高中数学必修五求数列通项公式2附经典例题和详细答案

数列专项 3 类型 构造数列法 形如 其中 均为常数且 型的递推式 qpann 1 p0p 1 若 时 数列 为等差数列 n 2 若 时 数列 为等比数列 0 3 若 且 时 数列 为线性递推数列 其通项可通过待定系数法构造等p qna 比数列来求 方法有如下两种 法一 设 展开移项整理得 与题设1 nna 1 1 nnap 比较系数 待定系数法 得1npq 即1 0 1nnqqapa 1 nnqqapa 构成以 为首项 以 为公比的等比数列 再利用等比数列的通项公1nqap 1 式求出 的通项整理可得n na 法二 由 得 两式相减并整理得 即qpann 11 2 npq 1 nap 构成以 为首项 以 为公比的等比数列 求出 的通项再转化 1na21 为类型 累加法 便可求出 n 例 10 在数列 中 且 求数列 的通项公式 n31 nana 例 11 在数列 中 且 求数列 的通项公式 1 a2 形如 型的递推式 1 nnapf 当 为一次函数类型 即等差数列 时 f 法一 设 通过待定系数法确定 的值 转 1 nnABaAB AB 化成以 为首项 以 为公比的等比数列 再利用等比数列的通项1a p na 公式求出 的通项整理可得 n n 法二 当 的公差为 时 由递推式得 fnd1 nnapf 两式相减得 令 得 1nap 1 nd 1nnba 转化为类型 求出 再用类型 累加法 便可求出bdb 例 12 在数列 中 且 求数列 的通项公式 n21 a2431 ann 当 为指数函数类型 即等比数列 时 f 法一 设 通过待定系数法确定 的值 转化成以 1 nnafpaf 为首项 以 为公比的等比数列 再利用等比数列的通项公式求1 f naf 出 的通项整理可得 n n 法二 当 的公比为 时 由递推式得 fq1 nnpf 两边同时乘以 得 由 两式相1nap aq 减得 即 在转化为类型 便可求出11 nnqa 1np na 法三 递推公式为 其中 p q 均为常数 或 其中nnp 1 1nnaprq p q r 均为常数 时 要先在原递推公式两边同时除以 得 1nann11 引入辅助数列 其中 得 再应用类型 的方法解决 nbnqa qbpnn1 例 13 在数列 中 且 求数列 的通项公式 a2123a 当 为任意数列时 可用通法 fn 在 两边同时除以 可得到 令 则1 nnapf 1np 11 nnafp nabp 在转化为类型 累加法 求出 之后得 11nnfb nbn 例 14 在数列 中 且 求数列 的通项公式 a2 ann 31 na 类型 对数变换法 形如 型的递推式 1 0 qnnapa 在原递推式 两边取对数得 令 得 1q 1lglgnnaqp lgnba 化归为 型 求出 之后得 注意 底数不一1lgnbq pn 1b10 定要取 10 可根据题意选择 例 15 已知数列 满足 求数列 的通项公式 an513nna 71na 例 16 已知数列 满足 求数列 的通项公式 52n 1 类型 倒数变换法 形如 为常数且 的递推式 两边同除于 转化为11nnapa 0p 1na 形式 化归为 型求出 的表达式 再求 1n qann 11nan 还有形如 的递推式 也可采用取倒数方法转化成 形式 化归nnmapq 1nnmqap 为 型求出 的表达式 再求 a1nn 例 17 已知数列 满足 求数列 的通项 a31 2 11 aann n 公式 例 18 已知数列 满足 求数列 的通项公式 n11 nan 类型 形如 型的递推式 nnqpa 12 法一 用待定系数法 化为特殊数列 的形式求解 方法为 设 1 na 比较系数得 可解得 于是 112nnkhka qhkp hk 是公比为 的等比数列 这样就化归为 型 nn 1 法二 可用特征方程的方法求解 我们称方程 x 2 Ax B 0 为数列的特征方程 i 当方程有两个相异的实根 或虚根 p q 时 有 其中nnnqcpa 21 c1 与 c2 由已知的 a1 a 2 确定 ii 当方程有唯一的实根 p 时 有 其中 c1 与 c2 由已知的 a1 a2nnpca 21 确定 例 19 已知 求 的通项公式 nna 1221 3a 例 20 已知 求 的通项公式 na 类型 IX 不动点法 为了求出递推数列 的通项 我们先给出如下两个定义 dtc btnn 1 定义 1 若数列 满足 则称 为数列 的特征函数 nt 1f xfnt 定义 2 方程 x 称为函数 的不动点方程 其根称为函数 的不动点 xfx xf 下面分两种情况给出递推数列 通项的求解通法 dtc batnn 1 1 当 c 0 时 由 dtc batnn 1 btatnn 1 记 则有 k 0 kdctktnn 1 数列 的特征函数为 kx c nt xf 由 kx c x x 则kc 1ctktnn 1 1 1kctkctnn 数列 是公比为 k 的等比数列 tn 11 nckc 11 nkctkt 2 当 c 0 时 数列 的特征函数为 nt xfdcba 由 xdcba 0 2 dc 设方程 的两根为 x1 x2 则有 2 ba 011xcx 0 2badcx 1 12 1xadcxb 2 22 又设 其中 n N k 为待定常数 2121xtkxtnn 由 2121xtkxtnn 2121xtkxdtcbatnnn 3 2121tkdxtcbat nnn 将 1 2 式代入 3 式得 212211 xtkaxtcxt nnn 212211 ttann 21cxak 数列 是公比为 易证 的等比数列 21xtn 21cxa021 21tn2121 nt 1221122121 nnncxattxt 例 21 已知数列 a n 中 a 1 3 求 a n 的通项 1241 na 例 22 已知数列 a n 中 a 1 2 求 a n 的通项 31 n 总之 求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解 对不能转化为以上方 法求解的数列 可用归纳 猜想 证明方法求出数列通项公式 na 答案详解 例 10 13 Nnan 例 11 92 n 例 12 3 Nnann 例 13 2 41 例 14 43 Nnann 例 15 7151 nn 例 16 234 15651 Nann 例 17 Nn 例 18 231 an 例 19 Nn 例 20 1 na 例 21 321 Nnn 例 22 an 数列专项 3 巩固习题 一 选择填空 1 2010 全国卷 2 6 如果等差数列 na中 3 4 5a 12 那么1a 2 7a A 14 B 21 C 28 D 35 2 2010 安徽 5 设数列 na的前 n 项和 2nS 则 8a的值为 A 15 B 16 C 49 D 64 3 2011 年高考四川 数列 n的首项为 3 nb 为等差数列且1 nnbaN 若则 32b 10 则 8a A 0 B 3 C 8 D 11 4 2011 年高考全国卷设 nS为等差数列 n的前 项和 若 1 公差 2d 则 k A 8 B 7 C 6 D 5242 kkS 5 2009 广 东 卷 理 已知等比数列 na满足 0 2 n 且5 3 na 则当 1n时 21231logllogna A 1 B C D 2 1 6 2009 陕西卷 设等差数列 na的前 n 项和为 ns 若 632s 则 n 7 2011 广东卷 等差数 列 前 9 项的和等于前 4 项的和 若 140ka 则 k 8 1 31 aan 则其通项为 9 2009 宁夏海南卷理 等差数列 na 前 n 项和为 nS 已知 1ma 2m 0 21mS 38 则 m 10 重庆卷理 设 12a 1na 21nba N 则数列 nb的通 项公式 nb 二 解答题 二 解答题 11 等差数列 na是递增数列 前 n 项和为 nS 且 931 a成等比数列 25S 求数列 的通项公式 12 已知数列 na的前 项和 nS满足 1 2 nan 求数列 n 的通项公式 13 已知数列 n满足 113nna 求数列 na的通项公式 14 已知数列 na满足 112 5nna 求数列 n的通项公式 15 已知数列 n满足 1136nna 求数列 na的通项公式 16 知数列 na满足 1 1228 89n 求数列 n的通项公式 17 已知数列 na满足 1 1 42 6nnnaa 求数列 na的通项公 式 18 已知数列 na满足 117223na 求数列 na的通项公式 答案详解 1 答案 C 解析 本题考查了数列的基础知识 34512a 4a127174 28aa 2 答案 A 解析 87695S 方法技巧 直接根据 1 2 nnaS 即可得出结论 3 答案 B 解析 由已知知 128 8 nnb 由叠加法2137 81 64204603aaaa 4 答案 D 解析 2211 kkSkdakd 1 ad 425 故选 D 5 解析 由 253n 得 na2 0 则 n2 3212logl 12 1 logn 选 C 6 解析 由 6as 可得 的公差 d 2 首项 2 故易得 na 2n 答案 2n 7 答案 10 解析 由题得 106031 2 489 kddk 8 解 取倒数 11 nnnaa n1 是等差数列 3 1 n 3 21 na 9 解析由 1ma 2m 0 得到 122210 13810mmaSa 又 答案 10 10 解析 由条件得 11 221nnnnaabb 且 14 所以数列 nb是 首项为 4 公比为 2 的等比数列 则 142nb 11 解 设数列 na公差为 0 d 931 成等比数列 9123a 即 8 12d 0 25aS 211 4 25d 由 得 31 d nn5 5 点评 利用定义法求数列通项时要注意不用错定义 设法求出首项与公差 公比 后再写出通项 12 解 由 1211 aSa 当 n时 有 1 2 21 nnnnaS 1 21nn 1221 nna 1 2 332 2 11 nnn 经验证 a也满足上式 所以 1 2 3 nna 13 解 由 121nn 得 nn 则32112211 333 33nnnnnaaaan 所以 1 na 14 解 因为 112 53nna 所以 0na 则 12 5nn 故132122211 1 1 1 2 5 5 5 333 nnnnna 所以数列 na的通项公式为 1 235 nna 15 解 设 1152 nxx 将 123nna 代入 式 得 13525n nnaxax 等式两边消去 得 1525nx 两边除以 得 1 则 代入 式得1 nn 由 1560a 及 式得 50na 则 152na 则数列 5 na 是以1 为首项 以 2 为公比的等比数列 则 1n 故 1n 16 解 由 1228 1 3nna 及 189a 得21223422 458183 3 9401a 由此可猜测 2 1 na 往下用数学归纳法证明这个结论 1 当 时 21 89 所以等式成立 2 假设当 nk 时等式成立 即 2 1 ka 则当 1nk 时 1228 1 3kak 222222 222 1 38 1 1 3 1 kkkk 由此可知 当 1nk 时等式也成立 根据 1 2 可知 等式对任何 nN 都成立 17 解 令 14nnba 则 21 4nb 故 211 nna 代入 14 6nnna 得221 4 46nnnbb 即 221 3 n 因为 40nnba 故 11240nnba 则 123n 即 13nn 可化为 1 2nnb 所以 3 n是以 11432413a 为首项 以 21为公比的等比数 列 因此 2 nnb 则 nb 即 4 3na 得2 343nna 18 解 令 72x 得 240 x 则 1x是函数 31 47xf 的不动点 因为 1513nnna 所以2 34nna 评注 本题解题的关键是通过将 124na 的换元为 nb 使得所给递推关系式转化12nnb 形式 从而可知数列 3 b 为等比数列 进而求出数列 3 nb 的通项公 式 最后再求出数列 na的通项公式