2016届百校联盟全国卷II高考《考试大纲》调研卷文科数学(第九模拟)(解析版)

1 页 百校联盟 2016 年全国卷 II 高考 考试大纲 调研卷文科数学 第九模拟 一 选择题 共 12 题 1 已知集合 A y y 2x x0 得 0 x 3 B 0 3 A B 0 3 故选 C 2 若 x yi x y R i 为虚数单位 则 1 2 A 2 B 15 C 2 D 15 答案 A 解析 本题主要考查复数的四则运算 考查考生对基础知识的掌握情况 解题的关键是将分母实数化 对已 知等式进行化简 x yi 2 i x 2 y 1 所以 2 1 2 3 下列函数中 在区间 1 上是增函数的是 A y x 1 B y C y x 1 2 D y 31 x 11 答案 B 解析 本题主要考查函数的单调性 考查考生对基础知识的掌握情况与基本的运算求解能力 由题意可知 y x 1 与 y 31 x 在定义域上均为减函数 y x 1 2 的对称轴为 x 1 且开口向下 所以在区间 1 上是减函数 只有函数 y 在区间 1 上是增函数 故选 B 11 4 a 1 是 x 0 R asinx 0 1 0 的 2 页 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 本题考查常用逻辑用语的知识 主要是充要关系的判断 考查考生的逻辑思维能力和对基础知识的 掌握情况 由题意知 x0 R asinx 0 1 0 等价于 asinx 1 min0 时 a 11 或当 a 0 时 a 1 0 即 a 1 所以 a 1 是 x0 R asinx0 1 0 的充分不必要条件 故选 B 5 已知在平面直角坐标系 xOy 中 抛物线 y2 2x 的焦点为 F M 3 2 点 Q 在抛物线上 则 MQ QF 的最小值 为 A 3 B 2 C D 52 72 答案 D 解析 本题主要考查抛物线的几何性质 意在考查考生的数形结合意识和运算能力 由题意得 抛物线的准线方程为 x 当 MQ x 轴时 MQ QF 取得最小值 此时 MQ QF 12 72 6 某程序框图如图所示 若输出的 k 的值为 3 则输入的 x 的取值范围为 A 15 60 B 15 60 C 12 48 D 12 48 答案 B 解析 本题主要考查循环结构的程序框图 考查考生的运算求解能力 高考对算法的考查主要以程序框图 为载体 考查函数 数列 不等式等基础知识 3 页 根据程序框图的要求逐步分析每次循环后的结果 可得不等式组 解得 153 3 2 31 3 3 2 3 3 7 已知实数 x y 满足不等式组 则 z x 3y 7 的最大值为 2 0 0 3 A 5 B 11 C 15 D 19 答案 D 解析 本题主要考查线性规划的知识以及数形结合思想 解题的关键是正确画出满足不等式组的平面区域 通解 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示 将 z x 3y 7 变形为 y x 数形结合可 13 73 知 当直线 y x 过点 B 3 5 时 z 的值最大 此时为 19 z 的最大值为 19 故选 D 13 73 优解 解不等式组可得三个顶点的坐标分别为 3 3 3 5 1 1 分别代入 z x 3y 7 得 z x 3y 7 的最大值 为 19 8 已知数列 a n 为等差数列 若 25 恒成立 则 a1 3a7 的取值范围为 21 210 A 5 5 B 5 5 C 10 10 D 10 10 2 2 2 2 答案 D 解析 本题以不等式为切入点 考查等差数列的通项公式和性质 考查考生的基本运算能力 解法一 由数列 a n 为等差数列 可知 a1 3a7 2 a1 a10 则可将题目转化为圆面 25 与直线 21 210 z 2 a1 a10 的关系 由点到直线的距离知 a 1 3a7 的取值范围为 10 10 2 2 4 页 解法二 由数列 a n 为等差数列 可知 a1 3a7 2 a1 a10 由基本不等式 2 得 2 a 1 a10 10 1 102 21 2102 当且仅当 a1 a10 时取等号 a 1 3a7 的取值范围为 10 10 2 2 2 9 已知函数 f x asinx cos 2x a a R a 0 若对任意 x R 都有 f x 0 则 a 的取值范围是 12 3 12 A 0 B 1 0 0 1 C 0 1 D 1 3 32 答案 C 解析 本题主要考查二倍角公式等知识 考查考生对基础知识的掌握情况 由 f x asinx cos 2x a 得 f x sin2x asinx a 令 t sinx 1 t 1 则 g t t2 at a 对任意 x R f x 0 12 3 12 3 3 恒成立的充要条件是 解得 00 b 0 的右焦点和右顶点 过 F 作 x 轴的垂线在第一象限与双曲线交 2 2 2 2 于点 P AP 的延长线与双曲线在第一象限的渐近线交于点 Q 过 Q 作 QR x 轴于 R 若 AF 2 AR 则双2 曲线的离心率是 A B C 2 D 2 3 2 5 答案 A 解析 本题主要考查双曲线的几何性质等知识 考查考生的运算求解能力和对数形结合思想的灵活应用能 力 由题意设 F c 0 则由 OA a 得 AF c a 将 x c 代入双曲线得 P c 则直线 AP 的斜率为 所以直线 2 2 AP 的方程为 y x a 与渐近线 y x 联立 解得 x 所以 AR a 因为 2 2 AF 2 AR 所以 c a 2 则 b c 1 a 代入 c2 a2 b2 得 c2 a2 c2 2 1 ac 3 2 a2 2 2 2 2 2 2 解得 即 e 故选 A 2 2 12 已知函数 f x 若方程 f x kx 2 有三个不相等的实根 则实数 k 的取值范围是 12 0 2 2 8 15 2 A 0 B 1 C 2 8 1 D 2 8 12 12 13 12 13 答案 D 解析 本题主要考查分段函数 方程的根 考查考生分析问题和解决问题的能力 解答时 考虑分段进行处 理 因为函数的零点即为对应方程的根 因此处理函数的零点或方程的根的问题时 通常利用其相互转化关系 来解决 6 页 设 g x kx 2 则 y f x y g x 的图象有三个交点 画出 y f x y g x 的图象如图所示 直线 g x kx 2 与曲线 f x x2 8x 15 x 2 相切时 设切点为 x 0 y0 则由 f x 2x 8 得 2x0 8 k 且 y0 8x0 15 kx0 2 得 x0 k 2 20 13 8 直线 g x kx 2 恒过点 0 2 当直线 g x kx 2 过点 2 1 时 解得 k 此时 y f x y g x 的图象有两个13 12 交点 结合图象可知当 k 2 8 时 f x kx 2 有三个不相等的实根 12 13 二 填空题 共 4 题 13 在 1 5 内随机取一个数 a 则直线 ax y 1 0 与直线 ax y 3 0 之间的距离小于 1 的概率为 答案 5 34 解析 本题主要考查几何概型和两平行线间的距离等基础知识 考查考生对基础知识的掌握情况及运算求 解能力 由直线 ax y 1 0 与直线 ax y 3 0 之间的距离 所以所求概率为 2 2 1 3 5 34 14 已知 O 为坐标原点 向量 2 3 4 1 且 3 则 答案 72 解析 本题主要考查向量的坐标表示与共线向量的坐标运算 考查考生对基础知识的掌握情况与运算求解 能力 在平面直角坐标系 xOy 中 设 P x y 由题意可得 A B 两点的坐标分别为 2 3 4 1 由 3 可得 x 2 y 3 3 4 x 1 y 根据向量相等的概念得 解得 故 2 12 3 3 3 3 72 0 72 7 页 15 已知函数 f x x2 ax 1 的部分图象如图所示 则函数 g x alnx 在点 b g b 处的切线的斜率 33 2 的最小值是 答案 2 解析 本题主要考查函数的图象 导数的几何意义 基本不等式等知识 考查考生的等价转化思想与分析 问题 解决问题的能力 由题意 f x x2 bx a 根据 f x 的图象的极大值点 极小值点均大于零 可得 b 0 a 0 又 g x 则 2 g b 2 当且仅当 a b 时取等号 所以切线斜率的最小值为 2 2 16 设数列 a n 的前 n 项和为 Sn 已知 a1 m an 1 2Sn 4n n N 若 an 1 an 则实数 m 的最小值是 答案 4 解析 本题主要考查等比数列的通项公式等知识 考查考生的运算求解能力 分析问题和解决问题的能力 由条件得 a2 2m 4 且 Sn 1 Sn 2Sn 4n 即 Sn 1 3Sn 4n 得 Sn 1 4n 1 3 Sn 4n 故数列 S n 4n 是以 m 4 为首项 3 为 公比的等比数列 S n m 4 3n 1 4n 从而 an 1 2 m 4 3n 1 3 4n 故当 n 2 时 a n 2 m 4 3n 2 3 4n 1 由 an 1 an n N 得 2 m 4 3n 1 3 4n 2 m 4 3n 2 3 4n 1 解得 m 4 n 易知 4 n 4 2 故 m 5 又 811643 811643 811643 当 n 1 时 2m 4 m 得 m 4 综上所述 m 4 故 m 的最小值是 4 三 解答题 共 8 题 17 已知函数 f x 2cos2x sin 2x 7 6 1 求函数 f x 的最大值 并写出 f x 取最大值时 x 的取值集合 2 已知 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 若 f A b c 2 求实数 a 的取值范围 32 8 页 答案 1 f x 2cos 2x sin 2x 7 6 1 cos 2x sin 2xcos cos 2xsin 7 6 7 6 1 sin 2x cos 2x 32 12 1 sin 2x 6 函数 f x 的最大值为 2 当且仅当 sin 2x 1 即 2x 2k k Z 即 x k k Z 时取到最大值 6 6 2 6 函数取最大值时 x 的取值集合为 x x k k Z 6 2 由题意 f A sin 2A 1 6 32 化简得 sin 2A 6 12 A 0 2A 2A 6 613 6 6 5 6 A 3 在 ABC 中 a 2 b2 c2 2bccos b c 2 3bc 3 由 b c 2 知 bc 2 1 即 a2 1 当 b c 1 时取等号 2 又由 b c a 得 ab 0 的离心率为 以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为 2 2 2 2 32 圆 C 的方程为 x a 2 y b 2 2 3 1 求椭圆及圆 C 的方程 2 过原点 O 作直线 l 与圆 C 交于 A B 两点 若 2 求直线 l 被圆 C 截得的弦长 答案 1 设椭圆的焦距为 2c 左 右焦点分别为 F1 c 0 F2 c 0 由椭圆的离心率为 可得 即 所以 a 2b b c 32 32 2 2 2 34 33 以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为 b 2c 即 c 2c 12 3 12 33 3 11 页 所以 c 则 a 2 b 1 3 所以椭圆的方程为 y2 1 圆 C 的方程为 x 2 2 y 1 2 4 24 2 当直线 l 的斜率不存在时 直线方程为 x 0 与圆 C 相切 不符合题意 当直线 l 的斜率存在时 设直线方程为 y kx 由 可得 k 2 1 x2 2k 4 x 1 0 2 2 1 2 4 由条件可得 2k 4 2 4 k2 1 0 即 k 34 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 x1x2 2 4 2 1 1 2 1 y1 y2 k x1 x2 y1y2 k2x1x2 2 2 4 2 1 2 2 1 而圆心 C 的坐标为 2 1 则 x1 2 y1 1 x2 2 y2 1 所以 x1 2 x2 2 y1 1 y2 1 2 即 x1x2 2 x1 x2 y1y2 y1 y2 5 2 所以 2 5 2 解得 k 0 或 k 1 2 1 2 4 2 1 2 2 12 2 4 2 1 43 当 k 0 时 在圆 C 中 令 y 0 可得 x 2 或 x 2 故直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 3 3 3 当 k 时 直线 l 的方程为 4x 3y 0 圆心 C 2 1 到直线 l 的距离 d 1 43 8 3 5 故直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 2 22 12 3 综上可知 直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 3 解析 本题主要考查椭圆与圆的方程的求解 直线与圆的位置关系 考查考生的逻辑思维能力及运算求解 能力 备注 高考对圆锥曲线的考查主要围绕椭圆的标准方程 几何性质 直线与椭圆的位置关系等展开 因此 猜想 2016 年新课标全国卷 对圆锥曲线的考查仍会以直线与椭圆的位置关系为重点 试题的命制点应该是 有关直线被圆锥曲线截得的弦长 三角形的面积 向量的数量积等的最值 取值范围问题 也可能会设置成 以定值 定点 定直线的存在性为主的探究性问题 21 已知函数 f x x alnx a R 1 12 页 1 若函数 f x 在 1 上单调递增 求实数 a 的取值范围 2 试讨论函数 f x 极值的情况 答案 1 因为函数 f x 在 1 上单调递增 所以 f x 1 0 在 1 上恒成立 即 a x 在 1 1 2 1 上恒成立 又 x 2 当且仅当 x 1 时等号成立 所以 a 2 1 故实数 a 的取值范围是 2 2 f x 1 x 0 令 f x 0 得 x2 ax 1 0 1 2 2 1 2 i 当 a2 4 0 即 2 a 2 时 f x 0 函数 f x 在 0 上单调递增 此时函数 f x 无极值 ii 当 a2 4 0 即 a2 时 由 x2 ax 1 0 得 x1 x2 2 42 2 42 若 a0 得 0 x 2 42 2 42 由 f x 0 得 x 2 42 2 42 所以当 a2 则 x1 0 x20 时 f x 0 函数 f x 在 0 上单调递增 此时函数 f x 无极值 综上可得 当 a 2 时 函数 f x 无极值 当 a 2 时 函数 f x 的极大值为 aln 极小值为 2 4 2 42 aln 2 4 2 42 13 页 解析 本题主要考查函数的极值 函数的单调性等知识 意在考查考生的运算求解能力及分类讨论思想 对于 1 由题意将问题转化为不等式恒成立问题解决 对于 2 先求出函数 f x 的导函数 再利用分类讨论的方 法讨论其极值 备注 高考对导数的考查通常以与对数相关的函数为载体 利用导数研究函数的单调性 极值 最值以及 不等式恒成立问题与不等式的证明 同时还考查分类讨论思想 转化与化归思想 函数与方程思想等 这是 考查导数的主要潮流 也是 2016 年高考的命题趋势与方向 22 如图所示 在 ABC 中 CD 是 ACB 的平分线 ADC 的外接圆交线段 BC 于点 E BE 3AD 1 求证 AB 3AC 2 当 AC 4 AD 3 时 求 CD 的长 答案 1 因为四边形 ACED 为圆内接四边形 所以 BDE BCA 又 DBE CBA 所以 BDE BCA 则 在圆内接四边形 ACED 中 CD 是 ACE 的平分线 所以 DE AD 又 BE 3AD 所以 AB 3AC 2 由 1 得 AB 3AC 12 而 AD 3 所以 DE 3 BD 9 BE 3AD 9 根据割线定理得 BD BA BE BC 所以 BC 12 EC BC BE 3 在圆内接四边形 ACED 中 由于 AD EC 3 所以 ACD EDC DE AC 故在等腰梯形 ACED 中 易求得 CD 21 解析 本题主要考查三角形相似 割线定理等知识 考查考生的逻辑推理能力与运算求解能力 备注 求解或证明直线与圆的位置关系问题 要注意分析条件 选用相应的性质定理和判定定理 如出现切 线则考虑是否可选用弦切角定理 切割线定理 出现比例问题则考虑是否可选用切割线定理 相交弦定理及 三角形相似 出现直径则考虑是否可选用射影定理及直径所对的圆周角为直角等知识 14 页 23 已知直线 l 经过点 P 1 1 倾斜角 6 1 写出直线 l 的参数方程 2 设直线 l 与圆 为参数 R 相交于 A B 两点 求点 P 到 A B 两点的距离之积 2 2 答案 1 由题意知 直线 l 的参数方程为 t 是参数 1 32 1 12 2 因为点 A B 都在直线 l 上 所以可设点 A B 所对应的参数分别为 t1 和 t2 则点 A B 的坐标分别为 1 t1 1 t1 1 t2 1 t2 32 12 32 12 将直线 l 的参数方程代入圆的普通方程 x2 y2 4 整理得 t2 1 t 2 0 3 因为 t1 和 t2 是方程 的解 所以 t1t2 2 所以 PA PB t1t2 2 2 解析 本题主要考查直线与圆的参数方程 直线与圆的位置关系等知识 考查考生的运算求解能力和转化 与化归思想 备注 求解直线 曲线的参数方程和极坐标方程的综合题 通常情况下是将参数方程转化为普通方程 极 坐标方程转化为直角坐标方程 将所要解决的问题统一到直角坐标系中进行处理 但在转化过程中必须注意 其等价性 24 已知函数 f x x a 1 若不等式 f x 1 1 的解集为 A 且 3 A 4 A 求实数 a 的取值范围 2 若关于 x 的不等式 f 2x a 2f x 2 的解集为 x x 求正实数 a 的值 12 32 答案 1 由 f x 1 1 得 1 x a 1 1 即 0 x a 2 即 2 x a 2 a 2 x a 2 所以 a 2 3 a 2 且 a 24 解得 1 a 2 所以实数 a 的取值范围是 1 2 2 记 h x f 2x a 2f x 2x 2 x a 15 页 则 h x 由 h x 2 得 2 04 2 0 2 4x 2a 2 得 x 12 12 由 h x 2 的解集为 x x 得 得 a 2 12 32 12 12 12 32 解析 本题主要考查绝对值不等式的解法 考查考生的运算求解能力和对零点分段法的应用能力 备注 求绝对值不等式 ax b cx d m 的解集通常利用零点分段法 如果 a c 则常考虑利用三角不等 式求最值