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计算凝聚态物理 凝聚态物质的数值模拟方法 4 临界慢化与其它方法 自由能的计算马红孺 2003 9 28 上海交通大学理论物理研究所马红孺 临界点的模拟和临界慢化 在临界点附近 会出现临界慢化现象 临界慢化可以通过动力学临界指数来描述 物理量A的关联函数为 驰豫时间可以定义为 一般 为2 3个MCS 但在临界点 发散 Z为动力学临界指数 二维Ising模 z 2 18 2003 9 28 上海交通大学理论物理研究所马红孺 临界点的模拟和临界慢化 对于有限系统 改进的办法 Swendsen Wang方法 1 从任一状态出发 s 2 访问所有的近邻对 如果两个相邻格点i和j的自旋相同 则在这两个格点之间以几率p 1 e 2 J生成一个键 如果两个相邻自旋不同 则在它们之间不生成键 3 根据连键的情况构造集团 任何两个格点之间 如果能够找到一条连接的通路 则属于一个集团 一个孤立格点也是一个集团 每一个格点必须属于某一个集团 在确认了每一个集团后 给每个集团按相同几率给予自旋 1和 1 并完全忘掉原来的自旋 4 一个MCS结束 重复2 4 2003 9 28 上海交通大学理论物理研究所马红孺 临界点的模拟和临界慢化 改进的方法 Wolff方法 1 随机选择一个格点 2 从这一格点出发 如果 对所有的和此格点自旋相同的近邻点以概率p 1 e 2 J连键 3 如果键已经画到了近邻格点j 然后从j出发向所有的相同自旋的近邻以几率p 1 e 2 J连键 4 重复第三步 直到再不能生成新的键 从而构成一个集团 5 翻转集团的自旋 6 转到第一步 2003 9 28 上海交通大学理论物理研究所马红孺 临界点的模拟和临界慢化 Wollf的单集团算法比Swendsen 王建生的多集团算法的效率要高 而且容易在计算机上实现 对于二维的Ising模型 两个算法都给出z 0 或 2003 9 28 上海交通大学理论物理研究所马红孺 自由能的计算 热力学积分方法 利用 得到 2003 9 28 上海交通大学理论物理研究所马红孺 自由能的计算 接受几率方法 AcceptanceRatioMethod 这一方法计算由U0和U1描述的两个相近系统的自由能之差 自由能之差可以写为 2003 9 28 上海交通大学理论物理研究所马红孺 自由能的计算 两个配分函数之比可以变换为 这里的下标0和1是指对势U0和U1 正则分布求平均 W是一个任意函数 2003 9 28 上海交通大学理论物理研究所马红孺 自由能的计算 选择 n0和n1是两个任意常数 令 2003 9 28 上海交通大学理论物理研究所马红孺 自由能的计算 我们得到 这里 自由能差为 2003 9 28 上海交通大学理论物理研究所马红孺 自由能的计算 王福高 Landau方法 能量空间的无规行走 正则分布 物理量的平均值 是状态数 自由能 FugaoWangandD P Landau Phys Rev Lett 86 2050 2001 Phys Rev E64 056101 2001 2003 9 28 上海交通大学理论物理研究所马红孺 自由能的计算 1 赋初值 令所有能级E的状态数 E 均为1 2 选定一个已知能量的位型 3 以随机或打字的方式改变一个格点的自旋 设改变以前系统的能量为E1 改变以后系统的能量为E2 为了使访问能级E的概率正比于该能级状态数 E 的倒数 从能级E1到E2的转变几率为min E1 E2 1 按照接受状况更新状态数 E 同时计算状态的能量分布H E 以二维Ising模型为例 能量的可能取值为 2NJ 2NJ 2 2NJ 2 2NJ我们需要计算每个能级的状态数 E 问题 如何计算 E 2003 9 28 上海交通大学理论物理研究所马红孺 自由能的计算 即 1 倘若当前的状态数是 E1 E2 则无条件接受新位型 同时能级E2的状态数 E2 乘以一个修正因子f f 1 并且能级E2的访问次数H E2 计数一次 2 倘若当前的状态数是 E1 E2 则按几率 E1 E2 接受新位型 如果接受新位型 那么能级E2的状态数 E2 乘以一个修正因子f 并且能级E2的访问次数H E2 计数一次 如果不接受新位型 那么能级E1的状态数 E1 乘以一个修正因子f 并且能级E1的访问次数H E1 计数一次 收敛的标志 H E 常数 2003 9 28 上海交通大学理论物理研究所马红孺 自由能的计算 其它重要方法 1 Multicanonical方法 B BergandT Neuhaus Phys Lett B267 249 1991 Phys Rev Lett 68 9 1992 由一个初始态密度出发 通过多次模拟 近似求得态密度 2 MultistageSampling McDonaldandSinger 1967 1969 3 FiniteSizemethod Mon 1985 4 Particle InsertionMethod B Widom 1962 5 HistogramMethods FerrenbergandSwendsen 1988 6 DensityScalingMonteCarlo JPValleau 1991 7 8 2003 9 28 上海交通大学理论物理研究所马红孺 自由能的计算 选作习题 试用王福高 Landau方法计算二维Ising模型的态密度并由此计算二维Ising模型的自由能和熵密度作为温度的函数