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注册电工程师高等数学公式向量及其线型运算：交换律abba，结合律：(ab) ca（bc），bab（a），|ab|a|b|，|a-b|a|b|，|a |a|，定理：设向量a0，那么，向量b和向量a平行的充分必要条件是：存在唯一的实数，是ba。a=()i()j()k或a。|a|Cosa，|a|Cosb，|a|Cosc，|a|，CoaCobCoc1。数量积：设向量a与向量b的夹角为（1），向量a和向量b的数量积是一个数量记做a.b，其大小为|a|b| Cos 即：ab|a|b|Cos。向量a在轴u上的投影（Prb）等于向量a的模乘以轴和向量a的夹角的余弦，即（Prb）|a|Cos。数量积等于：ab|a|（Prb）|b|（Pra），交换：abba 分配：(ab) cabac结合：(a) b（ab），为实数。向量积：ab即C=ab |c|ab|a|b| Sin|()i+()j+()|，c的方向垂直a与b所决定的平面。a，b。 ab。ab，。向量a和向量b平行的充分必要条件是ab0。baab。平面平面点法式方程：设平面过点（，），它的法向量nA,B,C,则平面的方程为A(x)B(y) c(z)0平面的一般方程Ax+By+Cz+D0， n是该平面的法向量。截距式方程：1，a、b、c依次称为平面在x、y、z轴上的截距。两平面的夹角（锐角）：平面方程分别为Ax+By+Cz+D0，Ax+By+Cz+D0，则夹角Cos=,平面1垂直平面条件2：+=0。平面1平行平面2条件：。空间1点（，）到平面Ax+By+Cz+D0距离：d直线空间直线的一般方程：空间直线是平面1：xy+z=0.和平面2xy+z=0的交线，则直线L的方程为：xy+z=0和2xy+z=0直线的对称式方程：设直线L过点（，）,它的一个方向向量为s，则直线L的方程：。直线参数方程：t，则1： xmt 2：ynt 3：zpt。两直线夹角（锐角）：L1方程：， L2方程：，则L1、L2的夹角Cos。L1垂直L2：+=0。L1平行L2：。直线和平面夹角：直线方程，平面方程Ax+By+Cz+D0则直线和平面的夹角Sin，直线垂直平面，直线平行平面：AmBn+Cp=0。柱面：已知旋转曲面的母线C的方程为f(y，z)0，x0。旋转轴为z轴，只要将母线的方程f(y，z)0中的y换成 ，便得曲线C绕Z轴旋转所成的旋转曲面方程即：f( ，z)0。椭圆柱面+1。双曲柱面：1。抛物柱面：xay。二次曲面.球面：(x-x)+(y-y)+(z-z)R。圆锥面：+z。椭圆锥面：+z（ab）。椭球面：+1。椭球抛物面：+z，+z。双曲抛物面：z。单叶双曲面：+1。双叶双曲面：1。微分学 函数左右极限：当函数f（x）当x时的极限存在的充分必要条件时函数的左右极限均存在且相等，即f（）f（）极限1 ，e2.71828无穷小比较：0 则是比高阶无穷小（是比低阶无穷小），c 则是比同阶无穷小，1 则是比等阶无穷小等阶无穷小性质：x0，xsinxtanx，1cosx/2,ln（1x）x，e1x， 1x/n。第一类间断点：X是f（x）的间断点，但f（）及f（）均存在。不是第一类间断点的就是第二类间断点。第一类间断电分为跳跃间断点和可去间断点，当f（x），f（x）都存在但不相等，为跳跃间断点。当f（）及f（）均存在且相等，为可去间断点。导数：可导必连续，连续不一定可导。yyf（xx），求导法则：（uv）uv(Cu) = Cu(uv)uv+ uv(u/v)=( uv- uv)/v。反函数的求导法则：原函数导数f（x）复合函数的求导法则：yf（u），u（x）。则dy/dx.或者y（x）f（u）（x）。隐函数yF（x）求导法则，dy/dxF(x)/ F(y)。参数方程求导法则。参数方程为x（t），y（t），dy/dx（dy/dt）/（dx/dt）（t）/（t）。常见n阶导数公式：，Sin（x+n），Cos（x+n），（1）(-n+1) ,=(-1)。高阶导数求导法则：（uv）uv。微分f（x）dy/dx。罗必塔法则：1：对于和：条件当xa（或x）时，f(x)0且F(x)0。条件f(x)及F(x)都存在，且F(x)0。存在（或为无穷大），则。其他尚有0、0、1、的未定式，均可以通过变形化为和的形势。函数性态判定.定理1：函数f(x)在点x可导，且在x处取得极值，那么f(x)0。函数的导数等于0的点为函数的驻点，函数的极值点是驻点,反之不成立。定理2：设函数f(x)在x处连续且可导，则f(x)在x左侧时f(x)0,则函数在x处取最小值。f(x)在x左侧时f(x)0，f(x)在x右侧时f(x)0,则函数在x处取最大值。若f(x)在x点左右邻域内正负号不发生变化，则在x没有极值。定理3：设函数f(x)在x处f(x)0，f(x)0，那么当f(x)0，函数在x处取最小值，图形呈凹形。拐点：连续函数yf(x)凹弧和凸弧的分界点。如果f(x)0或f(x)不存在，而f(x)在x的左右两侧邻近异号，则点（x，f (x)）就是曲线的一个拐点。偏导数，1：多元复合函数的求导法则，设u（x，y）、v（x、y）均具有偏导数，而zf（u，v），则复合函数zf（x，y），（x、y）的偏导数存在，且+，+。2：隐函数求导法则：设方程F(x、y、z)0确定一个隐函数zf（x，y），函数F(x、y、z)具有连续偏导数且F0，则有，。函数可微分的充分条件是函数具有连续偏导数。偏导数的应用.:空间曲线的切线和法平面：空间曲线x（t），y（t），z(t),在对应参数tt的点(x，y，z）处的切线方程，法平面方程+0。:曲面的切平面与法线：曲面1方程F(x、y、z)0在其上一点M（x、y、z）处的切平面方程为F（x,y,z）+ F（x,y,z）+ F（x,y,z）0，法线方程为。：方向导数与梯度：方向导数|f（x,y）Cos+ f（x,y）Cos。Cos、Cos为方向l的方向余弦。函数f（x，y）在点P（x,y）的梯度向量gradf（x,y）= f（x,y）i+ f（x,y）j。偏导数求多元函数的极值。1：定理1必要条件：设zf（x，y）在点（x,y）具有偏导数，则它在点（x,y）取得极值的必要条件f（x,y）f（x,y）0。2：定理2充分条件：设zf（x，y）在点（x,y）某邻域内具有二阶连续偏导数，且f（x,y）f（x,y）0 ，f（x,y）A, f（x,y）B,f（x,y）C,则有当AC-B0时,具有极值,且当A0时f（x,y）为极大值, 当A0时f（x,y）为极小值当AC-B0时,不是极值。定积分：f(x)dx=F(x),定积分性质：f(x)+g（x）dxkf(x)dxkf(x)dxf(x)dxf(x)dx+f(x)dx dxba若在区间a，b上f(x)g(x)，则f(x)dxg(x)dx|f(x)dx |f(x)dx，（ab）设M,m分别是f(x)在区间a，b上的最大最小值，则m(ba)f(x)dxM(ba)设在f(x)的闭区间a，b上连续，则存在a，b,使f(x)dxf()(b-a)。f(x)dxF(x)|F(b)F(a) 换元积分法 1：第一类换元法设函数f(u)有原函数，u（x）可导，则有f（x）（x）dxf（u）du。常用凑微分公式f(ax+b)dxf(ax+b)d(ax+b)f(x)xdxf(x)d(x), f()2f()d() f(lnx)dx/xf(lnx)dlnx f(e)d xf(e)d ef(Sinx)Cosxdxf(Sinx)dSinxf(Cosx)Sinxdxf(Cosx)dCosxf(tanx)f(tanx)dtanxf(Cotx)f(Cotx)d(Cotx)f(arcSinx) f(arcSinx)d (arcSinx)f(arcSin)f(arcSin)d(arcSin)。定积分几何应用平面图形的面积：直角坐标情形：设平面图形由曲线yf(x)，yg(x)，f(x)g(x)和直线xa，xb所围成，则其面积A=dx。极坐标情形：设平面图形由曲线()及射线，所围成，其面积A=d。体积：旋转体的体积，设旋转体由曲线yf(x)与直线xa，xb及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成，则V=dx。平行截面面积为已知的立体的体积，设立体由曲面及平面xa，xb所围成，过点x且垂直与x轴的截面面积为A(x)，其体积Vdx。平面曲线的弧长：直角坐标情形：设曲线的方程为yf(x)(axb), f(x)在a，b上具有一阶连续导数，则弧长sdx，参数方程情形：设曲线的参数方程为x(t)，y(t)，(t)，(t)、(t)在，上具有连续导数，则其弧长sdt。极坐标情形，设曲线的极坐标方程()，()，()在，上具有连续导数，则其弧长sd。定积分物理应用变力沿直线所作功，设物体受变力F(x)的作用，沿x轴由点a运行倒点b，力F的方向同x轴方向的正向，则力所作功W=dx二重积分计算(直角坐标)积分区域D=(x，y)(x) y(x)，xa，b，则积分区域D=(x，y)(y) x(y)，yc，d，则=二重积分计算(极坐标)： D=(，)() x()，则。重积分的应用：曲面的面积：设曲面的方程为zf(x,y)，在xOy面上的投影区域D，f(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则曲面面积A=平面曲线积分的计算法对弧长的曲线积分的计算法，设f(x，y)在曲线弧L上连续，L的参数方程为x=,y=,(t),其中,具有一阶连续导数，且+0，则，。对坐标的曲线积分的计算方法：设P（x，y）在有向曲线弧L上连续，L的参数方程为x(t)，y(t)，+0，则。格林公式：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x，y)及Q(x，y)在D具有一阶连续偏导，则，L为D的取正向的边界曲线。幂级数概念：。另t，则阿贝尔定理：若级数当xx时收敛，则对符合的一切x，级数发散。对幂函数，若或。则它的收敛半径R:当0时，R=1/.当=0时，R=+。当+时，R0。泰勒级数概念：若f(x)在点x处具有各阶导数，则幂级数称为f(x)在点x处的泰勒级数，当x0时，级数称为函数f(x)的麦克劳林级数。常用函数展开成幂级数将展开为x的幂级数：1x+x+(1)(x)+（1x1）将展开为x的幂级数：1+x+x+ (x)+（1x1）将ln(1+x)展开为x的幂级数：x+(1)Sinxx+(1)+ Cosx x+(1)+e1+x+(1+x)1+x+1/=1x+傅里叶级数，收敛特性1：在一个周期内连续，或只有有限各第一类间断点。2：在一个周期内至多只有有限各极值点，则f(x)的傅里叶级数收敛，且当x是f(x)的连续点时，级数收敛域f(x)；当x是f(x)间断点时，级数收敛与f(x) f(x)。微分方程：凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。可分离变量的方程：g(x)dyf(x)dx，设g(y)、f(x)的原函数依次是G(y)、F(x)，则的通解G(y)F(x)+C。一阶线性方程：y+P(x)yQ(x)的通解ye。Q(x)0为线性齐次方程、Q(x)0为线性非齐次方程。二阶常系数线性微分方程y+py+qy0特征方程：r+pr+q0。特征方程有两个不等实根：rr，通解yCe+ Ce。特征方程有两个相等实根：rr，y(C + xC)e特征方程有一对共轭复根：ye( CCos+ CSin)随机事件与概率：Pn(n1)(n2)(nm+1)、C= P/ P。事件A的概率为0P(A)1，必然事件的概率P()=1，不可能事件的概率P()=0。随机事件的运算对立事件:A的对立事件。和事件：A和B事件至少一个发生(A发生或B发生)，A+B或AB。积事件：A发生并且B发生，AB或AB。差事件：A发生并且B不发生，AB或A-AB或A。随机事件的关系：包含：事件B包含事件A表示“A发生时B必定发生”，BA或AB。相等：BA并且BA，A=B。互不相容：AB=。对立：B或=A。完备事件组：和A构成。相互独立：A和B是否发生相互不影响。P(AB)=P(A)P(B)。摩根法则：=,=+条件概率：在事件A发生的前提下事件B发生的概率。P(BA)P(AB)/ P(A)。当A与B相互独立时：P(BA)P(B)、 P(AB)P(A)。概率计算公式：P()=1P(A)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)= P(B )P(AB)= P(A )P(BA)，当AB相互独立时：P(AB)= P(A )P(B)。P(AB )P(A)P(AB)，当AB时，P(A )P(B)，且P(AB)P(A )P(B)。古典概率：P(A)m/n。超几何概率公式：设N件产品中有M件次品，其余NM件非次品，随机地从N件产品中任取n件，则n件产品中恰有k件次品的概率P(A)。二项概率公式：如果做一次随机实验只可能有两种不同结果，称为伯努利试验。成功和失败，成功的概率为p，则出现失败的概率为1p。设反复独立地做n次伯努利试验，则n次试验中恰出现k次成功的概率p(A)Cp(1p)，放回的摸球的问题可以用这个公式解决。基本求导公式1：(C)=0。2：(x)x。3：(Sinx) Cosx。4：(Cosx) Sinx。5：(tanx) Secx。6：(Cotx) cscx。7：(Sec x) Secxtanx。8：(Csc x)Csc x Cotx。9：(a)alna。10：(e)e。11：(logax)1/(xlna)。12：(lnx)1/x。13：(arcsinx)1/。14：(arccosx)1/。15：(arctanx)1/(1+x)。16：(arccotx)1/(1+x)。基本微分表：1：kx。2：x/(+1)。3：ln。4：arctanx。5：arcsinx。6：Sinx。7：Cosx。8：tanx。9：cotx。10：secx。11：cscx。12：e。13：a/lna。14：chx。15：shx。16：ln。17：ln。Cos2CosSin2 Cos11Sin。Sin22SinCos
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