惠州市2017届高三第二次调研考试数学(理科)试题(附参考答案)

惠州市2017届高三第二次调研考试数学（理科）试题一选择题：本大题共12小题，每小题5分。（1）若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点的坐标为（ ）（A） （B） （C） （D）（2）已知全集，集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）（3）如图，在正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点，那么（ ）（A） （B） （C） （D）（4）已知为等比数列，则（ ）（A） （B） （C） （D）（5）已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）（A） （B） （C） （D）（6）已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）（7）设是等差数列的前项和，若，则（ ）（A） （B） （C）（D）（8）如图给出了计算的值的程序框图，其中分别是（ ）（A）， （B）， （C）， （D），（9）已知函数的最小正周期是，将函数图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数（ ）（A）在区间上单调递减 （B）在区间上单调递增（C）在区间上单调递减 （D）在区间上单调递增（10）若的展开式中含有常数项，则的最小值等于（ ）（A） （B） （C） （D）（11）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（ ）正视图侧视图俯视图（A）外接球的半径为 （B）表面积为 （C）体积为 （D）外接球的表面积为（12）已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当成立(是函数的导函数), 若，, 则的大小关系是（ ） （A） （B） （C） （D） 二填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）若直线（，）经过圆的圆心，则的最小值为_（14）已知直线与曲线相切，则的值为_（15）已知、满足不等式组 ，则的最大值是 （16）在正四棱锥中，直线与平面所成角为，为的中点，则异面直线与所成角的大小为_1、 选择题：题号123456789101112答案二、填空题：13. ；14. ；15. ； 16. ； 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）在中，角,所对的边分别为,，已知（）求角的大小；（）如果，求的面积（18）（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）.（）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（）从盒子中随机抽取个小球，其中重量在内的小球个数为，求的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).（19）（本小题满分12分） 如图，四边形是矩形，是的中点，与交于点，平面.（）求证：面；（）若，求直线与平面所成角的正弦值. （20）（本小题满分12分）已知点，点是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点（）求点的轨迹方程；（）若直线与点的轨迹有两个不同的交点和，且原点总在以为直径的圆的内部，求实数的取值范围（21）（本小题满分12分）已知函数，.（）函数的图象与的图象无公共点，求实数的取值范围；（）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出整数的最大值；若不存在，请说理由. （参考数据：，,）.请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知过点的直线的参数方程是（为参数）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程式为.（）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（）若直线与曲线交于两点，且，求实数的值 (23)（本小题满分10分）选修 4-5：不等式选讲设函数 （）解不等式；（）若存在使不等式成立，求实数的取值范围惠州市2017届高三第二次调研考试数 学（理科）答案与评分标准一选择题：本大题共12小题，每小题5分。题号123456789101112答案DADBCDACBCBA （1）解析：z=，故选D.（2）【解析】 , 所以 ，故选A （3）【解析】解析：在CEF中，.因为点E为DC的中点，所以.因为点F为BC的一个三等分点，所以.所以，故选D.(4)【解析】由得，所以，所以，所以，故选B.(5)【解析】因为已知随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称，又，所以， 所以，故选C(6)【解析】任取一焦点到一条渐近线的距离为，则，有，故选D(7)【解析】因为，由等差数列前项和公式得，故选A (8)【解析】因为2,4,6,8，60构成等差数列，首项为2，公差为2，所以22(n1)60，解得n30，所以该程序循环了30次，即i30，nn2，故选C(9)【解析】依题 , ，平移后得到的函数是，其图象过（0，1），因为， ，故选B(10)【解析】由展开式的通项公式， 得即有符合条件的解， 当时，的最小值等于5，故选C(11)【解析】观察三视图可知，该几何体是一三棱锥底面等腰三角形底边长为2，高为1，有一侧面是正三角形且垂直于底面，该几何体高为，根据图中数据，另两侧面为腰长为2，底边长为的等腰三角形，所以其表面积为，故选B.(12)【解析】函数的图象关于直线对称，关于轴对称， 函数为奇函数. 因为， 当时，函数单调递减， 当时，函数单调递减.， ，故选A.二填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）4， （14）， （15） 6， （16）(13) 圆心坐标为 ， (14) 【解析】根据题意，求得，从而求得切点为，该点在切线上，从而求得，即.(15)【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用z的几何意义求最大值 x, y满足不等式组表示的可行域如图：目标函数为当时，取得最大值是6.（16）【解析】如图，由题意易知，因为，所以为异面直线与所成角，又，中，得为等腰直角三角形，故异面直线与所成角为. 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）解：3分4分5分由正弦定理得：6分8分9分解得：10分的面积12分（18）（本小题满分12分）解（）由题意，得，1分解得； 2分又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克）3分 而个样本小球重量的平均值为：（克） 5分故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克； （）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为， 6分则.的可能取值为、， 7分，. 9分 的分布列为： 10分.（或者）12分 （19）（本小题满分12分）19. 证法1： 四边形为矩形， 1分 又矩形中， 在中， ， 在中， ，即 3分 平面，平面 4分 又，平面 平面 5分证法2：（坐标法）证明，得，往下同证法1证法3：（向量法）以为基底， ， ，往下同证法1 （2）在中， 在中， 7分 在中， 9分 设点到平面的距离为，则 ， 11分 设直线与平面所成角的大小为，则 12分xyz另法：由（1）得两两垂直,以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，6分 则， ， ， 8分 设是平面的法向量，则 ，即，取，得10分 设直线与平面所成角的大小为，则 直线与平面所成角的正弦值为 12分（20）（本小题满分12分）解：由题意知：，的轨迹是以、为焦点的椭圆，其轨迹方程为4分设，则将直线与椭圆的方程联立得：，消去，得：，6分原点总在以为直径的圆的内部即7分而9分即，且满足式的取值范围是12分（21）（本小题满分12分） 21. 解：（）函数与无公共点， 等价于方程在无解 . 2分 令，则令得0增极大值减 因为是唯一的极大值点，故4分 故要使方程在无解， 当且仅当故实数的取值范围为.5分（）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立. 即对恒成立.6分 令，则， 令，则，7分 在上单调递增， 且的图象在上连续， 存在，使得，即，则，9分 当时，单调递减； 当时，单调递增， 则取到最小值， ，即在区间内单调递增.11分 ， 存在实数满足题意，且最大整数的值为. 12分 22. （本小题满分10分） 解：（）直线的参数方程是，（为参数），消去参数可得分由，得，可得的直角坐标方程：分（）把（为参数），代入，得，分由，解得，解得或1又满足实数或1分23.（本小题满分10分） 解：（） 2分 4分 5分 综上，不等式的解集为： 6分 （）存在使不等式成立7分 由（）知，时， 时， 8分 9分 实数的取值范围为 10分理科数学试题 第 15 页 （共 15 页）