中南大学概率论课件简tl第2章随机变量及其分布.ppt

第二章随机变量及其分布 机动目录上页下页返回结束 第二章随机变量及其分布 随机变量离散型随机变量的概率分布随机变量的分布函数连续型随机变量的概率密度随机变量函数的分布 在第一章中 我们用样本空间的子集 即基本事件的集合来表示随机试验的各种结果 这种表示方式对全面讨论随机试验的统计规律性及数学工具的运用都有较大的局限 在本章中 我们将用实数来表示随机试验的各种结果 即引入随机变量的概念 这样 不仅可以更全面揭示随机试验的客观存在的统计规律性 而且可使我们用 数学分析 微积分的方法来讨论随机试验 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 2 1随机变量 随机变量概念的产生 在实际问题中 随机试验的结果可以用数量来表示 由此就产生了随机变量的概念 机动目录上页下页返回结束 1 有些试验结果本身与数值有关 本身就是一个数 例如 掷一颗骰子面上出现的点数 七月长沙的最高温度 每天从长沙下火车的人数 昆虫的产卵数 机动目录上页下页返回结束 2 在有些试验中 试验结果看来与数值无关 但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果 也就是说 把试验结果数值化 正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样 二者建立了一种对应关系 机动目录上页下页返回结束 则X的取值随着试验的重复而不同 X是一个变量 且在每次试验中 究竟取什么值事先无法预知 也就是说X是一个随机取值的变量 由此 我们很自然地称X为随机变量 在随机试验中 如果把试验中观察的对象与实数对应起来 即建立对应关系X 使其对试验的每个结果e 都有一个实数X e 与之对应 这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数 这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 1 它随试验结果的不同而取不同的值 因而在试验之前只知道它可能取值的范围 而不能预先肯定它将取哪个值 2 由于试验结果的出现具有一定的概率 于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率 称这种定义在样本空间上的实值函数为 随 量 机 变 简记为r v 1 随机变量X不是自变量的函数而是样本点e的函数 2 随机变量X随着试验结果而取不同的值 因而在试验结束之前 只知道其可能的取值范围 而事先不能预知它取什么值 对任意实数区间 a b a X b 的概率是确定的 3 随机变量X e 的值域即为其一切可能取值的全体构成的集合 4 引入随机变量后 就可以用随机变量描述事件 而且事件的讨论 可以纳入随机变量的讨论中 有关随机变量定义的几点说明 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 随机变量通常用大写字母X Y Z或希腊字母 等表示 机动目录上页下页返回结束 例如 从某一学校随机选一学生 测量他的身高 我们可以把可能的身高看作随机变量X 然后我们可以提出关于X的各种问题 如 机动目录上页下页返回结束 一旦我们实际选定了一个学生并量了他的身高之后 我们就得到X的一个具体的值 记作x 这时 要么米 要么x 1 7米 再去求就没有什么意义了 机动目录上页下页返回结束 有了随机变量 随机试验中的各种事件 就可以通过随机变量的关系式表达出来 引入随机变量的意义 如 单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示 它是一个随机变量 事件 收到不少于1次呼叫 没有收到呼叫 机动目录上页下页返回结束 可见 随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内 也可以说 随机事件是从静态的观点来研究随机现象 而随机变量则是一种动态的观点 就象数学分析中常量与变量的区别那样 机动目录上页下页返回结束 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件 引入随机变量后 对随机现象统计规律的研究 就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究 事件及事件概率 随机变量及其取值规律 机动目录上页下页返回结束 随机变量的分类 通常分为两类 如 取到次品的个数 收到的呼叫数 等 随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 所有取值可以逐个一一列举 例如 电视机的寿命 实际中常遇到的 测量误差 等 全部可能取值不仅无穷多 而且还不能一一列举 而是充满一个区间 机动目录上页下页返回结束 这两种类型的随机变量因为都是随机变量 自然有很多相同或相似之处 但因其取值方式不同 又有其各自的特点 学习时请注意它们各自的特点和描述方法 机动目录上页下页返回结束 2 2离散型随机变量的概率分布 设X是一个离散型随机变量 它可能取的值是x1 x2 为了描述随机变量X 我们不仅需要知道随机变量X的取值 而且还应知道X取每个值的概率 机动目录上页下页返回结束 这样 我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律 从中任取3个球 取到的白球数X是一个随机变量 X可能取的值是0 1 2 取每个值的概率为 例 且 机动目录上页下页返回结束 离散型随机变量概率分布的定义 其中 k 1 2 满足 2 用这两条性质判断一个函数是否是概率函数 机动目录上页下页返回结束 解 依据概率函数的性质 a 0 从中解得 欲使上述函数为概率函数 应有 分布律常用表格形式表示为 机动目录上页下页返回结束 例设袋中有5只球 其中有2只白球 3只红球 现从中任取3只球 不放回 求抽得的白球数X为k的概率 X是一个随机变量 可能取值为0 1 2 机动目录上页下页返回结束 表示方法 1 列表法 2 图示法 3 公式法 X 机动目录上页下页返回结束 例某篮球运动员投中篮圈概率是0 9 求他两次独立投篮投中次数X的概率分布 解 X可取0 1 2为值 P X 0 0 1 0 1 0 01 P X 1 2 0 9 0 1 0 18 P X 2 0 9 0 9 0 81 且P X 0 P X 1 P X 2 1 机动目录上页下页返回结束 常常表示为 这就是X的概率分布 定义若随机变量X只可能取0 1两个值 且分布律为P X 1 p P X 0 1 p 则称X服从参数为p的0 1分布 记为X B 1 p 分布律也可写成 0 1 分布 机动目录上页下页返回结束 若某个随机试验的结果只有两个 如产品是否合格 试验是否成功 掷硬币是否出现正面等等 它们的样本空间为S e1 e2 我们总能定义一个服从0 1分布的随机变量 即它们都可用0 1分布来描述 只不过对不同的问题参数p的值不同而已 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 例设生男孩的概率为p 生女孩的概率为q 1 p 令X表示随机抽查出生的4个婴儿中 男孩 的个数 我们来求X的概率分布 二项分布 机动目录上页下页返回结束 X的概率函数是 男 女 X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数 生男孩的概率为p X可取值0 1 2 3 4 机动目录上页下页返回结束 例将一枚均匀骰子抛掷3次 令X表示3次中出现 4 点的次数 X的概率函数是 不难求得 机动目录上页下页返回结束 掷骰子 掷出4点 未掷出4点 一般地 设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果 A或 或者形象地把两个互逆结果叫做 成功 和 失败 新生儿是男孩 是女孩 抽验产品 是正品 是次品 机动目录上页下页返回结束 这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验 简称贝努里试验或贝努里概型 再设我们重复地进行n次独立试验 重复 是指这次试验中各次试验条件相同 每次试验成功的概率都是p 失败的概率都是q 1 p 1 在相同条件下进行n次重复试验 2 每次试验只有两种可能结果 A发生或A不发生 3 在每次试验中 A发生的概率均一样 即P A p 4 各次试验是相互独立的 机动目录上页下页返回结束 贝努里试验满足的条件 在n重贝努里试验中 人们感兴趣的是事件A发生的次数 X k 表示事件 n重贝努里试验中A出现k次 即 这里每一项表示k次试验中出现A 而另外n k次试验中出现 且每一项两两互不相容 一共有Cnk项 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 由独立性可知每一项的概率均为pk 1 p 1 k 2 不难验证 1 称r vX服从参数为n和p的二项分布 记作 X B n p 当n 1时 P X k pk 1 p 1 k k 0 1称X服从0 1分布 因此 机动目录上页下页返回结束 例已知100个产品中有5个次品 现从中有放回地取3次 每次任取1个 求在所取的3个中恰有2个次品的概率 解 因为这是有放回地取3次 因此这3次试验的条件完全相同且独立 它是贝努里试验 依题意 每次试验取到次品的概率为0 05 设X为所取的3个中的次品数 于是 所求概率为 机动目录上页下页返回结束 注 若将本例中的 有放回 改为 无放回 那么各次试验条件就不同了 不是贝努里概型 此时 只能用古典概型求解 古典概型与贝努里概型不同 有何区别 请思考 贝努里概型对试验结果没有等可能的要求 但有下述要求 1 每次试验条件相同 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 成功 次数X的概率分布 3 各次试验相互独立 可以简单地说 机动目录上页下页返回结束 定义若随机变量X具有概率分布律 其中p q 1 则称随机变量X服从以n p为参数的二项分布 记为X B n p 或称贝努里分布 可以证明 机动目录上页下页返回结束 正好是二项式 p q n展开式的一般项 故称二项分布 特别地 当n 1时 即为0 1分布 机动目录上页下页返回结束 例某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0 2 求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率 解 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 X B 3 0 8 把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验 使用到1000小时已坏 视为 成功 每次试验 成功 的概率为0 8 机动目录上页下页返回结束 例某人独立地射击 设每次射击的命中率为0 02 射击400次 求至少击中目标两次的概率 解每次射击看成一次试验 设击中次数为X 则X B 400 0 02 X的分布律为 所求概率为 机动目录上页下页返回结束 二项分布的泊松近似 当试验次数n很大时 计算二项概率变得很麻烦 如要计算 我们先来介绍二项分布的泊松近似 或诸如此类的计算问题 必须寻求近似方法 机动目录上页下页返回结束 定理的条件意味着当n很大时 pn必定很小 因此 泊松定理表明 当n很大 p很小时有以下近似式 泊松定理 设是一个正整数 则有 其中 机动目录上页下页返回结束 其中 实际计算中 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 成功 次数X的概率分布 在解应用题时需要注意判断问题是否为贝努里概型 可否用二项分布求解 时近似效果就很好 机动目录上页下页返回结束 泊松分布 定义设随机变量X所有可能取的值为0 1 2 且概率分布为 其中是常数 则称X服从参数为的泊松分布 记作 例设某国每对夫妇的子女数X服从参数为 的泊松分布 且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为 求任选一对夫妇 至少有3个孩子的概率 解 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 2 3随机变量的分布函数 前一节介绍的离散型随机变量 我们可用分布律来完整地描述 而对于非离散型随机变量 由于其取值不可能一个一个列举出来 而且它们取某个值的概率可能是零 例如 在测试灯泡的寿命时 可以认为寿命X的取值充满了区间 事件表示灯泡的寿命正好是 在实际中 即使测试数百万只灯泡的寿命 可能也不会有一只的寿命正好是 也就是说 事件 发生的频率在零附近波动 自然可以认为 机动目录上页下页返回结束 由于许多随机变量的概率分布情况不能以其取某个值的概率来表示 因此我们往往关心随机变量X取值落在某区间 a b 上的概率 由于因此对任意 只要知道事件发生的概率 则X落在 a b 的概率就立刻可得 因此我们用来讨论随机变量X的概率分布情况 随机变量X取值不超过x的概率 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 问 在上式中 X x皆为变量 二者有什么区别 x起什么作用 F x 是不是概率 X是随机变量 x是参变量 F x 是r vX取值不大于x的概率 在这个意义上可以说 分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性 或者说 分布函数完整地表示了随机变量的概率分布情况 机动目录上页下页返回结束 因此 只要知道了随机变量X的分布函数 它的统计特性就可以得到全面的描述 有了分布函数定义 任意x1 x2 R 随机变量X落在 x1 x2 里的概率可用分布函数来计算 机动目录上页下页返回结束 分布函数是一个普通的函数 正是通过它 我们可以用数学分析的工具来研究随机变量 机动目录上页下页返回结束 分布函数的性质 3 F x 右连续 即 如果一个函数具有上述性质 则一定是某个r vX的分布函数 也就是说 性质 1 3 是鉴别一个函数是否是某r v的分布函数的充分必要条件 2 1 F x 非降 即若 则 机动目录上页下页返回结束 试说明F x 能否是某个r v的分布函数 例设有函数F x 解 注意到函数F x 在上下降 不满足性质 1 故F x 不能是分布函数 不满足性质 2 可见F x 也不能是r v的分布函数 或者 机动目录上页下页返回结束 解 当时 故 当时 当时 机动目录上页下页返回结束 故 注意右连续 当时 机动目录上页下页返回结束 概率函数图 分布函数图 画分布函数图 机动目录上页下页返回结束 离散型r v的分布函数 设离散型r vX的概率函数是 P X xk pk k 1 2 3 则 由于F x 是X取的诸值xk的概率之和 故又称F x 为累积概率函数 用分布函数描述随机变量不如分布律直观 对非离散型随机变量 是否有更直观的描述方法 a b 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 2 4连续型随机变量的概率密度 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间 对这种类型的随机变量 不能象离散型随机变量那样 以指定它取每个值概率的方式 去给出其概率分布 而是通过给出所谓 概率密度函数 的方式 下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法 机动目录上页下页返回结束 定义设F x 是随机变量X的分布函数 若存在非负可积函数f x x 使对一切实数x 均有 则称X为连续型随机变量 且称f x 为随机变量X的概率密度函数 简称概率密度或密度函数 常记为X f x x X 连续型随机变量 则X的分布函数必是连续函数 机动目录上页下页返回结束 概率密度函数的性质 1 2 这两条性质是判定一个函数f x 是否为某r vX的概率密度函数的充要条件 3 4 若f x 在x0处连续 则有 机动目录上页下页返回结束 密度函数的几何意义为 密度函数曲线位于Ox轴上方 即y f x y a y b x轴所围成的曲边梯形面积 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 连续型r v取任一指定值的概率为0 即 a为任一指定值 这是因为 需要指出的是 机动目录上页下页返回结束 由此得 对连续型r vX 有 机动目录上页下页返回结束 下面给出几个r v的例子 由于连续型r v唯一被它的密度函数所确定 所以 若已知密度函数 该连续型r v的概率规律就得到了全面描述 机动目录上页下页返回结束 下面我们来求一个连续型r v的分布函数 解 机动目录上页下页返回结束 对 对x 1 F x 1 即 机动目录上页下页返回结束 练习 求F x 由于f x 是分段表达的 求F x 时注意分段求 设 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 对连续型r v 若已知F x 我们通过求导也可求出f x 请看下例 即 机动目录上页下页返回结束 例设r vX的分布函数为 1 求X取值在区间 0 3 0 7 的概率 2 求X的概率密度 解 1 P 0 3 X 0 7 F 0 7 F 0 3 0 72 0 32 0 4 2 f x 机动目录上页下页返回结束 若r vX的概率密度为 则称X服从区间 a b 上的均匀分布 记作 X U a b 它的实际背景是 r vX取值在区间 a b 上 并且取值在 a b 中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比 则X具有 a b 上的均匀分布 均匀分布 若X U a b 则X具有下述等可能性 X落在区间 a b 中任意长度相同的子区间里的概率是相同的 即X落在子区间里的概率只依赖于子区间的长度 而与子区间的位置无关 机动目录上页下页返回结束 对任意实数c d l d c 都有 机动目录上页下页返回结束 X的分布函数 f x F x 的图像分别为 机动目录上页下页返回结束 例某公共汽车站从上午7时起 每15分钟来一班车 即7 00 7 15 7 30 7 45等时刻有汽车到达此站 如果乘客到达此站时间X是7 00到7 30之间的均匀随机变量 试求他候车时间少于5分钟的概率 解 依题意 X U 0 30 以7 00为起点0 以分为单位 机动目录上页下页返回结束 为使候车时间X少于5分钟 乘客必须在7 10到7 15之间 或在7 25到7 30之间到达车站 所求概率为 从上午7时起 每15分钟来一班车 即7 00 7 15 7 30等时刻有汽车到达汽车站 即乘客候车时间少于5分钟的概率是1 3 机动目录上页下页返回结束 指数分布常用于可靠性统计研究中 如元件的寿命 常简记为X E 指数分布 分布函数为 机动目录上页下页返回结束 例电子元件的寿命X 年 服从参数为1 3的指数分布 1 求该电子元件寿命超过2年的概率 2 已知该电子元件已使用了1 5年 求它还能使用2年的概率为多少 解 1 2 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 正态分布 若r vX的概率密度为 记作 f x 所确定的曲线叫作正态曲线 其中和都是常数 任意 则称X服从参数为和的正态分布 机动目录上页下页返回结束 正态分布图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线 特点是 两头小 中间大 左右对称 机动目录上页下页返回结束 决定了图形的中心位置 决定了图形中峰的陡峭程度 机动目录上页下页返回结束 能不能根据密度函数的表达式 得出正态分布的图形特点呢 容易看到 f x 0 即整个概率密度曲线都在x轴的上方 机动目录上页下页返回结束 故f x 以 为对称轴 并在x 处达到最大值 令x c x c c 0 分别代入f x 可得 f c f c 且f c f f c f 机动目录上页下页返回结束 这说明曲线f x 向左右伸展时 越来越贴近x轴 即f x 以x轴为渐近线 当x 时 f x 0 用求导的方法可以证明 为f x 的两个拐点的横坐标 x 机动目录上页下页返回结束 服从正态分布的随机变量X的概率密度是 X的分布函数P X x 是怎样的呢 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 正态分布由它的两个参数 和 唯一确定 当 和 不同时 是不同的正态分布 标准正态分布 下面我们介绍一种最重要的正态分布 标准正态分布 的正态分布称为标准正态分布 其密度函数和分布函数常用和表示 机动目录上页下页返回结束 它的依据是下面的定理 标准正态分布的重要性在于 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 根据定理1 只要将标准正态分布的分布函数制成表 就可以解决一般正态分布的概率计算问题 定理1 机动目录上页下页返回结束 标准正态分布性质 机动目录上页下页返回结束 例设r vX N 0 1 求 解 机动目录上页下页返回结束 书末附有标准正态分布函数数值表 有了它 可以解决一般正态分布的概率计算查表 正态分布表 表中给的是x 0时 x 的值 当 x 0时 机动目录上页下页返回结束 若 N 0 1 若X N 0 1 机动目录上页下页返回结束 由标准正态分布的查表计算可以求得 这说明 X的取值几乎全部集中在 3 3 区间内 超出这个范围的可能性仅占不到0 3 当X N 0 1 时 3准则 机动目录上页下页返回结束 将上述结论推广到一般的正态分布 时 这在统计学上称作 3准则 三倍标准差原则 机动目录上页下页返回结束 分位点 如 X N 0 1 取 机动目录上页下页返回结束 2 5随机变量函数的分布 问题的提出 在实际中 人们常常对随机变量的函数更感兴趣 求截面面积A 的分布 例如 已知圆轴截面直径d的分布 机动目录上页下页返回结束 设随机变量X的分布已知 Y g X 设g是连续函数 如何由X的分布求出Y的分布 下面进行讨论 这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的 机动目录上页下页返回结束 离散型随机变量函数的分布 解 当X取值1 2 5时 Y取对应值5 7 13 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件 两者具有相同的概率 故 如果g xk 中有一些是相同的 把它们作适当并项即可 一般 若X是离散型r v X的概率函数为 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 则Y X2的概率函数为 机动目录上页下页返回结束 连续型随机变量函数的分布 解 设Y的分布函数为FY y 于是Y的密度函数 机动目录上页下页返回结束 故 注意到0 x 4时 即8 y 16时 此时 Y 2X 8 机动目录上页下页返回结束 求导可得 当时 机动目录上页下页返回结束 若 则Y X2的概率密度为 称Y服从自由度为1的卡方分布 记为 机动目录上页下页返回结束 从上述两例中可以看到 在求P Y y 的过程中 关键的一步是设法从 g X y 中解出X 从而得到与 g X y 等价的X的不等式 这样做是为了利用已知的X的分布 从而求出相应的概率 这是求r v的函数的分布的一种常用方法 例如 用代替 用代替 设连续型随机变量X的概率密度函数为fX x x Y g X 为随机变量X的函数 则Y的分布函数为 从而Y的概率密度函数fY y 为 此法也叫 分布函数法 一般方法 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 例设随机变量X的概率密度为 求Y sinX的概率密度 当y 0时 当y1时 故 解 注意到 机动目录上页下页返回结束 解 当0 y 1时 例设随机变量X的概率密度为 求Y sinX的概率密度 机动目录上页下页返回结束 而 机动目录上页下页返回结束 求导得 下面给出一个定理 在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 其中 此定理的证明与前面的解题思路类似 x h y 是y g x 的反函数 定理设X是一个取值于区间 a b 具有概率密度f x 的连续型r v 又设y g x 处处可导 且对于任意x 恒有或恒有 则Y g X 是一个连续型r v 它的概率密度为 机动目录上页下页返回结束 例设随机变量X在 0 1 上服从均匀分布 求Y 2lnX的概率密度 解 在区间 0 1 上 函数lnx 0 故y 2lnx 0 于是y在区间 0 1 上单调下降 有反函数 由前述定理得 注意取绝对值 机动目录上页下页返回结束 已知X在 0 1 上服从均匀分布 代入的表达式中 得 即Y服从参数为1 2的指数分布 解 关于x严格单调 反函数为 故 机动目录上页下页返回结束 小结 机动目录上页下页返回结束