D74重积分的应用.ppt

第四节 一 平面面积与立体体积 二 曲面的面积 三 物体的质心 四 物体的转动惯量 机动目录上页下页返回结束 重积分的应用 五 物体的引力 1 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 对区域具有可加性 从重积分定义出发建立积分式 用微元分析法 元素法 分布在有界闭域上的整体量 3 解题要点 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 2 用重积分解决问题的方法 机动目录上页下页返回结束 一 平面区域的面积与立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 占有空间有界域 的立体的体积为 机动目录上页下页返回结束 占有平面有界域D的平面的面积为 例1 求由 所围图形的面积 y x 解 则所围图形的面积 D1 例2 求半径为a的球面与半顶角为 的 内接锥面所围成的立体的体积 解 在球坐标系下空间立体所占区域为 则立体体积为 机动目录上页下页返回结束 任一点的切平面与曲面 所围立体的体积V 解 曲面 的切平面方程为 它与曲面 的交线在xoy面上的投影为 记所围域为D 在点 例3 求曲面 机动目录上页下页返回结束 二 曲面的面积 设光滑曲面 则面积A可看成曲面上各点 处小切平面的面积dA无限积累而成 设它在D上的投影为d 称为面积元素 则 机动目录上页下页返回结束 故有曲面面积公式 若光滑曲面方程为 则有 即 机动目录上页下页返回结束 若光滑曲面方程为 则有 例4 计算半径为a的球的表面积 解 取上半球面方程 机动目录上页下页返回结束 则它在 xoy平面上的投影为 例5 求球体 被圆柱面 所截得的 含在柱面内的 部分的表面积 解 设 由对称性可知 机动目录上页下页返回结束 在球面内部的面积最大 例6 设半径为R的球面的球心在球面 解 如图建立直角坐标系 则 的方程为 球面在球面内部曲面S在xoy 面上的投影为 S的方程为 上 问R取何值时 球面 机动目录上页下页返回结束 则 令 得到驻点 由于 得当 时 曲面S的面积达到最大值 机动目录上页下页返回结束 三 物体的质心 设空间有n个质点 其质量分别 由力学知 该质点系的质心坐标 设物体占有空间域 有连续密度函数 则 公式 分别位于 为 为 即 采用 大化小 常代变 近似和 取极限 可导出其质心 机动目录上页下页返回结束 将 分成n小块 将第k块看作质量集中于点 例如 令各小区域的最大直径 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标 的质点 即得 此质点 在第k块上任取一点 机动目录上页下页返回结束 同理可得 则得形心坐标 机动目录上页下页返回结束 若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片 A为D的面积 得D的形心坐标 则它的质心坐标为 其面密度 对x轴的静矩 对y轴的静矩 机动目录上页下页返回结束 例7 求半径为R的球面与半顶角为 的 内接锥面所围成的立体的质心 密度为1 解 在球坐标系下空间立体所占区域为 则立体体积为 利用对称性可知 而 机动目录上页下页返回结束 所求质心坐标为 机动目录上页下页返回结束 例8 求位于两圆 和 的质心 其中 解 利用对称性可知 而 四 物体的转动惯量 设物体占有空间区域 有连续分布的密度函数 该物体位于 x y z 处的微元 因此物体对z轴的转动惯量 对z轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和 故 连续体的转动惯量可用积分计算 机动目录上页下页返回结束 类似可得 对x轴的转动惯量 对y轴的转动惯量 对原点的转动惯量 机动目录上页下页返回结束 如果物体是平面薄片 面密度为 则转动惯量的表达式是二重积分 机动目录上页下页返回结束 例9 求半径为a的均匀半圆薄片对其直径 解 建立坐标系如图 半圆薄片的质量 的转动惯量 机动目录上页下页返回结束 解 取球心为原点 z轴为l轴 则 球体的质量 例10 求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量 设球 所占域为 用球坐标 机动目录上页下页返回结束 例11 求半径R 母线2h的均匀圆柱体 关于中间位置的 截面圆某直径的转动惯量 解 以z轴为对称轴 截面圆直径为x轴建立坐标系 G为引力常数 五 物体的引力 设物体占有空间区域 物体对位于原点的单位质量质点的引力 利用元素法 在 上积分即得各引力分量 其密度函数 引力元素在三坐标轴上的投影分别为 机动目录上页下页返回结束 对xoy面上的平面薄片D 它对原点处的单位质量质点 的引力分量为 机动目录上页下页返回结束 例12 设面密度为 半径为R的圆形薄片 求它对位于点 解 由对称性知引力 处的单位质量质点的引力 机动目录上页下页返回结束 例13 求半径R的均匀球 对位于 的单位质量质点的引力 解 利用对称性知引力分量 点 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 t为时间 的雪堆在融化过程中 其 侧面满足方程 设长度单位为厘米 时间单位为小时 设有一高度为 已知体积减少的速率与侧面积成正比 比例系数0 9 问高度为130cm的雪堆全部融化需要 多少小时 2001考研 机动目录上页下页返回结束 备用题 提示 记雪堆体积为V 侧面积为S 则 用极坐标 机动目录上页下页返回结束 由题意知 令 得 小时 因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100 小时 机动目录上页下页返回结束