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高中数学圆锥曲线椭圆一、选择题1设00，故选C.2(文)(2016瑞安中学)已知双曲线C的焦点、顶点分别恰好是椭圆1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为()A4x3y0 B3x4y0C4x5y0 D5x4y0答案A解析由题意知双曲线C的焦点(5,0)，顶点(3，0)，a3，c5，b4，渐近线方程为yx，即4x3y0.(理)(2016广东中山)若椭圆1过抛物线y28x的焦点，且与双曲线x2y21，有相同的焦点，则该椭圆的方程是()A.1 B.y21C.1 Dx21答案A解析抛物线y28x的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2y21有相同的焦点，a2，c，c2a2b2，b22，椭圆的方程为1.3分别过椭圆1(ab0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是()A(0,1) B.C. D.答案B解析依题意，结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部，cb，从而c22c2，即e20，0eb0)的离心率为，则双曲线1的渐近线方程为()Ayx By2xCy4x Dyx答案A解析由椭圆的离心率e，故双曲线的渐近线方程为yx，选A.6(文)(2016南昌市模考)已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于()A. B. C. D.答案A解析设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a、b、c，则由条件知，b6，ac9或ac9，又b2a2c2(ac)(ac)36，故，e.(理)(2016北京崇文区)已知点F，A分别是椭圆1(ab0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足0，则椭圆的离心率等于()A. B.C. D.答案B解析(c，b)，(a，b)，0，acb20，b2a2c2，a2acc20，e2e10，e0，e.7(2016浙江金华)若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1、F2分别是它们的左、右焦点设椭圆离心率为e1，双曲线离心率为e2，若0，则()A2 B. C. D3答案A解析设椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为a，焦距为2c，则由条件知|PF1|PF2|2a，|PF1|PF2|2a，将两式两边平方相加得：|PF1|2|PF2|22(a2a2)，又|PF1|2|PF2|24c2，a2a22c2，2.8(2016重庆南开中学)已知椭圆1的左右焦点分别为F1、F2，过F2且倾角为45的直线l交椭圆于A、B两点，以下结论中：ABF1的周长为8；原点到l的距离为1；|AB|；正确结论的个数为()A3B2C1D0答案A解析a2，ABF1的周长为|AB|AF1|BF1|AF1|AF2|BF1|BF2|4a8，故正确；F2(，0)，l：yx，原点到l的距离d1，故正确；将yx代入1中得3x24x0，x10，x2，|AB|，故正确9(文)(2016北京西城区)已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|PN|，又AM是圆的半径，|PM|PN|PM|PA|AM|6|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆(理)F1、F2是椭圆1(ab0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为()A圆B椭圆C双曲线D抛物线答案A解析PQ平分F1PA，且PQAF1，Q为AF1的中点，且|PF1|PA|，|OQ|AF2|(|PA|PF2|)a，Q点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆10(文)(2016辽宁沈阳)过椭圆C：1(ab0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若k，则椭圆离心率的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析点B的横坐标是c，故B的坐标，已知k，B.斜率k.由k，解得eb0)的一个顶点作圆x2y2b2的两条切线，切点分别为A，B，若AOB90(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为_答案解析因为AOB90，所以AOF45，所以，所以e21，即e.(理)(2016揭阳市模拟)若椭圆1(ab0)与曲线x2y2a2b2无公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是_答案解析易知以半焦距c为半径的圆在椭圆内部，故bc，b2c2，即a22c2，b0)上存在点P(x，y)，使得0，则椭圆离心率的范围是_答案e1解析在椭圆1上存在点P，使0，即以OA为直径的圆与椭圆有异于A的公共点以OA为直径的圆的方程为x2axy20与椭圆方程b2x2a2y2a2b2联立消去y得(a2b2)x2a3xa2b20，将a2b2c2代入化为(xa)(c2xab2)0，xa，x，由题设a，0e1，e1.(理)已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆1内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|MB|的最大值是_答案102解析如图，直线BF与椭圆交于M1、M2.任取椭圆上一点M，则|MB|BF|MA|MF|MA|2a|M1A|M1F|M1A|M1B|BF|MB|MA|M1B|M1A|2a|BF|.同理可证|MB|MA|M2B|M2A|2a|BF|，102|MB|MA|102.14(文)已知实数k使函数ycoskx的周期不小于2，则方程1表示椭圆的概率为_答案解析由条件2，k，当00，b0)的面积为ab，M包含于平面区域：内，向内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为，则椭圆M的方程为_答案1解析平面区域：是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得，即ab2.因为0a2,0b0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线yx2相切，求椭圆C的焦点坐标；(2)若点P是椭圆C上的任意一点，过焦点的直线l与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM、kPN，当kPMkPN时，求椭圆的方程解析(1)圆x2y2b2与直线yx2相切，b，得b.又2a4，a2，a24，b22，c2a2b22，两个焦点坐标为(，0)，(，0)(2)由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，不妨设：M(x0，y0)，N(x0，y0)，P(x，y)，由于M，N，P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有1，1.两式相减得：.由题意可知直线PM、PN的斜率存在，则kPM，kPN，kPMkPN，则，由a2得b1，故所求椭圆的方程为y21.(理)(2016北京东城区)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(2,0)，且长轴长与短轴长的比是2.(1)求椭圆C的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点当|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围解析(1)设椭圆C的方程为1(ab0)由题意，解得a216，b212.所以椭圆C的方程为1.(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为1，故4x4.因为(xm，y)，所以|2(xm)2y2(xm)212.x22mxm212(x4m)2123m2.因为当|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x4时，|2取得最小值而x4,4，故有4m4，解得m1.又点M在椭圆的长轴上，即4m4.故实数m的取值范围是m1,416(2016辽宁文，20)设F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的焦距；(2)如果2，求椭圆C的方程解析(1)设焦距为2c，则F1(c,0)，F2(c,0)kltan60l的方程为y(xc)即：xyc0F1到直线l的距离为2c2c2椭圆C的焦距为4(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题可知y10，y20直线l的方程为y(x2)由消去x得，(3a2b2)y24b2y3b2(a24)0由韦达定理可得2，y12y2，代入得得又a2b24 由解得a29b25椭圆C的方程为1.17(文)(2016安徽文)椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e.(1)求椭圆E的方程；(2)求F1AF2的角平分线所在直线的方程解析(1)由题意可设椭圆方程为1(ab0)e，即，a2c又b2a2c23c2椭圆方程为1.又椭圆过点A(2,3)1，解得c24，椭圆方程为1.(2)法一：由(1)知F1(2,0)，F2(2,0)，直线AF1的方程y(x2)，即3x4y60，直线AF2的方程为x2.设P(x，y)为角平分线上任意一点，则点P到两直线的距离相等即|x2|3x4y65(x2)或3x4y65(2x)即x2y80或2xy10.由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求F1AF2的平分线所在直线方程为2xy10.法二：设AM平分F1AF2，则直线AF1与直线AF2关于直线AM对称由题意知直线AM的斜率存在且不为0，设为k.则直线AM方程y3k(x2)由(1)知F1(2,0)，F2(2,0)，直线AF1方程为y(x2)，即3x4y60设点F2(2,0)关于直线AM的对称点F2(x0，y0)，则解之得F2(，)直线AF1与直线AF2关于直线AM对称，点F2在直线AF1上即3460.解得k或k2.由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，k(舍去)故F1AF2的角平分线所在直线方程为2xy10.法三：A(2,3)，F1(2,0)，F2(2,0)，(4，3)，(0，3)，(4，3)(0，3)(1,2)，kl2，l：y32(x2)，即2xy10.点评因为l为F1AF2的平分线，与的单位向量的和与l共线从而可由、的单位向量求得直线l的一个方向向量，进而求出其斜率(理)(2016湖北黄冈)已知点A(1,1)是椭圆1(ab0)上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|AF2|4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B是椭圆上任意一点，如果|AB|最大时，求证A、B两点关于原点O不对称；(3)设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由解析(1)由椭圆定义知：2a4，a2，1把(1,1)代入得1b2，则椭圆方程为1c2a2b24，c故两焦点坐标为，.(2)用反证法：假设A、B两点关于原点O对称，则B点坐标为(1，1)，此时|AB|2，取椭圆上一点M(2,0)，则|AM|AM|AB|.从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立(3)设AC方程为：yk(x1)1联立消去y得(13k2)x26k(k1)x3k26k10点A(1,1)在椭圆上xC直线AC、AD倾斜角互补AD的方程为yk(x1)1同理xD又yCk(xC1)1，yDk(xD1)1yCyDk(xCxD)2k所以kCD即直线CD的斜率为定值.第 12 页 共 12 页
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