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卷20062007学年第一学期本科高等数学(上)试卷专业班级 姓 名 学 号 开课系室 考试日期 页 号一二三四五六总分得 分阅卷人说明：1.本试卷正文共6页。2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。3.答案必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效。一、填空题 (本题共10小题，每小题2分，共20分.)1. 设, 则 . 2. 设函数连续，则 ， .3极限 .4设 ,且在连续,则= .5设方程确定函数, 则= .6设, 则= .7抛物线在其顶点处的曲率为 .8设可导，则 .9 . 10微分方程的通解是 .二、单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）1. “数列极限存在”是“数列有界”的（ ）(A) 充分必要条件； (B) 充分但非必要条件；(C) 必要但非充分条件； (D)既非充分条件，也非必要条件.2极限（ ）(A) 2; (B) 3; (C) ; (D) 5; 3设常数，则函数 在内零点的个数为（ ）(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 4设, 则是的( ).(A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 5设函数二阶可导，且，令，当时，则( ). (A) (B) (C) (D) 6若，在内，则在内( ). (A) (B) (C) (D) 7设在处二阶可导, 且,则( ).(A) 是的极大值点; (B) 是的极小值点; (C) 是曲线的拐点; (D) 以上都不是. 8下列等式中正确的结果是 ( ).(A) (B) (C) (D) 9下列广义积分收敛的是( ).(A) (B) (C) (D) 10设在的某个领域内有定义，则在处可导的一个充分条件是 ( ).(A) (B)(C) (D)三、计算题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。）1. 求不定积分2. 计算定积分3求微分方程的通解. 四解答题：（本题共6小题，共37分。）1（本题5分）求摆线在处的切线的方程.2.（本题6分）求曲线的渐进线.3（本题6分）求由曲线及直线,所围成图形面积。4（本题6分）证明：对任意实数，恒有5.（本题6分）设有盛满水的圆柱形蓄水池,深15米,半径20米,现将池水全部抽出,问需作多少功?6.（本题8分）设对任意实数五（本题8分）设函数在闭区间0,2上连续，在开区间（0,2）内可导，且满足条件,证明：卷20072008学年第一学期高等数学（上）期末试卷专业班级 姓 名 学 号 开课系室 数学学院基础数学系 考试日期 2008年1月7日 页 码一二三四五六总分得 分阅卷人说明：1本试卷正文共 页。2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。一、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分).1. = .2. 设函数，其中在内可导，则= .3. 设，则=_.4. =_. 5. = _.6. 微分方程 的通解是 .二、选择题 (本题共4小题，每小题3分，共12分).1设为可导的奇函数，且，则（ ）.(A) ； (B) ； (C) ； (D) . 2. 设函数在点的某邻域有定义，则在点处可导的充要条件是（ ）.（A）； （B）；（C）； （D）函数在点处连续. 3. 下图中三条曲线给出了三个函数的图形，一条是汽车的位移函数，一条是汽车的速度函数，一条是汽车的加速度函数，则（ ）.abctyO（A） 曲线是的图形，曲线是的图形，曲线是的图形； （B） 曲线是的图形，曲线是的图形，曲线是的图形；（C） 曲线是的图形，曲线是的图形，曲线是的图形；（D） 曲线是的图形，曲线是的图形，曲线是的图形. 4. 设是内的可导函数，、是内任意两点，则( ).（A），其中为内任意一点；（B）至少存在一点，使；（C）恰有一点，使;（D）至少存在一点，使.三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.2. 求极限 .3. 求定积分 .4. 求广义积分 .四、解答题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1. 设函数是由方程 所确定的函数，求.2设函数，求的原函数.3求微分方程的通解4判断曲线的凸性与拐点.五、应用题（本题共3小题，每小题6分，共18分）.1.曲线，及轴围成一平面图形,求此平面图形绕轴旋转而成的立体的体积.2.求曲线位于第一象限部分的一条切线，使该切线与曲线以及两坐标轴所围图形的面积最小.3有一半径为的半圆形薄板，垂直地沉入水中，直径在上，且水平置于距水面的地方，求薄板一侧所受的水压力.六、证明题（本题4分）.证明方程在内必有唯一实根，并求.20082009学年第一学期高等数学期末考试试卷(理工科类)专业班级 姓 名 学 号 开课系室 数学学院基础数学系 考试日期 2009年1月5日 页 码一二三 四五六总分得 分阅卷人说明：1本试卷正文共6页。2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1） =_.（2）曲线上与直线平行的切线方程为_.（3）已知，且, 则_ .（4）曲线的斜渐近线方程为 _.（5）微分方程的通解为_.二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（ ）(A) (B) (C) (D) （2）函数在内有定义，其导数的图形如图1-1所示，则（ ）.(A)都是极值点. (B) 都是拐点.(C) 是极值点.，是拐点. (D) 是拐点，是极值点.（3）函数满足的一个微分方程是（ ）.（A） （B）（C） （D）（4）设在处可导，则为（ ）.(A) . (B) . (C) 0. (D)不存在 . （5）下列等式中正确的结果是 （ ）.(A) (B) (C) (D) 三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1求极限. 2.方程确定为的函数，求与.3.计算不定积分 .4.计算定积分.四、解答题（本题共4小题，共29分）.1（本题6分）解微分方程.2（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为，水的密度为，计算桶的一端面上所受的压力 3. （本题8分）设在上有连续的导数，且，试求.4. （本题8分）过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形D.求D的面积A;求D绕直线旋转一周所得旋转体的体积V. 五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数，.答案一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1） =_.（2）曲线上与直线平行的切线方程为_.（3）已知，且, 则_ .（4）曲线的斜渐近线方程为 _（5）微分方程的通解为_二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（ D ）(A) (B) (C) (D) （2）函数在内有定义，其导数的图形如图1-1所示，则（ D ）.(A)都是极值点. (B) 都是拐点.(C) 是极值点.，是拐点. (D) 是拐点，是极值点.图1-1（3）函数满足的一个微分方程是（ D ）.（A） （B）（C） （D）（4）设在处可导，则为（ A ）.(A) . (B) . (C) 0. (D)不存在 . （5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.(A) (B) (C) (D) 三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1求极限. 解 =-1分=-2分= -1分= -2分2.方程确定为的函数，求与.解 -（3分）-（6分） 计算不定积分 .4.计算定积分.解 - - （3分）- -（6分）（或令）四、解答题（本题共4小题，共29分）.1（本题6分）解微分方程.2（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力 解：建立坐标系如图xy3. （本题8分）设在上有连续的导数，且，试求.4. （本题8分）过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形D.求D的面积A;求D绕直线旋转一周所得旋转体的体积V. 解：(1) 设切点的横坐标为，则曲线在点处的切线方程是-1分由该切线过原点知 ，从而所以该切线的方程为-1分 平面图形D的面积-2分（2） 切线与轴及直线所围成的三角形绕直线旋转所得的圆锥体积为 -2分曲线与x轴及直线所围成的图形绕直线旋转所得的旋转体体积为， -1分因此所求旋转体的体积为-1分五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数，.解法一：解法二：设则-1分因为- 1分当时，单调增加，-2分当时，单调增加，-2分所以对于任意的实数，即。-1分解法三：由微分中值定理得，其中位于0到x之间。-2分当时，。-2分当时，。-2分所以对于任意的实数，。-1分A卷20092010学年第一学期高等数学（2-1）期末试卷专业班级 姓 名 学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2010年1月11日 页 号一二三四五六总分得 分阅卷人注 意 事 项1请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废.一填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）1 .2 .3设函数由方程确定，则 .4. 设可导，且，则 .5微分方程的通解为 . 二选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1设常数，则函数在内零点的个数为（ ）.(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2 微分方程的特解形式为（ ）.（A）; （B）;（C）; （D）.3下列结论不一定成立的是（ ）.（A）若,则必有;（B）若在上可积,则;（C）若是周期为的连续函数,则对任意常数都有;（D）若可积函数为奇函数,则也为奇函数.4. 设, 则是的（ ）.(A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三计算题（共5小题，每小题6分，共计30分）1计算定积分.2计算不定积分.3求摆线在处的切线的方程.4. 设，求.5设，求.四应用题（共3小题，每小题9分，共计27分）1求由曲线与该曲线过坐标原点的切线及轴所围图形的面积.2设平面图形由与所确定，试求绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积.3. 设在内的驻点为问为何值时最小? 并求最小值.五证明题（7分）设函数在上连续，在内可导且试证明至少存在一点, 使得答案一填空题（每小题4分，5题共20分）：1 .2.3设函数由方程确定，则.4. 设可导，且，则.5微分方程的通解为.二选择题（每小题4分，4题共16分）：1设常数，则函数 在内零点的个数为（ B ）.(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2 微分方程的特解形式为 （ C ）（A）； （B）；（C）； （D）3下列结论不一定成立的是 （ A ）若,则必有;若在上可积,则;若是周期为的连续函数,则对任意常数都有;若可积函数为奇函数,则也为奇函数.4. 设, 则是的（ C ）.(A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三计算题（每小题6分，5题共30分）：1计算定积分.解： -2-2-22计算不定积分.解： -3-33求摆线在处的切线的方程.解：切点为 -2-2切线方程为 即. -24. 设 ，则.5设，求.解： -2-2= -2故 = 四应用题（每小题9分，3题共27分）1求由曲线与该曲线过坐标原点的切线及轴所围图形的面积.解：设切点为，则过原点的切线方程为，由于点在切线上，带入切线方程，解得切点为.-3过原点和点的切线方程为-3 面积=-3或 2设平面图形由与所确定，试求绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积.解： 法一：-6-3法二：V=- 5- 43. 设在内的驻点为问为何值时最小? 并求最小值.解: - 3-3-2故-1五证明题（7分）设函数在上连续，在内可导且试证明至少存在一点, 使得证明：设，在上连续在可导，因,有,- 2又由，知在上用零点定理，根据，- 2可知在内至少存在一点，使得,由ROLLE中值定理得 至少存在一点使得即，证毕. -3A卷20102011学年第一学期高等数学（2-1）期末试卷专业班级 姓 名 学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2011年1月4日 页 号一二三四五六总分本页满分361212121216本页得分阅卷人注意事项：1请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共6页。一填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）1已知则 1 .2定积分 .3函数的图形的拐点是 .4. 设则 .5曲线的渐近线方程为 .二选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1设为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数( D ) .A. 在处左极限不存在; B. 在处右极限不存在;C. 有跳跃间断点; D. 有可去间断点.2设当时，是的( B ).A. 等价无穷小; B. 同阶但非等价无穷小;C. 高阶无穷小; D. 低阶无穷小.3. 下列广义积分发散的是( A ).A.; B. ;C. ; D. .4.方程的待定特解的形式可设为( B ).A.; B. ; C. ; D. .三计算题（共8小题，每小题6分，共计48分）1 求极限.解：若将区间0,1等分，则每个小区间长，再将中的一个因子分配到每一项，从而可以将所求极限转化为定积分的表达式。于是,有2设在上连续，且求解: 而所以3求微分方程的通解.解：所给方程为一阶线性微分方程，且 故原方程的通解为 4. 试确定a的值，使函数在处取得极值，指出它是极大值还是极小值，并求出此极值.解 ， 又， 为极大值. 5求由方程所确定的隐函数的导数.解：两边对求导得 整理得 所以 6已知求常数的值.解：左端= 右端=所以07设半径为R米的圆形薄板垂直地沉入水中，圆心距水面为R米，水的比重为，求薄板一侧所受的水压力(其中表示水的比重).Y解：建立坐标系如图， X1) 取x为积分变量， 2) 压力微元 或 3）水对薄板的压力= 8求由曲线及所围成的图形绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积.解：法一：选为积分变量，则法二：选为积分变量，则四证明题（共2小题，每小题8分，共计16分）1叙述并证明牛顿莱布尼茨公式.设在闭区间上连续，为的一个原函数，那么证明：由已知为的一个原函数，也是的一个原函数，因此，在区间上，其中为某一个常数.在上式中令得得两式相减得由于所以2设在区间上连续, 为偶函数, 且满足(为常数).(1) 证明：(2) 计算：证明：（1）（2）令则在上连续，为偶函数.由于所以令得因此满足等式于是，利用（1）的结论得
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