不定积分求解方法及技巧

不定积分求解方法及技巧小汇总摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。一 不定积分的概念与性质定义1 如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的xI，有F(x)=f(x)dx则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（xI）简单的说就是，连续函数一定有原函数定理2 设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，则（1） F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数；（2） f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。定义2 设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)d(x),即f(x)d(x)=F(x)+C其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。性质1 设函数f(x)和g(x)存在原函数，则f(x)g(x)dx=f(x)dxg(x)dx.性质2 设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，则kf(x)dx=kf(x)dx.二 换元积分法的定理如果不定积分g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f(x) (x).做变量代换u=(x),并注意到（x）dx=d(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有g(x)dx=f(x) (x)dx=f(u)du.如果f(u)du可以积出，则不定积分g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。定理1 设F(u)是f(u)的一个原函数，u=(x)可导，则有换元公式f(x) (x)dx=f(u)du=F(u)+C=F(x)+C.第一类换元法是通过变量代换u=(x),将积分f(x) (x)dx化为f(u)du.但有些积分需要用到形如x=(t)的变量代换，将积分f(x)dx化为f(t) (t).在求出后一积分之后，再以x=(t)的反函数t=(X)带回去，这就是第二类换元法。即 f(x)dx=f(t) (t)dt.为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t=（x）存在的条件，给出下面的定理。定理2 设x=(t)是单调，可导的函数，并且（t）0.又设f(t) (t)具有原函数F（t）,则f(x)dx=f(t) (t)dt=F(t)+C=F(x)+C 其中（x）是x=（t）的反函数。三 常用积分公式1 基本积分公式（1）kdx=kx+C(k是常数)； （2）xdx=+C(u-1);（3）=ln+C； （4）=arctanx+C; (5) =arcsinx+C; (6) cosxdx=sinx+C; (7) sinxdx=-cosx+C ; (8) =secxdx=tanx+C; (9) =cscxdx=-cotx+C; (10) secxtanxdx=secx+C; (11) cscxcotxdx=-cscx+C; (12) edx= e+C; (13) adx= e+C; (14) shxdx=chx+C; (15) chxdx=shx+C. (16) tanxdx=-ln+C; (17) cotxdx=ln+C; (18) secxdx=ln+C; (19)cscxdx=ln+C; (20) =+C; (21) =arcsin+C; (22) =ln(x+C; (23) =ln+C.2.凑微分基本类型四 解不定积分的基本方法四求不定积分的方法及技巧小汇总1. 利用基本公式。（这就不多说了）2. 第一类换元法。（凑微分）设f()具有原函数F()。则其中可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：例1：【解】例2：【解】3. 第二类换元法：设是单调、可导的函数，并且具有原函数，则有换元公式第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：4. 分部积分法.公式：分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取时，通常基于以下两点考虑：（1） 降低多项式部分的系数（2） 简化被积函数的类型举两个例子吧！例3：【解】观察被积函数，选取变换,则例4：【解】上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在中，的选取有下面简单的规律：将以上规律化成一个图就是：（axarcsinx）（lnxPm(x)sinx)但是，当时，是无法求解的。对于（3）情况，有两个通用公式：5. 几种特殊类型函数的积分。（1） 有理函数的积分有理函数先化为多项式和真分式之和，再把分解为若干个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现时，记得用递推公式：）例5：【解】故不定积分求得。（2）三角函数有理式的积分万能公式：的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成。再用待定系数 来做。（3） 简单无理函数的积分一般用第二类换元法中的那些变换形式。像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现时，可令；同时出现时，可令；同时出现时，可令x=sint；同时出现时，可令x=cost等等。学习完不定积分，觉得这部分内容对我们思维的灵活性要求很大，应该加大习题量，达到见多识广的效果，做完习题注意总结，以及类似题目的整理。熟记三角函数公式，不定积分基本公式，掌握各种求积分的方法。