有交点只要判断比例系数的符号是不是一致 一定注意 不要漏解 答案 选 D 例 3 A C 是函数 xy 的图象上的任意两点 过 A 作 x 轴的垂线 垂足为 B 过 C 作 y 轴的垂线 垂足为 D 记 Rt AOB 的面积为 S1 Rt COD 的面积为 S2则 A S1 S 2 B S 1 0 b 0 c 0 a b c 0 其中正确的结论的序号是 第 2 问 给出四个结论 abc0 a c 1 a 1 其中正确的结论的序号是 例 2 抛物线 y x 2 m 1 x m 与 y 轴交于 0 3 点 1 求出 m 的值并画出这条抛物线 2 求它 与 x 轴的交点和抛物线顶点的坐标 3 x 取什么值时 抛物线在 x 轴上方 4 x 取什么值时 y 的值随 x 的增 大而减小 思路点拨 由已知点 0 3 代入 y x 2 m 1 x m 即可求得 m 的值 即可知道二次函数解析式 并可 画出图象 然后根据图象和二次函数性质可得 2 3 4 解 1 由题意将 0 3 代入解析式可得 m 3 抛物线为 y x 2 2x 3 图象 图 2 2 令 y 0 则 x 2 2x 3 0 得 x1 1 x 2 3 抛物线与 x 轴的交点为 1 0 3 0 y x 2 2x 3 x 1 2 4 抛物线顶点坐标为 1 4 3 由图象可知 当 1 x1 时 y 的值随 x 值的增大而减小 考点 3 二次函数的应用 例 1 如图 从地面垂直向上抛出一小球 小球的高度h 单位 米 与小球运动时间 t 单位 秒 的函数关系式是29 84t 那么小球运动中的最大高度 h 最 大 随楼层数 x 楼 的变化而变化 x 1 2 3 4 5 6 7 8 已知点 x y 都在一个二次函数的图像上 如图 6 所示 则 6 楼 h 25 房子的价格为 元 平方米 思路点拨 观察函数图像得 图像关于 x4 对称 当 x2y 08 时 元 因为 x 2 到对称轴的距离 与 x 6 到对称轴的距离相等 所以 当 62时 元 第二关 难点攻克 例 1 反比例函数 的图象经过点 2 5 若点 1 n 在反比例函数的图象上 则 n 的值是 0 kyx 考点要求 本题考查用反比例函数图象上的点确定其解析式 并会用解析式确定点的坐标 思路点拨 因为反比例函数的图象经过点 2 5 所以可将点 2 5 的坐标代入 求 k 就可确定yx 解析式 再将点 1 n 代入解析式中求 n 的值 或直接根据反比例函数性质即图象上点的横 纵坐标之积为常 数 k 来求 n 由题意得 2 5 1 n 所以 n 10 答案 填 10 方法点拨 由反比例函数解析式 经过变形 可以得到 因为 0 kyx xyk k 是一个常数 所以在反比例函数图象上的所在的点的横 纵坐标的乘积是一个定值 根 据这个结论 很容易求出这类问题的结果 例 2 如图 3 1 已知点 A 的坐标为 1 0 点 B 在直线 上运动 当线段 ABy 最短时 点 B 的坐标为 A 0 0 B C D 2 2 1 2 考点要求 本题考查一次函数 线段 直角三角形等知识 数形结合是重要的数学 方法之一 当线段 AB 最短时 AB BO 又由点 B 在直线 上可知 AOB 45 且 OA 1 过点 B 作 x 轴的垂线 yx 根据等腰 三线合一 及直角三角形 斜边的中线等于斜边的一半 容易求得点 B 坐标为 1 2 答案 选 B 误区警示 部分学生能找出 B 点运动到何处线段 AB 最短 但却无法求出具体坐标 突破方法 已知直线 BO 解析式 求点的坐标是根据两直线相交 再求出 AB 直线的解析式 利用方程组求出交点坐标 解题关键 互相垂直的两直线解析式中 一次项系数互为倒数 据此再结合点 A 的坐标可求出直线 AB 的解 析式 例 3 某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物 若该读物首次出版印刷的印数不少于 5000 册时 投入的 成本与印数间的相应数据如下 印数 x 册 5000 8000 10000 15000 成绩 y 元 28500 36000 41000 53500 1 经过对上表中数据的探究 发现这种读物的投入成本 y 元 是印数 x 册 的一次函数 求这个一次 函数的解析式 不要求写出 x 的以值范围 2 如果出版社投入成绩 48000 元 那么能印读物多少册 考点要求 本题考查一次函数解析式的确定及其应用 思路点拨 1 设所求一次函数解析式为 则 解得 所ykxb 502850836kb 5 1602kb 以所求函数的关系式为 51602yx 2 因为 所以 x 12800480 答案 能印该读物 12800 册 方法点拨 关键要从题目所给表格中的数据选择合适的一对值代入所设解析式 求出解析式 图 3 1 26 例 4 若 M N P 三点都在函数 0 的图象上 则 的大小 1 2y 2 4y 3 1yxky 321y 关系为 A B C D 3121331232y1 考点要求 本题考查反比例函数的性质及用函数图象比较函数值大小 思路点拨 反比例函数 当 k 0 时 其图象位于二 四象限 在每一象限内 y 随 x 的增大而增大 yx 结合图象可知 2y13 答案 选 B 误区警示 部分学生不能正确理解反比例函数图象的性质 容易错误的理解成 当 k 0 时 图象位于二 四象限 y 随 x 的增大而增大 突破方法 不单纯的根据性质进行判断 而是画出图象 结合草图进行判断 解题关键 反比例函数图象及性质在描述时 因为是双曲线 所以一定要说明 在每一象限内 这一前提 例 5 一次函数 与反比例函数 在同一直角坐标系内的大致图象是yk kyx A B C D 考点要求 本题考查一次函数与反比例函数在同一坐标系内图象的判定 思路点拨 可假定一次函数 图象正确 逐一判断出 k 的取值范围 再结合反比例函数及一次函数ykx 的图象看是否会出现矛盾 若出现矛盾则该选项错误 答案 选 A 方法点拨 少数学生因未能掌握这类问题的解法以致举棋不定 无从下手 突破方法 所有这类判断图象 可能性的问题的解法相近 关键就是以每一个选项中的某个图象所反映的字母系数符号判断出来 然后再看与另 一个图象是否相符 例 6 已知抛物线 的部分图象如图 3 2 所示 若 y 0 则 x 的取值范围是2yxbc A 1 x 4 B 1 x 3 C x 1 或 x 4 D x 1 或 x 3 考点要求 本题考查利用二次函数图象解不等式 思路点拨 抛物线 的图象上 当 y 0 时 对应的是抛物线与 x 轴的交2yc 点 坐标分别为 1 0 3 0 当 y 0 时所对应的是 x 轴下方的部分 对应的 x 在 1 与 3 之间 所以 x 的取值范围是 1 x 3 答案 选 B 方法点拨 本题解题关键在于正确理解 y 0 在图象上反映出来的是对应 x 轴下面 的部分 而这一段图象对所应的自变量的取值范围是 1 至 3 其中 3 根据抛物线的对称 轴以及抛物线与 x 轴左边的交点坐标来确定的 例 7 在直角坐标平面中 O 为坐标原点 二次函数 的图象与 x 轴的负2xbc 半轴相交于点 C 如图 3 3 点 C 的坐标为 0 3 且 BO CO 1 求这个二次函数的解析式 2 设这个二次函数的图象的顶点为 M 求 AM 的长 考点要求 本题考查二次函数解析式的确定 思路点拨 由题目条件 可用待定系数法求解析式 1 0 3 3 c OCB又 0 B 9 6 2bb 2yx 2 1 34 10 4 fAMa y x1O 1 F 图 3 2 x y C BA 6 4 2 8 6 4 2 6 4 2 642O 图 3 3 27 245AM 答案 1 2 3yx 25AM 方法点拨 部分学生因为题目中没有直接给出两个点的坐标 因此在求待定系数时遇到困难 突破方法 由 BO CO 且点 C 的坐标为 0 3 可推知点 B 的坐标为 3 0 然后代入求解 例 8 小明在银行存入一笔零花钱 已知这种储蓄的年利率为 n 若设到期后的本息和 本金 利息 为 y 元 存入的时间为 x 年 那么 1 下列那个图像更能反映 y 与 x 之间的函数关系 从图中你能看出存入的本金是多 少元 一年后的本息和是多少元 2 根据 1 的图象 求出 y 于 x 的函数关系式 不要求写出自变量 x 的取值范围 并求出两年后的本息和 考点要求 本题考查用函数图象表示实际生活问题及根据图象求解析式 思路点拨 1 图乙反映 y 与 x 之间的函数关系从图中可以看出存入的本金是 100 元一年后的本息和是 102 25 元 2 设 y 与 x 的关系式为 y 100 n x 100 把 1 102 25 代入上式 得 n 2 25 y 2 25x 100 当 x 2 时 y 2 25 2 100 104 5 元 答案 1 图乙 存入的本金是 100 元 一年后的本息和是 102 25 元 2 两年后的和是 104 5 元 方法点拨 在选择图象时 应抓住起始钱数为 100 元 然后随着时间推移逐步增加 到 1 年时总钱数变为 102 25 元 确定好图象后 根据图象中的数据 利用待定系数法 容易求一次函数解析式 例 9 一次函数 y x b 与反比例函数 图像的交点为 A m n 且 m n m n xky3 是关于 x 的一元二次方程 kx2 2k 7 x k 3 的两个不相等的实数根 其中 k 为非负整数 m n 为常数 1 求 k 的值 2 求 A 的坐标与一次函数解析式 考点要求 本题考查二次函数与一元二次方程之间的关系 抛物线与 x 轴的交点横坐标是其对应的一元二 次方程的两个根 思路点拨 1 由方程有两个不相等的实数根 得 3 4 7 2 kk049 k49 k 又 k 为非负整数 k 0 1 当 k 0 时 方程 kx2 2k 7 x k 3 0 不是一元二次方程 与题设矛盾 k 1 2 当 k 1 时 方程 x2 5x 4 0 12 x m n m 1 n 4 即 A 点的坐标为 1 4 把 A 1 4 坐标代入 y x b 得 b 3 所求函数解析式为 y x 3 答案 1 k 1 2 A 1 4 函数解析式为 y x 3 方法点拨 因本题涉及一元二次方程及二次函数相关问题 部分学生综合运用遇到困难 突破方法 要求 k 的值 与之相关的一元二次方程有两个不相等的实数根 由此根据根的判别式可求出 k 的取值范围 再结合其它 条件求出 k 的值 例 10 阅读 我们知道 在数轴上 x 1 表示一个点 而在平面直角坐标系中 x 1 表示一条直线 我们还 知道 以二元一次方程 2x y 1 0 的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数 y 2x 1 的图象 它也是一条 直线 如图 3 4 中 图 观察图 可以得出 直线 1 与 直线 y 2x 1 的交点 P 的坐标 1 3 就是方程组 的解 所以这个方程20 x 组的解为 13y 在直角坐标系中 x 1 表示一个 平面区域 即直线 x 1 以及它左侧 P 1 3 O x y 3 图 l x 1y 2x 1 O x y 图 l x 1 O x y 图 l y 2x 1 图 3 4 28 的部分 如图 3 4 中 图 y 2x 1 也表示一个平面区域 即直线 y 2x 1 以及它下方的部分 如图 3 4 中 图 回答下列问题 1 在直角坐标系中 如图 3 5 用作图象的方法求出方程组 的解 2xy 2 用阴影表示 所围成的区域 20 xy 考点要求 本题考查学生对新知识的阅读理解发与应用能力 思路点拨 1 如图所示 在坐标系中分别作出直线 x 2 和直线 y 2x 2 这两条直线的交点是 P 2 6 则 是方程组 的解 6x xy 2 如阴影所示 答案 1 2 如图 3 5 所示 6 方法点拨 本题的难点是对题目条件所给信息的理解与运用 突破方法 结合图形反复研读 理解不等式 与它所对应的直线的关系 并能在图象中用阴影表示出来 运用这一知识求解不等式组时 也就是要找出各不等 式所表示的阴影的公共部分 例 11 如图 3 6 已知 O 为坐标原点 AOB 30 ABO 90 且点 A 的坐标 为 2 0 1 求点 B 的坐标 2 若二次函数 y ax2 bx c 的图象经过 A B O 三点 求此二次函数的解析式 3 在 2 中的二次函数图象的 OB 段 不包括点 O B 上 是否存在一点 C 使得四边形 ABCO 的面积 最大 若存在 求出这个最大值及此时点 C 的坐标 若不存在 请说明理由 考点要求 本题考查求二次函数解析式 并探索抛物线上点的存在性 培养 学生分析问题 解决问题的综合能力 思路点拨 1 在 Rt OAB 中 AOB 30 OB 过点 B 作3 BD 垂直于 x 轴 垂足为 D 则 OD BD 点 B 的坐标为 23 2 2 将 A 2 0 B O 0 0 三点的坐标代入 y ax2 bx c 得 40 93 abc 解方程组 有 a b c 0 32 4 所求二次函数解析式是 y x2 x 3 3 设存在点 C x x2 x 其中 0 x1 解决此类问题关键要做 做看 把所要求的量一点点的表示出来 再通过计算 最后做出判断 答案 A 考点 3 解直角三角形 例 1 如图 在 Rt ABC 中 CAB 90 AD 是 CAB 的平分线 tan B 21 则 CD DB 思路点拨 此题考查解直角三角形的有关知识 Rt ABC 中 CAB 90 tan B 21 若设 AC x 则 AB 2 BC 5 过点 D 作 DE AB 于 E 因为 AD 是 CAB 的平分线 所以 DE AE 设 DE a 则 AE a BE 2a DB 5b 所以 3a 2x 解得 x 32a 所以 CB 52a CD 3 5a 2a 则 CD DB 52a 1 2 答案 1 2 例 2 在 t 中 90 0 30 0 为 上一点且 4 1 于 连 结 则 tan CFB 的值等于 3353A53 思路点拨 解决此类问题关键在于用一个未知数表示出两个相关的量 通过 相比约去公共的未知数设 AE 4x BE x 则 AB 5x BC 2 5xEF 2x AF x32 BEFC FC X2 tan CFB 35答案 C 四边形 平行四边形是初中数学重要内容之一 有关平行四边形的题目在中考中也备受青睐 综观 近几年中考试题 围绕四边形内容设计了一些新颖别致的考题 特别是开放题特别多 形式比 较多样 分值一般在 6 9 分左右 考点 1 平行四边形的性质与判定 例 1 如图 1 ABCD 中 分别为 边上的点 要使 需添加一EFBCADBFDE 个条件 思路点拨 本题考查平行四边形的判定条件 平行四边形的判定方法主要有以下 几种 1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2 两组对边分别相等的四边 形是平行四边形 3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 4 对角线互相平分 A B C A B CE DF 图 1 45 的四边 思路点拨 根据平行四边形的性质 对边平行且相等可以得出 AB CD 6 AD BC 8 根据等角对等边可以知道 CE CD 6 所以 BE 2 答案 A 考点 2 特殊四边形的性质与判别 例 1 如图 5 四边形 ABCD 是平行四边形 使它为矩形的条件可以是 思路点拨 本题考查同学们对平行四边形的性质和矩形条件的掌握 可以添加对角线相等或者有一个角是直角 答案 答案不唯一 如 AC BD BAD 90o等 例 2 如图 6 点 是菱形 的对角线 上的任意一点 连结 请找出图中一对全等三角形EABCDAEC 为 用含自然数 n 的式子表示 图 7 B D A P C 思路点拨 本题考查正方形中的探索规律问题 由题意知 点 P 运动一周路程为 4 点 P 从 A 点出发 当运动 的路程是 2008 时 点 P 恰好回到点 A 所以当运动路程为 2009 时 点 P 所在位置是点 B 点