中考数学专题复习：三角形

中考复习：三角形【知识梳理】1、三角形三边的关系；三角形的分类2、三角形内角和及外角和定理及推论；3、三角形的高，中线，角平分线4、三角形中位线的定义及性质【 思想方法】方程思想，分类讨论等一、 三角形的基本性质1、三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x2-6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（）A. 11 B. 13 C. 11或13 D. 11和132、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A5，6，10 B5，6，11 C3，4，8 D4a，4a，8a（a0）3、如图，在RtACB中，ACB=90，A=25，D是AB上一点将RtABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B处，则ADB等于（）A. 25 B. 30 C. 35 D. 40ACB4、所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）AAB中点BBC中点CAC中点DC的平分线与AB的交点二、三角形有关的线段（一）角平分线1（2016枣庄）如图，在ABC中，AB=AC，A=30，E为BC延长线上一点，ABC与ACE的平分线相交于点D，则D的度数为（）A15B17.5C20D22.52、（2014威海）（3分）如图，在ABC中，ABC=50，ACB=60，点E在BC的延长线上，ABC的平分线BD与ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（ ）ABAC=70BDOC=90CBDC=35DDAC=553、（2013淄博）4分）如图，ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）4、如图，点P为定角AOB的平分线上的一个定点，且MPN与AOB互补若MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PMPN恒成立，（2）OMON的值不变，（3）四边形PMON的面积不变，（4）MN的长不变，其中正确的个数为 A4 B3 C2 D15、如图所示，在ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=_6、在ABC中，AD平分BACBDAD，垂足为D，过D作DE/AC，交AB于E，若AB =5，求线段DE的长【版权所有：21教育】（二）中线1、如图，D、E分别是ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设ADF的面积为S1，CEF的面积为S2，若SABC=12，则S1-S2的值为_ 2、 如上图，ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CGAD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（ ） AB1CD73、如图所示，DE为ABC的中位线，点F在DE上，且AFB=90，若AB=5，BC=8，则EF的长为（ ）。4、图，已知ABC，AD平分BAC交BC于点D，BC的中点为M，MEAD，交BA的延长线于点E，交AC于点F（1）求证：AE=AF；（2）求证：BE=（AB+AC）（三）高线如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以点C为圆心，CA为半径画弧；步骤2：以点B为圆心，BA为半径画弧，交弧于点D；步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H.下列叙述正确的是：A.BH垂直平分线段AD B.AC平分BAD C.SABC=BCAH D.AB=AD三、全等三角形【知识梳理】1、定义：能够完全重合的两个三角形全等2、性质：两个全等的三角形的对应边和对应角分别相等3、判定方法：边角边（SAS）角边角（ASA）推论 角角边（AAS）边边边（SSS）“HL” 例1.如图，已知AE=CF，AFD=CEB，那么添加一个条件后，仍无法判定ADFCBE的是（ ）AA=C BAD=CBCBE=DFDADBC例2如图，在RtABC 中，D、E是斜边BC上两点，且DAE=45，将绕点顺时针旋转90后，得到，连接，下列结论：； ； 其中正确的是（ ）A； B；C；D3如图，中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交 AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是（ ）A.1对 B.2对 C.3对 D.4对例4如图，已知BC=EC，BCE=ACD，要使ABCDEC，则应添加的一个条件为 （答案不唯一，只需填一个）针对性练习1、在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC（或它们的延长线）于点M，N，设AEM=（090），给出下列四个结论：AM=CN； AME=BNE； BNAM=2； SEMN=上述结论中正确的个数是（）A1 B2 C3 D42、(2016贺州)如图，在ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则AOB的度数为3、如图，已知ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF，CF，连接BE并延长交CF于点G.下列结论：ABEACF；BC=DF；SABC=SACF+SDCF；若BD=2DC，则GF=2EG.其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）4、如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，ACB的顶点A在ECD的斜边上，连接BD（1）试判断ACE与BCD是否全等（不要求证明）；（2）求ADB的度数；（3）求证：AE2+AD2=2AC24、如图，直线l1l2l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，ACB=90，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（）ABCD四、等腰（等边）三角形1、 已知ABC中，AB=6，AC=8，BC=11，任作一条直线将ABC分成两个三角形，若其中一个是等腰三角形，则这样的直线最多有（ ）条。2、(2013烟台)17（3分）如图，ABC中，AB=AC，BAC=54，BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则OEC为_度3、等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x-6x+n-1=0的两根，则n的值为（ ）4如图，在ABC中，AB=AC，AD、CE是ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（） ABCBCECADDAC5、 （2017东营）如图，在ABCD中，用直尺和圆规作BAD的平分线AG交BC于点E若BF=8，AB=5，则AE的长为（ ）A、5B、6C、8D、126、如图，ABC为等边三角形，AB=2若P为ABC内一动点，且满足PAB=ACP，则线段PB长度的最小值为_7、如图，点A，B，C在一条直线上，ABD，BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：ABEDBC；DMA=60；BPQ为等边三角形；MB平分AMC，其中结论正确的有（）A1个 B2个 C3个 D4个五、相似图形【基础知识回顾】一、 成比例线段： 1、线段的比：如果选用两条线段，的长度分别为m、n则这两条线段的比就是它们 的比，即：= 2、比例线段：四条线段a、b、c、d如果= 那么四条线段叫做同比例线段，简称 3、比例的基本性质：= 4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线【提醒：表示两条线段的比时，必须使示用相同的 ，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的单位无关 即比值没有单位。】二、相似三角形： 1、定义：如果两个三角形的各角对应 各边对应 那么这两个三角形相似 2、性质：相似三角形的对应角 对应边 相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应 的比都等于 相似三角形周长的比等于 面积的比等于 1、 判定：基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似 两边对应 且夹角 的两三角形相似 两角 的两三角形相似 三组对应边的比 的两三角形相似【提醒：1、全等是相似比为 的特殊相似2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等，一般要先证 判定方法中最常用的是 三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】 三、相似多边形： 1、定义：各角对应 各边对应 的两个多边形叫做相似多边形 2、性质：相似多边形对应角 对应边 相似多边形周长的比等于 面积的比等于 【提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】一、 位似： 1、定义：如果两个图形不仅是 而且每组对应点所在直线都经过 那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 这时相似比又称为 2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于 【提醒：1、位似图形一定是 图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或 2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位r，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 】【典型例题解析】考点一：比例线段例1 如图，已知ABC，AB=AC=1，A=36，ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 （结果保留根号）对应训练2如图，在ABC中，AB=AC，A=36，BD平分ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）A B C D 考点二：相似三角形的性质及其应用例2 已知ABCDEF，ABC的周长为3，DEF的周长为1，则ABC与DEF的面积之比为 9：1对应训练2已知ABCABC，相似比为3：4，ABC的周长为6，则ABC的周长为 8 考点三：相似三角形的判定方法及其应用例3 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= BC图中相似三角形共有（）A1对B2对C3对D4对例4（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；对应训练3.如图，ABCADE且ABC=ADE，ACB=AED，BC、DE交于点O则下列四个结论中，1=2；BC=DE；ABDACE；A、O、C、E四点在同一个圆上，一定成立的有（）A1个B2个C3个D4个4. 在锐角ABC中，AB=4，BC=5，ACB=45，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到A1BC1（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1若ABA1的面积为4，求CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值考点四：位似例5 如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形ABCD与正方形ABCD是以AC的中点O为中心的位似图形，已知AC=3，若点A的坐标为（1，2），则正方形ABCD与正方形ABCD的相似比是（）A B C D 对应训练5如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（）A（，0） B（ C D 【聚焦中考】1已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）ABCD22如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OABC与矩形OABC关于点O位似，且矩形OABC的面积等于矩形OABC面积的 ，那么点B的坐标是（）A（-2，3）B（2，-3）C（3，-2）或（-2，3）D（-2，3）或（2，-3）3.在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则 的值是（）A B C D 4.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中ABBE，EFBE，AF交BE于D，C在BD上有四位同学分别测量出以下四组数据：BC，ACB；CD，ACB，ADB；EF，DE，BD；DE，DC，BC能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A1组B2组C3组D4组F5如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）已知A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若ABC与A1B1C1位似，则A1B1C1的第三个顶点的坐标为 （3，4）或（0，4）6如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC和DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明三角形ABC为直角三角形；（2）判断ABC和DEF是否相似，并说明理由；（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与ABC相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）【备考真题过关】一、选择题1已知 ，则 的值是（）A B C D2如图，ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC若ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（）A2 B3 C D3如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EFACHG，EHBDFG，则四边形EFGH的周长是（）A B C D4小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（）AFGBFHCEHDEF5.如图，六边形ABCDEF六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）AE=2KBBC=2HIC六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长DS六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL6.下列44的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与ABC相似的三角形所在的网格图形是（）ABCD7.如图，点D在ABC的边AC上，要判定ADB与ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）AABD=C BADB=ABC C D8如图，在ABC中，EFBC， ，S四边形BCFE=8，则SABC=（）A9B10C12D139.如图，在四边形ABCD中，DCAB，CBAB，AB=AD，CD= AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则AEF与多边形BCDFE的面积之比为（）A B C D10图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（）A点MB点NC点OD点P11如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位中心，将ABO扩大到原来的2倍，得到ABO若点A的坐标是（1，2），则点A的坐标是（）A（2，4）B（-1，-2）C（-2，-4）D（-2，-1）二、填空题14.正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AMMN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm215.如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ONOM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为 。16.如图，E是ABCD的边CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AD=4， ，则CF的长为 217.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tanAPD的值是 218如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为 12m19.如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM= 3.42米20.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB= 5.5m21.如图，ABC与A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知ABC的面积为3，那么A1B1C1的面积是 12三、解答题22己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，BAF=DAE，AE与BD交于点G（1）求证：BE=DF；（2）当 时，求证：四边形BEFG是平行四边形23如图，在ABC中，C=90，点D是AB边上的一点，DMAB，且DM=AC，过点M作MEBC交AB于点E求证：ABCMED24如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O（1）求证：COMCBA；（2）求线段OM的长度25.如图，在ABC中，C=90，BC=5米，AC=12米M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒运动时间为t秒（1）当t为何值时，AMN=ANM？（2）当t为何值时，AMN的面积最大？并求出这个最大值六、直角三角形基础知识回顾一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 2、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即5、射影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项ACB=90 CDAB 6、常用关系式由三角形面积公式可得： ABCD=ACBC二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。三、锐角三角函数的概念 1、如图，在ABC中，C=90 锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记为sinA，即 锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记为cosA 即锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记为tanA， 即2、锐角三角函数的概念： 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值4、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系sinA=cos(90A)，cosA=sin(90A) （2）平方关系（3）弦切关系 tanA=5、锐角三角函数的增减性 当角度在090之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形依据：在RtABC中，C=90，A，B，C所对的边分别为a，b，c（1）三边之间的关系：（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A+B=90（3）边角之间的关系：【例题精讲】 考点一：直角三角形的性质与判定例1. 如图，ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BEAC若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？（）A10B11C12D13 ABCDO例2如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点，则 针对练习1. 如图，是等腰直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，那么的长等于（ ）ABCD2、如图，ACB=90，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BFDE，与AE的延长线交于点F若AB=6，则BF的长为（） A 6 B 7 C 8 D 103、如图，RtABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，ABC=40，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（）A40 B70 C70或80D80或1404如图，在中，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（ ）A B C D5、如图，在ABC中，C=90，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（）A19cm2B16cm2C15cm2D12cm2考点二：三角函数定义68CEABD例1 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（ ）ABCD例2. 如图，已知ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ） 来源#:%中*教网A B C D例5图针对性练习1. 如图，在 中，点 是 延长线上的一点，且 ，则 的值为 A. B. C. D. 2. 为了方便行人推车过某天桥，市政府在 高的天桥一侧修建了 长的斜道（如图所示）我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数具体按键顺序是 A. B. C. D. 3. 如图，以点 为圆心，半径为 的弧交坐标轴于 ， 两点， 是 上一点（不与 ， 重合），连接 ，设 ，则点 的坐标是 A. B. C. D. 考点三：解直角三角形及应用例1.如图，在RtABC中，B=90，A=30，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD若BD=1，则AC的长是（）A B 2 C D 4 例1图 例2图 例3图 例2.已知：如图在ABC，ADE中，BAC=DAE=90，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE以下四个结论：BD=CE；BDCE；ACE+DBC=45；BE2=2（AD2+AB2），其中结论正确的个数是（）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个例3 如图，在直角BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tanCAD的值（）A B C D 例4 如图 ，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）A B51 C D101例5 4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播如图（见下页），在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为，B处的俯角为如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是 米例6.如图11,山顶有一铁塔AB的高度为20米，为测量山的高度BC,在山脚点D处测得塔顶A和塔基B的仰角分别为60和45，求山的高度BC.（结果保留根号） 例7.如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上。（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方形货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m.将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高。（，结果精确到0.1m）针对性练习1. 计算 2. 如图，一游人由山脚 沿坡角为 的山坡 行走 ，到达一个景点 ，再由 沿山坡 行走 到达山顶 ，若在山顶 处观测到景点 的俯角为 ，则山高 （结果用根号表示） 3. 如图，在 中，以直角顶点 为圆心， 长为半径画弧交 于点 ，过 作 于点 若 ，则 的周长用含 的代数式表示为 4. 如图，某小区号楼与号楼隔河相望，李明家住在号楼，他很想知道号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在 点测得 点的仰角为 ，然后到 米高的楼顶 处，测得 点的仰角为 ，请你帮助李明计算号楼的高度 5. 如图， 是 的中线，（1） 的长；（2） 的值 6数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知 ，经测量，得到其它数据如图所示其中 ，请你根据以上数据计算 的长（，要求结果精确到 ）