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名校专题-圆锥曲线培优训练51、设椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点 （）求椭圆E的方程； （）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B, 且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，），N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为 4分（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则=,即 要使,需使,即,所以,所以又, 所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且因为,所以, 8分当时，因为所以,所以,所以当且仅当时取“=”时,当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时, 12分综上, |AB |的取值范围为即: 14分2、如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在轴上的截距为，l交椭圆于A、B两个不同点 （1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围； （3）求证直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形 解：（1）设椭圆方程为 则 2分椭圆方程 4分 （2）直线l平行于OM，且在轴上的截距为m，又 l的方程为：由 6分直线l与椭圆交于A、B两个不同点， m的取值范围是 （3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1k2=0即可设可得 8分而 10分k1k2=0故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形 12分3已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且（1）求椭圆的方程；（2）若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明理由解：（1）设点的坐标分别为，则故，可得， 2分所以，4分故，所以椭圆的方程为 6分（2）设的坐标分别为，则，又，可得，即， 8分又圆的圆心为半径为，故圆的方程为，即，也就是， 11分令，可得或2，故圆必过定点和 13分（另法：（1）中也可以直接将点坐标代入椭圆方程来进行求解；（2）中可利用圆C直径的两端点直接写出圆的方程）4、已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且(1)求动点P所在曲线C的方程；(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；(3)记，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立若存在，求出的值；若不存在，请说明理由进一步思考问题：若上述问题中直线、点、曲线C：，则使等式成立的的值仍保持不变请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)解(1) 设动点为，依据题意，有，化简得 3分因此，动点P所在曲线C的方程是：4分(2) 点F在以MN为直径的圆的外部理由：由题意可知，当过点F的直线的斜率为0时，不合题意，故可设直线：，如图所示 5分联立方程组，可化为，则点的坐标满足 7分又、，可得点、因，则=9分于是，为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部 10分(3)依据(2)可算出，则 ， 14分所以，即存在实数使得结论成立 15分 对进一步思考问题的判断：正确 18分5、已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线(是正常数)的距离为，到点的距离为，且1(1)求动点P所在曲线C的方程；(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，求证=；(3)记，(A、B、是(2)中的点)，求的值解(1) 设动点为，依据题意，有，化简得4分因此，动点P所在曲线C的方程是： 6分由题意可知，当过点F的直线的斜率为0时，不合题意，故可设直线：，如图所示 8分联立方程组，可化为，则点的坐标满足 10分又、，可得点、于是，因此 12分(3)依据(2)可算出，则 ， 16分所以，即为所求 18分6、已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为（1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程；（3）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：（1）由， ，得，所以椭圆方程是：4分（2）设EF：（）代入，得，设，由，得由，8分得，（舍去），（没舍去扣1分）直线的方程为：即10分（3）将代入，得（*）记，PQ为直径的圆过，则，即，又，得14分解得，此时（*）方程，存在，满足题设条件16分7、已知点，动点满足条件，记动点的轨迹为。（1）求的方程；（2）过作直线交曲线于两点，使得2，求直线的方程。（3）若从动点向圆：作两条切线，切点为、，令|PC|=d,试用d来表示，并求的取值范围。解：（1）由，知点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线即设，所以所求的的方程为 4分（2）若k不存在，即x=2时,可得A(2,)，B(2,-),|AB|=2满足题意； 5分若k存在，可设l:y=k(x-2)联立，由题意知且 6分设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 即 =2 k=0 即l:y=0 8分所以直线l的方程为 x=0或y=0 9分（3） 又则- 13分在是增函数， 则所求的的范围为。 16分8、在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆的左、右顶点分别为，椭圆的右焦点为，过作一条垂直于轴的直线与椭圆相交于，若线段的长为。（1）求椭圆的方程；（2）设是直线上的点，直线与椭圆分别交于点，求证：直线必过轴上的一定点，并求出此定点的坐标；（3）实际上，第（2）小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物线写出一个更一般的结论，并加以证明。 A B Q O M N x y 9（1）依题意，椭圆过点，故，解得。（3分）椭圆的方程为。（4分）（2）设，直线的方程为，（5分）代入椭圆方程，得， （6分）设，则，（7分），故点的坐标为。（8分）同理，直线的方程为，代入椭圆方程，得，设，则，。可得点的坐标为。（10分）若时，直线的方程为，与轴交于点；若，直线的方程为，令，解得。综上所述，直线必过轴上的定点。（12分）（3）结论：已知抛物线的顶点为，为直线上一动点，过点作轴的平行线与抛物线交于点，直线与抛物线交于点，则直线必过定点。（14分）证明：设，则， P O M N x y 直线的方程为，代入，得，可求得。（16分）直线的方程为，令，得，即直线必过定点。（18分）9、已知椭圆中心为，右顶点为，过定点作直线交椭圆于、两点.（1）若直线与轴垂直，求三角形面积的最大值； （2）若，直线的斜率为，求证：；（3）直线和的斜率的乘积是否为非零常数？请说明理由.解：设直线与椭圆的交点坐标为.（1）把代入可得：， （2分）则，当且仅当时取等号 （4分）（2）由得，（6分）所以 （9分）（3）直线和的斜率的乘积是一个非零常数. （11分）当直线与轴不垂直时，可设直线方程为：，由消去整理得则 又 （13分）所以（15分）当直线与轴垂直时，由得两交点，显然.所以直线和的斜率的乘积是一个非零常数.（16分）10、定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆。若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围？如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点，证明：23解：（1）椭圆与相似。-2分因为椭圆的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为-4分（2）椭圆的方程为：-6分设，点，中点为，则，所以-8分则 -9分因为中点在直线上，所以有，-10分即直线的方程为：，由题意可知，直线与椭圆有两个不同的交点，即方程有两个不同的实数解，所以，即-12分 （3）证明：直线与轴垂直时，易得线段AB与CD的中点重合，所以；-14分直线不与轴垂直时，设直线的方程为：，线段AB的中点，-15分线段AB的中点为-16分同理可得线段CD的中点为，-17分即线段AB与CD的中点重合，所以-1813
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