九年级数学下册 第二十七章 相似章节复习同步练习课件 新人教版.ppt

章末复习 知识框架 归纳整合 中考链接 素养提升 知识框架 相似多边形 位似 定义 两个边数相同的多边形 如果它们的角分别相等 边成比例 那么这两个多边形叫作相似多边形 三个角分别相等 三条边成比例的两个三角形叫作相似三角 对应角相等 对应边成比例 平行于三角形一边的直线和其他两边相交 所构成的三角形与原三角形相似 相似三角形 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 确定位似中心 找关键点 作关键点的对应点 坐标中的位似变换 不仅相似 而且对应点的连线相交于一点 性质 对应线段 高 中线 角平分线等 的比等于相似比 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 判定 利用视线测量物高 应用 利用影长测量物高 利用其他方法构成相似三角形测距离 作图 不仅相似 而且对应点的连线相交于一点 定义 性质 对应角相等 对应边成比例 周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方 专题一平行线分线段成比例 要点指导 平行线分线段成比例是三角形相似的基础 也是求线段比和证明与线段长度相关的等式的一种方法 归纳整合 例1如图27 Z 1 在 ABC中 D为AC上一点 且 过点D作DE BC交AB于点E 连接CE 过点D作DF CE交AB于点F 若AB 15 则EF 相关题1 C 如图27 Z 2 在 ABC中 DE BC AE 2cm 则AC的长是 A 2cmB 4cmC 6cmD 8cm 专题二相似三角形的判定 要点指导 判定两个三角形相似的方法 1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交 所构成的三角形与原三角形相似 2 三边成比例的两个三角形相似 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 4 两角分别相等的两个三角形相似 证明两个三角形相似 要结合已知条件和隐含条件灵活选择判定方法 以上四种方法中 两角分别相等和平行线法是常用的证明方法 例2如图27 Z 3所示 CD是Rt ABC斜边上的高 E是AC的中点 ED CB的延长线交于点F 求证 FDB FCD 证明 CD是Rt ABC斜边上的高 E是AC的中点 EDA A EDC ECD EDC EDA 90 EDA BDF EDC BDF 90 ECD BDF 90 ECD DCF 90 BDF DCF 又 F F FDB FCD 相关题2 如图27 Z 4所示 在ABCD中 对角线AC BD相交于点O 分别过点D C作DE OC CE OD 1 图中有若干对相似三角形 请至少写出三对相似 不全等的 三角形 并选择其中一对加以证明 2 求证 DM OB 解 1 相似三角形有 ABM NDM NCE AOM ACE DNE CNA等 证明 四边形ABCD是平行四边形 AB CD ABM NDM CE OD NDM NCE AOM ACE ABM NDM NCE DE OC DNE CAN 专题三相似三角形的性质 要点指导 1 相似三角形对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比都等于相似比 2 相似三角形周长的比等于相似比 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 例3若 ABC A B C 且A C 3cm BC 5cm AC 4cm AB 7cm 则 A B C 的周长为 A 12cmB 13cmC 14cmD 15cm A 相关题3在 ABC中 BC 6 AC 8 AB 10 另一个与它相似的三角形的最短边长是3 则其最长边长是 A 12B 5C 16D 20 解析在 ABC中 最短边长BC 6 最长边长AB 10 另一个与它相似的三角形的最短边长是3 它们的相似比是2 1 另一个三角形的最长边长是5 B 例4已知两个相似三角形的一对对应角平分线的长分别是35cm和14cm 已知它们的周长相差60cm 求这两个三角形的周长 已知它们的面积相差588cm2 求这两个三角形的面积 解 1 两个相似三角形的一对对应角平分线的长分别是35cm和14cm 这两个三角形的相似比为5 2 这两个三角形的周长比为5 2 设较大的三角形的周长为5xcm 较小的三角形的周长为2xcm 它们的周长相差60cm 3x 60 解得x 20 5x 5 20 100 cm 2x 2 20 40 cm 较大的三角形的周长为100cm 较小的三角形的周长为40cm 2 这两个三角形的相似比为5 2 这两个三角形的面积比为25 4 设较大的三角形的面积为25ycm2 较小的三角形的面积为4ycm2 它们的面积相差588cm2 25 4 y 588 y 28 25y 25 28 700 cm2 4y 4 28 112 cm2 较大的三角形的面积为700cm2 较小的三角形的面积为112cm2 相关题4如图27 Z 5所示 在 ABC中 点D E分别在边AB AC上 且则S ADE S四边形BCED的值为 A B 1 2C 1 3D 1 4 C 专题四证明比例式或等积式 要点指导 本章中常出现证明比例式或等积式的题目 解决此类问题主要运用相似三角形的性质 常用的方法有 1 三点定形法 分别观察所证线段比例式的分子和分母或各个比的分子和分母 它们各自两条线段的四个字母中不同的三个字母是否分别为某三角形的三个顶点 若恰好能组成两个三角形 则可以考虑证明这两个三角形相似 2 基本图形定形法 熟悉相似三角形的基本图形是寻找相似三角形的捷径 常见的相似三角形有以下四种 1 平行线型 2 等角对顶型 3 共角等角型 4 共边等角型 3 等量代换法 当需要证明的成比例的四条线段不能构成相似三角形时 往往需要进行等量代换 如 线段的代换 或利用 中间比 进行代换 4 辅助平行法 利用辅助平行线来转移比例是证明线段成比例的有效方法 这种方法经常通过平行线分线段成比例定理及其推论来实现 例5如图27 Z 6所示 在四边形ABCD中 AD CD DAB ACB 90 过点D作DE AC 垂足为F DE与AB相交于点E 求证 AB AF CB CD 证明 DE AC DFA 90 DAB DAF CAB 90 CAB B 90 DAF B 在 DAF和 ABC中 DFA ACB 90 DAF B AB AF CB CD 相关题5 1如图27 Z 7所示 在 ABC中 D是BC边上一点 E是AC边上一点 且满足AD AB ADE C 求证 1 AED ADC DEC B 2 AB2 AE AC 相关题5 2 如图27 Z 8所示 AB是半圆O的直径 点P在BA的延长线上 PD切 O于点C BD PD 垂足为D 连接BC 求证 1 BC平分 PBD 2 BC2 AB BD 证明 1 连接OC 则OC PD BD PD OC BD OCB CBD OB OC OCB OBC CBD OBC 即BC平分 PBD 2 连接AC AB是半圆O的直径 ACB 90 BD PD PDB 90 又 CBD OBC ABC CBD 专题五位似变换 要点指导 位似图形一定是相似图形 经位似变换后的图形 不仅与原图形相似 而且对应点的连线交于一点 利用位似变换 可以将一个图形放大或缩小 例6如图27 Z 9 ABC的顶点坐标分别为A 1 1 B 2 3 C 3 0 1 以点O为位似中心画 DEF 使它与 ABC位似 且相似比为2 2 在 1 的条件下 若M a b 为 ABC边上的任意一点 则 DEF的边上与点M对应的点M 的坐标为多少 解 1 如图27 Z 10 DEF和 D E F 即为所求的三角形 2 与点M对应的点M 的坐标为 2a 2b 或 2a 2b 相关题6如图27 Z 11 ABC的三个顶点坐标分别为A 2 7 B 6 8 C 8 2 1 以点O为位似中心 在第三象限内作出 A1B1C1 使 A1B1C1与 ABC的位似比为1 2 2 写出点A1 B1 C1的坐标 3 如果 ABC内部一点M的坐标为 x y 写出点M的对应点M 的坐标 解 1 如图所示 A1B1C1即为所求作的三角形 2 A1 1 3 5 B1 3 4 C1 4 1 3 点M 的坐标为 专题六利用相似列函数解析式 要点指导 求几何图形中的函数关系 一般会用到几何图形和相似的性质 尤其是利用相似得到比例式 从而将未知线段用含字母的代数式表示出来 例7如图27 Z 12所示 正方形ABCD的边长为4 M N分别是BC CD上的两个动点 当点M在BC上运动时 保持AM和MN垂直 1 求证 Rt ABM Rt MCN 2 设BM x 梯形ABCN的面积为y 求y关于x的函数解析式 当点M运动到什么位置时 四边形ABCN的面积最大 并求出最大面积 3 当点M运动到什么位置时 Rt ABM Rt AMN 并求此时BM的长 解 1 证明 在正方形ABCD中 B C 90 AM MN AMN 90 CMN AMB 90 在Rt ABM中 MAB AMB 90 2 Rt ABM Rt MCN 当x 2时 y取最大值 最大值为10 故当点M运动到BC的中点时 四边形ABCN的面积最大 最大面积为10 3 B AMN 90 要使Rt ABM Rt AMN 由 1 知 BM MC 即当点M运动到BC的中点时 Rt ABM Rt AMN 此时BM 2 相关题7 1如图27 Z 13所示 在矩形ABCD中 AB m m是大于0的常数 BC 8 E为线段BC上的动点 不与点B C重合 连接DE 作EF DE EF与射线BA交于点F 设CE x BF y 1 求y关于x的函数解析式 2 若m 8 求x为何值时 y的值最大 最大值是多少 相关题7 2如图27 Z 14所示 在直角梯形ABCD中 AB DC D 90 AC BC于点C AB 10cm BC 6cm 点F以2cm s的速度在线段AB上由点A向点B匀速运动 点E同时以1cm s的速度在线段BC上由点B向点C匀速运动 设运动时间为ts 0 t 5 1 求证 ACD BAC 2 求DC的长 3 设四边形AFEC的面积为y 求y关于t的函数解析式 并求出y的最小值 素养提升 专题一转化思想 要点指导 在证明比例式时 如果不能直接证明 可以采用等线段代换或 中间比 代换进行转化 当图形中含有等腰三角形或平行四边形等已知条件时 往往采用等线段转化 当图形中含有多组相似三角形时 往往采用 中间比 进行转化 例1如图27 Z 15所示 在 ABC中 D为BC的中点 过点D任作一条直线交AC于点E 交BA的延长线于点F 求证 相关题1如图27 Z 16所示 以 ABC的边BC为直径作 O分别交AB AC于点F E AD BC于点D AD交 O于点M 交BE于点H 求证 DM2 DH DA 专题二分类讨论思想的应用 要点指导 如果被研究的问题包含多种情况 不能一概而论时 为了避免出现漏解 必须按可能出现的所有情况分别讨论 得出各种情况下相应的结论 这种解决问题的思想称为分类讨论思想 例2如图27 Z 17所示 在直角梯形ABCD中 A B 90 AD 2 BC 8 AB 10 在线段AB上取一点P 使 ADP与 BCP相似 求AP的长 相关题2如图27 Z 18 在 ABC中 AB 6cm AC 5cm 点D E分别在AB AC上 若 ADE与 ABC相似 且S ADE S四边形BCED 1 8 则AD cm 专题三数学建模思想 要点指导 数学建模是指将实际问题转化为数学模型的方法 在有关相似三角形的实际问题中 我们常建立相似三角形的数学模型 然后运用相似三角形的判定与性质来解答 例3如图27 Z 19所示 大江的一侧有A B两个工厂 它们到江边DE的距离分别为3km和2km 两厂与江边平行方向的距离为4km 现在要在江边建一个码头C 码头C到两厂之间修通公路 要使公路最短 费用最低 则码头C应建在哪里 解如图27 Z 19所示 B EC ADC 90 B CE ACD 设EC xkm 则DC 4 x km B E BE 2km 码头C应建在距离点E1 6km处 相关题2 今有邑 东西七里 南北九里 各开中门 出东门一十五里有木 问 出南门几何步而见木 这段话摘自 九章算术 意思是说 如图27 Z 20所示 矩形城池ABCD 东边城墙AB长9里 南边城墙AD长7里 东门点E 南门点F分别是AB AD的中点 EG AB FH AD EG 15里 HG经过点A 则FH 里 1 05 母题1 教材P34练习第3题 要制作两个形状相同的三角形框架 其中一个三角形框架的三边长分别为4cm 5cm和6cm 另一个三角形框架的一边长为2cm 它的另外两条边长应当是多少 你有几种制作方案 中考链接 考点 相似三角形的判定 考情 考查相似三角形的判定的常见题型有数相似三角形的个数 添加构成相似三角形的条件 计算相似三角形的边长 角度等 策略 有平行线 用平行线法 有一对等角 找 有两边成比例 找 有直角三角形 找 有等腰三角形 找 另一对等角 夹该角的两边成比例 夹角相等 第三边也成比例 有一对直角 一对锐角相等 斜边 直角边成比例 顶角相等 一对底角相等 底和腰对应成比例 链接1 张家界中考 在 ABC中 AB 8 AC 6 在 DEF中 DE 4 DF 3 要使 ABC与 DEF相似 则需添加的一个条件是 写出一种情况即可 A D或BC 2EF 链接2 佛山中考 如图27 Z 21所示 网格图中的每个方格都是边长为1的正方形 若A B C D E F都是格点 试说明 ABC DEF 解所以 ABC DEF 链接3 江西中考 如图27 Z 22所示 在 ABC中 AB 8 BC 4 AC 6 CD AB BD是 ABC的平分线 BD交AC于点E 求AE的长 解 BD为 ABC的平分线 ABD CBD AB CD D ABD D CBD BC CD BC 4 CD 4 AB CD ABE CDE AE 2CE AC 6 AE CE AE 4 母题2 教材P43习题27 2第12题 如图27 Z 23所示 平行于BC的直线DE把 ABC分成面积相等的两部分 试确定点D 或E 的位置 考点 相似三角形的性质 考情 考查相似三角形对应线段的比 周长比 面积比与相似比的关系 策略 相似三角形对应线段 中线 高 角平分线 的比等于相似比 周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方 链接4 黔西南州中考 如图27 Z 24所示 在 ABC中 点D在AB上 BD 2AD DE BC交AC于点E 则下列结论中不正确的是 D 分析 BD 2AD AB 3AD DE BC BC 3DE 故A选项正确 DE BC 故B选项正确 DE BC ADE ABC 故C选项正确 DE BC AB 3AD S ADE S ABC 故D选项错误 链接5 荆门中考 如图27 Z 25 四边形ABCD为平行四边形 E F为CD边的两个三等分点 连接AF BE交于点G 则S EFG S ABG A 1 3B 3 1C 1 9D 9 1 C 分析 四边形ABCD是平行四边形 CD AB CD AB EFG BAG DE EF FC EF AB 1 3 母题3 教材P41练习第2题 如图27 Z 26所示 测得BD 120m DC 60m EC 50m 求河宽AB 考点 相似三角形的判定与性质的实际应用 考情 利用相似三角形的判定与性质解决生活实际问题 单独考查时多以选择题 填空题的形式出现 有时也在解答题中出现 策略 建立相似三角形模型 利用相似三角形的判定定理判定两三角形相似 再根据对应角相等或对应边成比例求解 链接6 陕西中考 周末 小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽 测量时 他们选择了河对岸岸边的一棵大树 将其底部作为点A 在他们所在的岸边选择了点B 使得AB与河岸垂直 并在B点竖起标杆BC 再在AB的延长线上选择点D 竖起标杆DE 使得点E与点C A共线 已知 BC AD DE AD 测得BC 1m DE 1 5m BD 8 5m 测量示意图如图27 Z 27所示 请根据相关测量信息 求河宽AB 解 BC AD DE AD BC DE ABC ADE 即解得AB 17 经检验 AB 17是原分式方程的解且符合题意 答 河宽AB为17m 链接7 衡阳中考 如图27 Z 28所示 已知零件的外径为25mm 现用一个交叉卡钳 两条尺长AC和BD相等 OC OD 量零件的内孔直径AB 若OC OA 1 2 量得CD 10mm 则零件的厚度x mm 2 5 分析由题意 得 AOB COD CD AB OC OA 即10 AB 1 2 AB 20 mm x 25 20 2 5 mm 母题4 教材P50练习第1题 如图27 Z 29所示 把 AOB缩小后得到 COD 求 COD与 AOB的相似比 考点 位似考情 求位似图形的相似比或求位似图形中点的坐标或画位似图形 策略 1 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 2 在平面直角坐标系中 如果以原点为位似中心 新图形与原图形的相似比为k 那么与原图形上的点 x y 对应的位似图形上的点的坐标为 kx ky 或 kx ky 链接8 成都中考 如图27 Z 30 四边形ABCD和四边形A B C D 是以点O为位似中心的位似图形 若OA OA 2 3 则四边形ABCD与四边形A B C D 的面积比为 A 4 9B 2 9C 2 3 A 分析 四边形ABCD和四边形A B C D 是以点O为位似中心的位似图形 OA OA 2 3 DA DA OA OA 2 3 四边形ABCD与四边形A B C D 的面积比为 故选A 链接9 潍坊中考 如在平面直角坐标系中 P m n 是线段AB上一点 以原点O为位似中心把 AOB放大到原来的两倍 则点P的对应点的坐标为 A 2m 2n B 2m 2n 或 2m 2n A 分析P m n 是线段AB上一点 以原点O为位似中心把 AOB放大到原来的两倍 则点P的对应点的坐标为 m 2 n 2 或 m 2 n 2 即 2m 2n 或 2m 2n 故选B 链接10 眉山中考 已知 如图27 Z 31所示 ABC三个顶点的坐标分别为A 0 3 B 3 2 C 2 4 正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度 1 画出 ABC向上平移6个单位长度得到的 A1B1C1 2 以点C为位似中心 在网格中画出 A2B2C2 使 A2B2C2与 ABC位似 且 A2B2C2与 ABC的位似比为2 1 并直接写出点A2的坐标 解 1 如图27 Z 32所示 A1B1C1即为所求 2 如图27 Z 32所示 A2B2C2即为所求 点A2的坐标为 2 2 母题5 教材P44习题27 2第14题 如图27 Z 33所示 在 ABC中 AB 8 AC 6 BC 9 如果动点D以每秒2个单位长度的速度 从点B出发沿边BA向点A运动 此时直线DE BC 交AC于点E 记x秒时DE的长度为y 写出y关于x的函数解析式 并画出它的图像 考点 相似三角形的判定与性质 函数的基本知识 考情 动态几何即用运动的观点解决几何问题 相似三角形与函数的综合运用 策略 数形结合思想的运用 融代数与几何为一体 把代数问题与几何问题相互转化 充分运用相似与函数的知识解决问题 运用几何知识求解析式是解题的关键 与二次函数结合时 往往涉及最大面积 最小距离等问题 解题时需要建立函数关系 运用函数的性质求解 链接11 汕头中考 如图27 Z 34 所示 ABC与 EFD均为等腰直角三角形 AC与DE重合 AB EF 9 BAC DEF 90 固定 ABC 将 EFD绕点A顺时针旋转 当DF边与AB边重合时 旋转终止 不考虑旋转开始和结束时重合的情况 设DE DF 或它们的延长线 分别交BC 或它的延长线 于点G H 如图27 Z 34 所示 1 始终与 AGC相似的三角形有 及 2 设CG x BH y 求y关于x的函数解析式 只要求根据图 的情况说明理由 3 当x为何值时 AGH是等腰三角形 解 1 HGA HAB 2 由 1 可知 AGC HAB 3 当CG BC时 GAC H HAG AG GH 又 AH AG AH GH 此时 AGH不可能是等腰三角形 当CG BC时 G为BC的中点 点H与点C重合 AGH是等腰三角形 此时 GC BC 当CG BC时 由 1 可知 AGC HGA 若 AGH是等腰三角形 只可能存在AG AH 若AG AH 则AC CG 此时 x 9 综上所述 当x的值为或9时 AGH是等腰三角形