微观经济4章-习题答案

第四章 生产论1. 下面(表41)是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表：表41可变要素的数量可变要素的总产量可变要素的平均产量可变要素的边际产量122103244125606677080963(1) 在表中填空。(2) 该生产函数是否表现出边际报酬递减？如果是，是从第几单位的可变要素投入量开始的？解答：(1) 利用短期生产的总产量(TP)、平均产量(AP)和边际产量(MP)之间的关系，可以完成对该表的填空，其结果如表42所示：表42 可变要素的数量可变要素的总产量可变要素的平均产量可变要素的边际产量12 22212 610324 8124481224560121266611677010487070/80 96377(2) 所谓边际报酬递减是指短期生产中一种可变要素的边际产量在达到最高点以后开始逐步下降的这样一种普遍的生产现象。本题的生产函数表现出边际报酬递减的现象，具体地说，由表42可见，当可变要素的投入量从第4单位增加到第5单位时，该要素的边际产量由原来的24下降为12。2. 用图说明短期生产函数的TPL曲线、APL曲线和MPL曲线的特征及其相互之间的关系。解答：短期生产函数的TPL曲线、APL曲线和MPL曲线的综合图如图41所示。图41由图41可见，在短期生产的边际报酬递减规律的作用下，MPL曲线呈现出先上升达到最高点A以后又下降的趋势。从边际报酬递减规律决定的MPL曲线出发，可以方便地推导出TPL曲线和APL曲线，并掌握它们各自的特征及相互之间的关系。关于TPL曲线。由于MPLdTPL/dL，所以，当MPL0时，TPL曲线是上升的；当MPL0时，TPL曲线是下降的；而当MPL0时，TPL曲线达最高点。换言之，在LL3时，MPL曲线达到零值的B点与TPL曲线达到最大值的B点是相互对应的。此外，在LL3即MPL0的范围内，当MPL 0时，TPL曲线的斜率递增，即TPL曲线以递增的速率上升；当MPL0时，TPL曲线的斜率递减，即TPL曲线以递减的速率上升；而当MP0时，TPL曲线存在一个拐点，换言之，在LL1时，MPL曲线斜率为零的A点与TPL曲线的拐点A是相互对应的。关于APL曲线。由于APLTPL/L，所以，在LL2时，TPL曲线有一条由原点出发的切线，其切点为C。该切线是由原点出发与TPL曲线上所有的点的连线中斜率最大的一条连线，故该切点对应的是APL的最大值点。再考虑到APL曲线和MPL曲线一定会相交在APL曲线的最高点。因此，在图41中，在LL2时，APL曲线与MPL曲线相交于APL曲线的最高点C，而且与C点相对应的是TPL曲线上的切点C。3. 已知生产函数Qf(L， K)2KL0.5L20.5K2， 假定厂商目前处于短期生产，且K10。(1) 写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPL函数、劳动的平均产量APL函数和劳动的边际产量MPL函数。(2) 分别计算当劳动的总产量TPL、劳动的平均产量APL和劳动的边际产量MPL各自达到最大值时的厂商的劳动投入量。(3) 什么时候APLMPL？它的值又是多少？解答：(1)由生产函数Q2KL0.5L20.5K2，且K10，可得短期生产函数为Q20L0.5L20.510220L0.5L250于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数劳动的总产量函数：TPL20L0.5L250劳动的平均产量函数：APLTPL/L200.5L50/L劳动的边际产量函数：MPLdTPL/dL20L(2) 关于总产量的最大值：令MPL dTPL/dL0，即dTPL/dL20L0解得L20且eq f(d2TPL,dL2)10所以，当劳动投入量L20时，劳动的总产量TPL达到极大值。关于平均产量的最大值：当MPLAPL时，平均产量APL最大，代入有关参数可得200.5L50/L20L，即0.550L20解得L10 (已舍去负值)且eq f(d2APL,dL2)100L30所以，当劳动投入量L10时，劳动的平均产量APL达到极大值。关于边际产量的最大值：由劳动的边际产量函数MPL20L可知，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。考虑到劳动投入量总是非负的，所以，当劳动投入量L0时，劳动的边际产量MPL达到极大值。(3) 当劳动的平均产量APL达到最大值时，一定有APLMPL。由(2)已知，当L10时，劳动的平均产量APL达到最大值，即相应的最大值为APLmax200.51050/1010将L10代入劳动的边际产量函数MPL20L，得MPL201010。很显然，当APLMPL10时，APL一定达到其自身的极大值，此时劳动投入量为L10。4. 区分边际报酬递增、不变和递减的情况与规模报酬递增、不变和递减的情况。解答：边际报酬变化是指在生产过程中一种可变要素投入量每增加一个单位时所引起的总产量的变化量，即边际产量的变化，而其他生产要素均为固定生产要素，固定要素的投入数量是保持不变的。边际报酬变化具有包括边际报酬递增、不变和递减的情况。很显然，边际报酬分析可视为短期生产的分析视角。规模报酬分析方法是描述在生产过程中全部生产要素的投入数量均同比例变化时所引起的产量变化特征，当产量的变化比例分别大于、等于、小于全部生产要素投入量变化比例时，则分别为规模报酬递增、不变、递减。很显然，规模报酬分析可视为长期生产的分析视角。5. 已知生产函数为Qmin2L，3K。求：(1) 当产量Q36时，L与K值分别是多少？(2) 如果生产要素的价格分别为PL2，PK5，则生产480单位产量时的最小成本是多少？解答：(1) 生产函数Qmin2L， 3K 表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，厂商进行生产时，总有Q2L3K。因此，当产量Q36时，相应地有L18，K12。(2) 由Q2L3K，且Q480，可得L240，K160又因为PL2，PK5，所以有CPLLPKK224051601 280即生产480单位产量的最小成本为1 280。6.假设某厂商的短期生产函数为 Q35L8L2L3。求：(1) 该企业的平均产量函数和边际产量函数。(2) 如果企业使用的生产要素的数量为L6，是否处于短期生产的合理区间？为什么？解答：(1) 平均产量函数：AP(L)Q/L358LL2边际产量函数：MP(L)dQ/dL3516L3L2(2) 首先需要确定生产要素L投入量的合理区间。在生产要素L投入量的合理区间的左端，有APMP。于是，有358LL23516L3L2。解得L0和L4。L0不合理，舍去，故取L4。在生产要素L投入量的合理区间的右端，有MP0。于是，有3516L3L20。解得Leq f(5,3)和L7。L为负值不合理，舍去，故取L7。由此可得，生产要素L投入量的合理区间为4,7，即当4L7时，企业处于短期生产的第二阶段。所以，企业对生产要素L的使用量为6是处于短期生产的第二阶段，属于合理的决策区间。7. 假设生产函数Q3L0.8K0.2。试问：(1) 该生产函数是否为齐次生产函数？ (2) 如果根据欧拉分配定理，生产要素L和K都按其边际产量领取实物报酬，那么，分配后产品还会有剩余吗？ 解答：(1) 因为Qf(L,K)3L0.8K0.2,所以f(L，K)3(L)0.8(K)0.20.80.23L0.8K0.23L0.8K0.2f(L，K) Q故而，该生产函数为齐次生产函数，且为规模报酬不变的一次齐次生产函数。(2) 因为生产函数为Q3L0.8K0.2MPLdQ/dL3K0.20.8L-0.22.4L0.2K0.2MPKdQ/dK3L0.80.2K-0.80.6L0.8K0.8所以，根据欧拉分配定理，被分配掉的实物总量为MPLLMPKK2.4L0.2K0.2L0.6L0.8K0.8K2.4L0.8K0.20.6L0.8K0.23L0.8K0.2可见，对于一次齐次的该生产函数来说，若按欧拉分配定理分配实物报酬，则所生产的产品刚好分完，不会有剩余。8. 假设生产函数Qmin5L,2K。(1) 作出Q50时的等产量曲线。(2) 推导该生产函数的边际技术替代率函数。(3) 分析该生产函数的规模报酬情况。解答：(1) 生产函数Qmin5L,2K是固定投入比例的生产函数，其等产量曲线如图42所示为直角形状，且在直角点两要素的固定投入比例为K/L5/2。图42当产量Q50时，有5L2K50，即L10，K25。相应的Q50的等产量曲线如图42所示。(2) 由于该生产函数为固定投入比例，即L与K之间没有替代关系，所以，边际技术替代率MRTSLK0。(3) 因为Qf(L，K)min5L,2Kf(L，K)min5L,2Kmin5L,2K所以该生产函数为一次齐次生产函数，呈现出规模报酬不变的特征。9. 已知柯布道格拉斯生产函数为QALK。请讨论该生产函数的规模报酬情况。解答：因为 Qf(L，K)ALKf (L，K)A(L)(K)ALK所以当1时，该生产函数为规模报酬递增；当1时，该生产函数为规模报酬不变；当1时，该生产函数为规模报酬递减。10. 已知生产函数为(a) Q5L1/3K2/3；(b) QKL/KL；(c) QKL2；(d) Qmin3L，K。求：(1) 厂商长期生产的扩展线方程。(2) 当PL1，PK1，Q1 000时，厂商实现最小成本的要素投入组合。解答：(1) (a)关于生产函数Q5L1/3K2/3。MPL5/3L-2/3K2/3MPK10/3L1/3K-1/3由最优要素组合的均衡条件MPL/MPKPL/PK，可得5/3L-2/3K2/310/3L1/3K-1/3PL/PK整理得K/(2L)PL/PK即厂商长期生产的扩展线方程为K2PLL/PK(b)关于生产函数QKL/KL。MPL(K(KL)KL,(KL)2)K2/(KL)2MPK(L(KL)KL,(KL)2)L2/(KL)2由最优要素组合的均衡条件MPL/MPKPL/PK，可得 K2/(KL)2/L2/(KL)2PL/PK整理得 K2/L2PL/PK即厂商长期生产的扩展线方程为Keq blc(rc)(avs4alco1(f(PL,PK)eq f(1,2)L(c)关于生产函数QKL2。MPL2KLMPKL2由最优要素组合的均衡条件MPL/MPKPL/PK，可得eq f(2KL,L2)eq f(PL,PK)即厂商长期生产的扩展线方程为Keq blc(rc)(avs4alco1(f(PL,2PK)L(d) 关于生产函数Qmin(3L，K)。由于该函数是固定投入比例的生产函数，即厂商的生产总有3LK，所以，直接可以得到厂商长期生产的扩展线方程为K3L。(2)(a) 关于生产函数Q5Leq f(1,3)Keq f(2,3)。当PL1，PK1，Q1 000时，由其扩展线方程Keq blc(rc)(avs4alco1(f(2PL,PK)L得K2L代入生产函数Q5Leq f(1,3)Keq f(2,3)得5Leq f(1,3)(2L)eq f(2,3)1 000于是，有Leq f(200,r(3,4)，Keq f(400,r(3,4)。(b) 关于生产函数Qeq f(KL,KL)。当PL1，PK1，Q1 000时，由其扩展线方程Keq blc(rc)(avs4alco1(f(PL,PK)eq f(1,2)L得KL代入生产函数Qeq f(KL,KL)得eq f(L2,LL)1 000于是，有L2 000，K2 000。(c) 关于生产函数QKL2。当PL1，PK1，Q1 000时，由其扩展线方程Keq blc(rc)(avs4alco1(f(PL,2PK)L得Keq f(1,2)L代入生产函数QKL2，得eq blc(rc)(avs4alco1(f(L,2)L21 000于是，有L10eq r(3,2)，K5eq r(3,2)。(d) 关于生产函数Qmin3L，K。当PL1，PK1，Q1 000时，将其扩展线方程K3L，代入生产函数，得K3L1 000于是，有K1 000，Leq f(1 000,3)。11. 已知生产函数QAL1/3K2/3。判断：(1) 在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？(2) 在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？解答：(1) 因为Qf(L，K)ALeq f(1,3)Keq f(2,3)， 于是有f(L，K)A(L)eq f(1,3)(K)eq f(2,3)Aeq f(1,3)eq f(2,3)Leq f(1,3)Keq f(2,3)ALeq f(1,3)Keq f(2,3)f(L，K)所以，生产函数QALeq f(1,3)Keq f(2,3)属于规模报酬不变的生产函数。(2) 假定在短期生产中，资本投入量不变，以eq o(K,sup6()表示；而劳动投入量可变，以L表示。对于生产函数QALeq f(1,3)eq o(K,sup6()eq f(2,3)，有MPLeq f(1,3)ALeq f(2,3)eq o(K,sup6()eq f(2,3)且eq f(dMPL,dL)eq f(2,9)ALeq f(5,3)eq o(K,sup6()eq f(2,3)0这表明：在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动的边际产量MPL是递减的。类似地，假定在短期生产中，劳动投入量不变，以eq o(L,sup6()表示；而资本投入量可变，以K表示。对于生产函数QAeq o(L,sup6()eq f(1,3)Keq f(2,3)，有MPKeq f(2,3)Aeq o(L,sup6()eq f(1,3)Keq f(1,3)且eq f(dMPK,dK)eq f(2,9)Aeq o(L,sup6()eq f(1,3)Keq f(4,3)0这表明：在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量MPK是递减的。以上的推导过程表明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律的支配。12. 令生产函数f(L，K)01(LK)eq f(1,2)2K3L，其中0i1，i0,1,2,3。(1) 当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。(2) 证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。解答：(1) 根据规模报酬不变的定义f(L，K)f(L，K)( 0 )于是有f(L，K)01(L)(K)eq f(1,2)2(K)3(L) 01(LK)eq f(1,2)2K3L 01(LK)eq f(1,2)2K3L(1)0 f(L，K)(1)0由上式可见，当00时，对于任何的0，有f(L，K)f(L，K)成立，即当00时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。(2) 在规模报酬不变，即00时，生产函数可以写成f(L，K)1(LK)eq f(1,2)2K3L相应地，劳动与资本的边际产量分别为MPL(L，K)eq f(f(L，K),L)eq f(1,2)1Leq f(1,2)Keq f(1,2)3MPK(L，K)eq f(f(L，K),K)eq f(1,2)1Leq f(1,2)Keq f(1,2)2而且有eq f(MPL(L，K),L)eq f(2f(L，K),L2)eq f(1,4)1Leq f(3,2)Keq f(1,2)eq f(MPK(L，K),K)eq f(2f(L，K),K2)eq f(1,4)1Leq f(1,2)Keq f(3,2)显然，劳动和资本的边际产量都是递减的。13. 已知某企业的生产函数为QLeq f(2,3)Keq f(1,3)，劳动的价格w2，资本的价格r 1。求：(1) 当成本C3 000时，企业实现最大产量时的L、K和Q的均衡值。(2) 当产量Q800时，企业实现最小成本时的L、K和C的均衡值。解答：(1) 根据企业实现给定成本条件下产量最大化的均衡条件MPL/MPK w / r其中MPLeq f(dQ,dL)eq f(2,3)Leq f(1,3)Keq f(1,3)MPKeq f(dQ,dK)eq f(1,3)Leq f(2,3)Keq f(2,3)w2r 1于是有eq f(2,3)Leq f(1,3)Keq f(1,3),eq f(1,3)Leq f(2,3)Keq f(2,3)eq f(2,1)整理得eq f(K,L)eq f(1,1)即KL再将KL代入约束条件2L1K3 000，有2LL3 000解得L*1 000且有K*1 000将L*K*1 000代入生产函数，求得最大的产量Q*(L*)eq f(2,3)(K*)eq f(1,3)1 000eq f(2,3)eq f(1,3)1 000本题的计算结果表示：在成本C3 000时，厂商以L*1 000，K*1 000进行生产所达到的最大产量为Q*1 000。此外，本题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。eq o(max,sdo4(L，K)Leq f(2,3)Keq f(1,3)s.t.2L1K3 000L(L，K，)Leq f(2,3)Keq f(1,3)(3 0002LK)将拉格朗日函数分别对L、K和求偏导，得极值的一阶条件eq f(L,L)eq f(2,3)Leq f(1,3)Keq f(1,3)20 (1)eq f(L,K)eq f(1,3)Leq f(2,3)Keq f(2,3)0 (2)eq f(L,)3 0002LK0 (3)由式(1)、式(2)可得eq f(K,L)eq f(1,1)即KL将KL代入约束条件即式(3)，可得3 0002LL0解得L*1 000且有K*1 000再将L*K*1 000代入目标函数即生产函数，得最大产量Q*(L*)eq f(2,3)(K*)eq f(1,3)1 000eq f(2,3)eq f(1,3)1 000在此略去关于极大值的二阶条件的讨论。(2) 根据厂商实现给定产量条件下成本最小化的均衡条件MPL/MPK w / r其中MPLeq f(dQ,dL)eq f(2,3)Leq f(1,3)Keq f(1,3)MPKeq f(dQ,dK)eq f(1,3)Leq f(2,3)Keq f(2,3)w2r 1于是有eq f(2,3)Leq f(1,3)Keq f(1,3),eq f(1,3)Leq f(2,3)Keq f(2,3)eq f(2,1)整理得eq f(K,L)eq f(1,1)即KL再将KL代入约束条件Leq f(2,3)Keq f(1,3)800，有Leq f(2,3)Leq f(1,3)800解得L*800且有K*800将L*K*800代入成本方程2L1KC，求得最小成本C*280018002 400本题的计算结果表示：在Q800时，厂商以L*800，K*800进行生产的最小成本为C*2 400。此外，本题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。mieq o(n,sdo4(L，K)2LKs.t.Leq f(2,3)Keq f(1,3)800L(L，K，)2LK(800Leq f(2,3)Keq f(1,3)将拉格朗日函数分别对L、K和求偏导，得极值的一阶条件eq f(L,L)2eq f(2,3)Leq f(1,3)Keq f(1,3)0 (1)eq f(L,K)1eq f(1,3)Leq f(2,3)Keq f(2,3)0 (2)eq f(L,)800Leq f(2,3)Keq f(1,3)0 (3)由式(1)、式(2)可得eq f(K,L)eq f(1,1)即KL将KL代入约束条件即式(3)，有800Leq f(2,3)Leq f(1,3)0解得L800且有K800再将L*K*800代入目标函数即成本等式，得最小的成本C2L1K280018002 400在此略去关于极小值的二阶条件的讨论。14. 画图说明厂商在既定成本条件下是如何实现最大产量的最优要素组合的。图43解答：以图43为例，要点如下：(1)由于本题的约束条件是既定的成本，所以，在图43中，只有一条等成本线AB；此外，有三条等产量曲线Q1、Q2和Q3以供分析，并从中找出相应的最大产量水平。(2)在约束条件即等成本线AB给定的条件下，先看等产量曲线Q3，该曲线处于AB线以外，与AB线既无交点又无切点，所以，等产量曲线Q3表示的产量过大，既定的等成本线AB不可能实现Q3的产量。再看等产量曲线Q1，它与既定的AB线交于a、b两点。在这种情况下，厂商只要从a点出发，沿着AB线往下向E点靠拢，或者从b点出发，沿着AB线往上向E点靠拢，就都可以在成本不变的条件下，通过对生产要素投入量的调整，不断地增加产量，最后在等成本线AB与等产量曲线Q2的相切处E点，实现最大的产量。由此可得，厂商实现既定成本条件下产量最大化的均衡条件是MRTSLKw / r，且整理可得MPL/ w MPK / r。图4415. 画图说明厂商在既定产量条件下是如何实现最小成本的最优要素组合的。解答：以图44为例，要点如下：(1)由于本题的约束条件是既定的产量，所以，在图44中，只有一条等产量曲线eq o(Q,sup6()；此外，有三条等成本线AB、AB和AB以供分析，并从中找出相应的最小成本。(2)在约束条件即等产量曲线eq o(Q,sup6()给定的条件下，先看等成本线AB，该线处于等产量曲线eq o(Q,sup6()以下，与等产量曲线eq o(Q,sup6()既无交点又无切点，所以，等成本线AB所代表的成本过小，它不可能生产既定产量eq o(Q,sup6()。再看等成本线AB，它与既定的等产量曲线交于a、b两点。在这种情况下，厂商只要从a点出发，沿着等产量曲线eq o(Q,sup6()往下向E点靠拢，或者，从b点出发，沿着等产量曲线eq o(Q,sup6()往上向E点靠拢，就都可以在既定的产量条件下，通过对生产要素投入量的调整，不断地降低成本，最后在等产量曲线eq o(Q,sup6()与等成本线AB的相切处E点，实现最小的成本。由此可得，厂商实现既定产量条件下成本最小化的均衡条件是MRTSLKw / r，且整理可得MPL/ w MPK / r。