第二十三章--流行上微积分学

数学分析/dcb0e0e7c6360bbbb062d94e29041156.pdf第二十三章 流行上微积分学【教学目的】1.理解和掌握向量函数、向量函数的极限、连续和一致连续等的概念，掌握有界闭区间上连续向量函数的性质； 2、理解向量函数的可微、隐向量函数和反向量函数的概念，掌握他们可微的条件，会求向量函数、隐向量函数、反向量函数及复合向量函数的导数；3、用向量作为工具研究函数极值；4、掌握外积、基本微分形式、以及微分形式外微分的概念及运算，能用外积为工具来理解证明一些多重积分的变量替换公式【教学重点】向量函数的极限、连续与微分【教学难点】复合向量函数、隐函数和反向量函数的求导讨论【教学时数】14学时1 n维欧氏空间与向量函数一、维欧氏空间1.n维向量空间：所有n个有序数组（ ）的全体.2.n维欧氏空间 ：定义了内积的n维向量空间.3. 中的距离 ： = .4. n维球形邻域 ： = 表示以 为中心，半径为 的n维球形邻域.5. 超平面：点集 当3时，称它为中的一个超平面.定理23.1 设 ，则 为收敛点列的充要条件是：任给 ，存在 ，当 时，对一切正整数 都有（证明从略）二、向量函数1. 向量函数：若 是 的一个子集，对每一个 ，都有唯一的一个 ，使 ，则称 为 到 的向量函数（也简称函数或称映射），记作 或简单地记作 ，其中， 称为函数的定义域.2. 原象：在映射的意义下， 在 下的象为 在 下的象集为 称为 的原象.3. 一一映射：设 ，若对任何 ，只要 就有 ，则称 为 到 的一一映射（或称为单射）.三、向量函数的极限和连续1. 设 是 的聚点， ： 若存在 ，对于 的任意小的邻域 ，总有 的空心邻域 ，则称在集合 上当 时， 以 为极限，记作不致混淆的情况下，或 时，简称 时 以 为极限，并记作 2. 设 ， ： 若对任何 ， 使得 则称 在点 （关于集合 ）连续.如果 在 上每一点都连续，则称 为 上的连续函数.定理23.2 设 若 在点 连续， 在点 连续，则按（6）（7）（8）定义的向量函数 都在点 连续.定理23.3 函数 ： 在点 连续的充要条件为：任何点列 收敛于 时， 都收敛于 .定理23.4 若 是有界闭集， 为 上的连续函数，则 也是有界闭集.定理23.5 若 是有界闭集， 为 上的连续函数，则 直径可达，即存在 ，使得 .定理23.6 若 是有界闭集， 为 上的连续函数，则 在 上一致连续.即任给 ，存在只依赖于 的 ，只要 且 ，就有.定理23.7 若 是道路连通集， 为 上的连续函数，则 也是道路连通集.- 3 -