高中数学解三角形方法大全

解三角形1解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。以下若无特殊说明，均设的三个内角的对边分别为，则有以下关系成立：（1）边的关系：，（或满足：两条较短的边长之和大于较长边）（2）角的关系：， ， （3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形板块一：正弦定理及其应用1正弦定理：，其中为的外接圆半径 2正弦定理适用于两类解三角形问题：（1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边；（2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解的可能），再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边【例1】考查正弦定理的应用 （1）中，若，则_； （2）中，若，则_； （3）中，若，则_； （4）中，若，则的最大值为_。总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在中，已知、 （1）若为钝角或直角，则当时，有唯一解；否则无解。（2）若为锐角，则当时，三角形无解； 当时，三角形有唯一解； 当时，三角形有两解； 当时，三角形有唯一解实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式1余弦定理：在中，角的对边分别为，则有 余弦定理： ， 其变式为：2余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题：（1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角；（2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角；说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决3三角形的面积公式（1） （、分别表示、上的高）；（2）（3） （为外接圆半径）（4）；（5） 其中（6）（是内切圆的半径，是三角形的周长）【例】考查余弦定理的基本应用（1）在中，若，求；（2）在中，若，求边上的高；（3）在中，若，求【例】（1）在中，若，则中最大角的余弦值为_（2）（10上海理）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则（ ） A不能作出这样的三角形 B作出一个锐角三角形 C作出一个直角三角形 D作出一个钝角三角形（3）以为三边组成一个锐角三角形，则的取值范围为_【例】考查正余弦定理的灵活使用（1）在中，若，其面积，则_（2）在中，若，则_（3）（07天津理）在中，若，则_（4）（10江苏）在锐角中，若，则_【例】判断满足下列条件的三角形形状 （1）； （2）； （3）； （4）； （5），板块三：解三角形综合问题【例】（09全国2）在中，角的对边分别为、，求【例】（11西城一模）在中，角的对边分别为，且， （1）当时，求角的度数； （2）求面积的最大值【例】在中，求的值和的面积【例】在中，角的对边分别为，已知，（1）若的面积等于，求；（2）若，求的面积【例5】（09江西理）在中，角的对边分别为，且，（1）求 （2）若，求【例】（09安徽理）在中，, （1）求的值； （2）设，求的面积 【例】（10辽宁理）在中，角的对边分别为，且 （1）求的大小； （2）求的最大值 【例】在中，角的对边分别为， （1）求的大小； （2）求的范围【例】（11全国2）设的内角的对边分别为，已知，求【江西理】在中，角的对边分别是，已知（1）求的值； （2）若，求边的值【11江西文】在中，角的对边分别是，已知（1）求的值； （2）若，求边的值9