高二空间几何体练习题

立体几何练习题 1在直四棱住中，底面是边长为的正方形，、分别是棱、的中点. ()求证：平面平面; ()求证： FEABDCG面.2如图，正方体的棱长为2，E为AB的中点(1)求证： （2）求点B到平面的距离.3.如图所示，在三棱柱中，平面，ABCA1B1C1D（）求三棱锥的体积；（）若是棱的中点，棱的中点为，证明: 4如图，在棱长均为2的三棱柱中，设侧面四边形的两对角线相交于，若平面，.(1) 求证：平面； (2) 求三棱锥的体积.5.如图，在体积为1的三棱柱中，侧棱底面， ，E为线段上的动点.（）求证： CA1C1E；（2）线段上是否存在一点E，使四面体E-AB1C1的体积为？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由.6已知三棱柱ABCA1B1C1的直观图和三视图如图所示，其主视图BB1A1A和侧视图A1ACC1均为矩形，其中AA1=4。俯视图A1B1C1中，B1C1=4，A1C1=3，A1B1=5，D是AB的中点。（1）求证：ACBC1；（2）求证：AC1平面CDB1；（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值。7.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点。（）求证：（）求证：8 如图，在四棱锥中，ABCD是矩形， 点是的中点，点在上移动。（1） 求三棱锥体积；（2） 当点为的中点时，试判断与平面的关系，并说明理由；（3） 求证：9如图所示，四棱锥中，底面为正方形，平面，分别为、的中点 （1）求证：PA/平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积图610如图6，已知四棱锥中，平面， 是直角梯形，=90，（1）求证：；（2）在线段上是否存在一点，使/平面， 若存在，指出点的位置并加以证明；若不存在，请说明理由 11.EAFCB图(1)EFCB图(2)12如图所示是一个几何体的直观图、 正视图、俯视图和侧视图C尺寸如图 所示）。（）求四棱锥的体积；（）若上的动点，求证：。（19题图）13如图，四边形为矩形，平面,，平面于点，且点在上.（）求证：；（）求三棱锥的体积；（）设点在线段上，且满足，试在线段上确定一点，使得平面.俯视图正视图侧视图14已知四棱柱的三视图如图所示.（1）画出此四棱柱的直观图，并求出四棱柱的 体积；（2）若为上一点，平面，试确定点位置，并证明平面15.如图是以正方形为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形为截面，且，（）证明：截面四边形是菱形；（）求三棱锥的体积16正方形ABCD中，AB=2，E是AB边的中点，F是BC边上一点，将AED及DCF折起(如下图)，使A、C点重合于A点 (1)证明：ADEF； (2)当BF=BC时，求三棱锥A一EFD的体积 17、已知四棱锥的三视图如下图所示，是侧棱上的动点.(1) 求四棱锥的体积；ABCDPE(2) 是否不论点在何位置，都有？证明你的结论；(3) 若点为的中点，求二面角的大小.ABCDEF18、如图，已知平面，平面，为等边三角形， ，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求证：平面平面；(3) 求直线和平面所成角的正弦值.19、如图，四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC底面ABCD，E为PC的中点。（I）求异面直线PA与DE所成的角；（II）求点D到面PAB的距离.20如图，在三棱锥ABCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD，BDCD1，另一个侧面是正三角形（1）求证：ADBC（2）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30角？若存在确定E的位置；若不存在，说明理由。立体几何参考答案FEABDCG1. 证明:()分别是棱中点四边形为平行四边形又平面3分又是棱的中点又平面5分又平面平面6分() ,同理9分面 又,又,面,面 面12分2. （1）连接BD，由已知有、得 又由ABCD是正方形，得：、 与相交，（2） 又 点E到的距离，有： ， 又由 ， 设点B到平面的距离为，则 ， 有， 所以点B到平面的距离为3. 【解】在中，四边形为正方形 -6分（）当点为棱的中点时，平面-8分证明如下： 如图，取的中点，连、，、分别为、的中点， 平面，平面，平面 -10分同理可证平面，平面平面平面，平面 -12分4. （1）证明：平面，而AO平面 2分,，而BCFE为菱形，则为中点，, 且平面.6分（2）, 平面点、到面的距离相等 8分 ，AO=AO AOEAOB，得OE=OB ，即EC=FB，而BCFE为菱形，则BCFE是正方形， 计算得AO=，的面积等于正方形BCFE的一半， 12分因此 14分5. 解：（）证明：连结， 侧棱底面ABC，又.平面.又平面， . （3分）， 四边形为正方形， .， 平面 . （5分）又平面，. （6分）（）设在线段上存在一点，使.， . （7分）又且平面，由，知，解得，存在的中点，使 . （12分）6. 解：（1）证明：因为主视图和侧视图均为矩形，所以该三棱柱为直三棱柱1分又俯视图中A1C1=3，B1C1=4，A1B1=5A1C12+B1C12=A1B12A1A1C1B1=ACB=90ACBC 又ACCC1，CC1BC=CAAC平面BCC1B1 又BC1平面BCC1B1ACBC1 4分（2）证明：设CB1与C1B的交点为E，连结DED是AB的中点，E是BC1的中点 DEAC1 又DE平面CDB1，AC1平面CDB1AC1平面CDB1 8分（3）DEAC1 CED为AC1与B1C所成的角在CED中 ED=AC1=，CD=AB= CE=CB1=cosCED=异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为。12分7. 又 （2）连结交于点，并连结 四边形为平行四边形 为的中点 又为的中点 在中EO为中位线， 128. 解：（1）， （2）当点为的中点时，。理由如下：点分别为、PD的中点，。， （3）， ， ， ，点是的中点 又 ABCDdEFGPABCDEFGPH9. 解（1）证法1：如图，取的中点，连接1分分别为的中点， 2分分别为的中点，四点共面 4分分别为的中点， 平面，平面，平面 6分 （2）解：平面，平面， 为正方形， ，平面 10分（3），14分10. 解：（1） 平面，平面， ， 平面， 平面， （2）取线段的中点，的中点，连结,则是中位线， ， 四边形是平行四边形， 10分 平面，平面， 平面 线段的中点是符合题意要求的点11. 解:12.解：（I）由几何体的三视图可知，低面ABCD是边长为4的正方形，且, （）连， ， 10分又13. 解：（）证明：由平面及得平面，则 而平面，则，又，则平面， 又平面，故。（）在中，过点作于点，则平面.由已知及（）得.故()在中过点作交于点，在中过点作交于点，连接，则由得 由平面平面，则平面再由得平面，又平面，则平面. 故当点为线段上靠近点的一个三等分点时，平面.14. （本小题主要考查空间中线面关系，空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力）（1）（参考右下图图略）；（3分）（6分）（2）作交于，连，则共面平面，又，为平行四边形.，为的中点. （10分）在矩形中， 又，平面，平面， 平面. （14分）15. 解：（）证明：因为平面平面，且平面分别交平面、平面于直线、，所以 同理，因此，四边形为平行四边形（1） 因为，而为在底面上的射影，所以4分因为，所以因此，（2） 由（1）、（2）可知：四边形是菱形；6分（II）因为平面，所以到平面的距离为 于是，由等体积法得所求体积12分16. (1)证明：ADAE，AD AF, ,AD平面AEF ADEF5 (2 J解:AD平面AEFAD是三棱锥D-AEF的高7 又由BE=1,BF=推出EF=,可得 1217、解：(1) 由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且.，即四棱锥的体积为.4分(2) 不论点在何位置，都有. 5分证明如下：连结，是正方形，.6分底面，且平面，.7分又，平面.8分不论点在何位置，都有平面. 不论点在何位置，都有.9分(3) 解：在平面内过点作于，连结.ABCDPEF，RtRt，从而，.为二面角的平面角.12分在Rt中，又，在中，由余弦定理得，13分，即二面角的大小为.14分18、(1) 证法一：取的中点，连.为的中点，且. 1分平面，平面，.2分ABCDEFMHG又，. 四边形为平行四边形，则.4分 平面，平面，平面. 5分证法二：取的中点，连.为的中点，.1分平面，平面，.2分又，四边形为平行四边形，则. 3分平面，平面，平面，平面.又，平面平面.4分 平面，平面. 5分(2) 证：为等边三角形，为的中点，.6分平面，平面，.7分又，故平面.，平面. 9分平面，平面平面. 10分(3) 解：在平面内，过作于，连. 平面平面， 平面.为和平面所成的角.12分设，则， ，R t中，.直线和平面所成角的正弦值为.14分19、【解】（1）解法一：连结AC，BD交于点O，连结EO.四边形ABCD为正方形，AO=CO，又PE=EC，PAEO，DEO为异面直线PA与DE所成的角3分面PCD面ABCD，ADCD，AD面PCD，ADPD.在RtPAD中，PD=AD=a，则，异面直线PA与DE的夹角为6分（2）取DC的中点M，AB的中点N，连PM、MN、PN. D到面PAB的距离等于点M到面PAB的距离.7分过M作MHPN于H，面PDC面ABCD，PMDC，PM面ABCD，PMAB，又ABMN，PMMN=M，AB面PMN. 面PAB面PMN，MH面PAB，则MH就是点D到面PAB的距离.10分在12分20、【解】 (1):作面于,连取的中点,连、,则有 6分(2)设为所求的点,作于,连.则7分就是与面所成的角,则.8分设,易得10分解得故线段上存在点,且时,与面成角.12分