奥数数论基础知识

奥数数论基础知识一 质数和合数（1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。（2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。（3）最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数；最小的合数是4。（4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数 。互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（和），可能是一个质数和一个合数（和），可能是两个合数（和）或1与另一个自然数。（）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。（）以内的质数有个：、二 整除性（）概念一般地，如a、b、c为整数，b0，且ab=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作ba.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a。如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。（）性质性质1：（整除的加减性）如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。即：如果ca，cb，那么c（ab）。例如：如果210，26，那么2（106），并且2（106）。也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bca，那么ba，ca。性质3：（整除的互质可积性）如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。即：如果ba，ca，且（b，c）=1，那么bca。例如：如果228，728，且（2，7）=1,那么（27）28。性质4：（整除的传递性）如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果cb，ba，那么ca。例如：如果39，927，那么327。（）数的整除特征能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.能被5整除的数的特征：个位是0或5。突破口能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。判断能被3（或9）整除的数还可以用“弃（或）法”：例如：能被整除么？解：，在数字中只剩，不是的倍数，所以不能被整除。能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除，依此反复检验。例如：判断3546725能否被13整除？解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为8212819，又13819，所以132821，进而133546725.上述办法也可以用来判断余数和末位数；对于其他的数，可以将其分解成上述几个互质的数的乘积，再逐个考虑。三 约数与倍数（）公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：是和的最大公约数，可记做：（，）（）公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：36是12和18的最小公倍数，记作12，18=36。（）最大公约数和最小公倍数的关系如果用a和b表示两个自然数、那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是：（a，b）a，b=ab。（多用于求最小公倍数）、（a，b）a，ba，b、a，b是（a，b）的倍数，（a，b）是a，b的约数、（a，b）是ab和ab的约数，也是（a，b）a，b和（a，b）a，b的约数（）求最大公约数的方法很多，主要推荐：短除法、分解质因数法、辗转相除法。例如：、（短除法）用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？解： （30，60，75）=53=15这个数最大是15。、（分解质因数法）求和的最大公约数是多少？解：（这个质分解常用到），所以最大公约数是在这种方法中，先将数进行质分解，而后取它们“所有共有的质因数之积”便是最大公约数。、（辗转相除法）用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。解：4811=21981+849，1981=2849+283，849=3283，（4811，1981）=283。补充说明：如果要求三个或更多的数的最大公约数，可以先求其中任意两个数的最大公约数，再求这个公约数与另外一个数的最大公约数，这样求下去，直至求得最后结果。（）约数个数公式一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积。例如：求240的约数的个数。解：240243151，240的约数的个数是（41）（1+1）（11）=20，240有20个约数。四 奇偶性（1）奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。最小的奇数是，最小的偶数是（2）奇数与偶数的运算性质性质1：偶数偶数=偶数，奇数奇数=偶数。性质2：偶数奇数=奇数。性质3：偶数个奇数相加得偶数。性质4：奇数个奇数相加得奇数。性质5：偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数。偶数偶数=偶数（）反证法例：桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”.要使9只杯子口全朝下，必须经过9个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.但是，按规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种说法正确，再利用假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可能成立的结论，从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。