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高等数学（下册）期末考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 =的定义域为D= 。2、二重积分的符号为 。3、由曲线及直线，所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。4、设曲线L的参数方程表示为则弧长元素 。5、设曲面为介于及间的部分的外侧，则 。6、微分方程的通解为 。7、方程的通解为 。8、级数的和为 。二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数在处可微的充分条件是（ ） （A）在处连续；（B），在的某邻域内存在；（C） 当时，是无穷小；（D）。2、设其中具有二阶连续导数，则等于（ ）（A）； （B）； (C)； (D)0 。3、设：则三重积分等于（ ）（A）4；（B）；（C）；（D）。4、球面与柱面所围成的立体体积V=（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。5、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数在D上具有一阶连续偏导数，则 （A）； （B）； （C）； （D）。6、下列说法中错误的是（ ）（A） 方程是三阶微分方程；（B） 方程是一阶微分方程；（C） 方程是全微分方程；（D） 方程是伯努利方程。7、已知曲线经过原点，且在原点处的切线与直线平行，而 满足微分方程，则曲线的方程为（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。8、设 , 则（ ） （A）收敛； （B）发散； （C）不一定； （D）绝对收敛。三、求解下列问题（共计15分）1、（7分）设均为连续可微函数。，求。2、（8分）设，求。四、求解下列问题（共计15分）。1、计算。（7分）2、计算，其中是由所围成的空间闭区域（8分）五、（13分）计算，其中L是面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点的封闭曲线的逆时针方向。 六、（9分）设对任意满足方程，且存在，求。七、（8分）求级数的收敛区间。高等数学（下册）期末考试试卷（二）1、设，则 。2、 。3、设，交换积分次序后， 。4、设为可微函数，且则 。 5、设L为取正向的圆周，则曲线积分 。6、设，则 。7、通解为的微分方程是 。8、设，则它的Fourier展开式中的 。二、选择题（每小题2分，共计16分）。1、设函数 ,则在点（0，0）处（ ） （A）连续且偏导数存在； （B）连续但偏导数不存在； （C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在。2、设在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足 及 ，则（ ） （A）最大值点和最小值点必定都在D的内部； （B）最大值点和最小值点必定都在D的边界上； （C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上； （D）最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。3、设平面区域D：，若，则有（ ） （A）； （B） ； （C）； （D）不能比较。4、设是由曲面及 所围成的空间区域，则 =（ ） （A）； （B）； （C） ； （D）。5、设在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为 ，其中在上具有一阶连续导数，且， 则曲线积分（ ）(A) ； (B) ；(C) ； (D)。6、设是取外侧的单位球面， 则曲面积分 =（ ）(A) 0 ； (B) ； (C) ； (D)。7、下列方程中，设是它的解，可以推知也是它的解的方程是（ ） (A) ； (B) ；(C) ； (D) 。8、设级数为一交错级数，则（ ） (A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若，则必收敛。三、求解下列问题（共计15分） 1、（8分）求函数在点A（0，1，0）沿A指向点B（3，-2，2）的方向的方向导数。 2、（7分）求函数在由直线所围成的闭区域D上的最大值和最小值。四、求解下列问题（共计15分） 1、（7分）计算，其中是由及 所围成的立体域。 2、（8分）设为连续函数，定义，其中，求。五、求解下列问题（15分） 1、（8分）求，其中L是从A（a，0）经到O（0，0）的弧。 2、（7分）计算，其中是 的外侧。六、（15分）设函数具有连续的二阶导数，并使曲线积分与路径无关，求函数。高等数学（下册）期末考试试卷（三）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、设， 则 。 2、函数在点（0，0）处沿的方向导数= 。 3、设为曲面所围成的立体，如果将三重积分化为先对再对最后对三次积分，则I= 。 4、设为连续函数，则 ，其中。 5、 ，其中。 6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数，在上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式： ， 该关系式称为 公式。 7、微分方程的特解可设为 。 8、若级数发散，则 。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、设存在，则=（ ） （A）；（B）0；（C）2；（D）。 2、设，结论正确的是（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。3、若为关于的奇函数，积分域D关于轴对称，对称部分记为，在D上连续，则（ ） （A）0；（B）2；（C）4； (D)2。 4、设：，则=（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。5、设在面内有一分布着质量的曲线L，在点处的线密度为，则曲线弧的重心的坐标为（ ）（）=； （B）=； （C）=； （D）=, 其中M为曲线弧的质量。、设为柱面和在第一卦限所围成部分的外侧，则 曲面积分（ ）（A）0； （B）； （C）； （D）。、方程的特解可设为（ ）（A），若； （B），若；（C），若；（D），若。、设，则它的Fourier展开式中的等于（）（A）； （B）0； （C）； （D）。三、（分）设为由方程 确定的的函数，其中具有一阶连续偏导数，求。四、（分）在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短。五、（分）求圆柱面被锥面和平面割下部分的面积。六、（分）计算，其中为球面 的部分的外侧。七、（10分）设，求。八、（10分）将函数展开成的幂级数。高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案一、1、当时，；当时，；2、负号； 3、； 4、；5、180； 6、；7、； 8、1；二、1、D； 2、D； 3、C； 4、B； 5、D； 6、B； 7、A； 8、C；三、1、；2、；四、1、；2、；五、令则，； 于是当L所围成的区域D中不含O（0，0）时，在D内连续。所以由Green公式得：I=0；当L所围成的区域D中含O（0，0）时，在D内除O（0，0）外都连续，此时作曲线为，逆时针方向，并假设为及所围成区域，则六、由所给条件易得： 又 = 即 即 又 即 七、令，考虑级数 当即时，亦即时所给级数绝对收敛；当即或时，原级数发散；当即时，级数收敛；当即时，级数收敛；级数的半径为R=1，收敛区间为1，3。高等数学（下册）考试试卷（二）参考答案一、1、1； 2、-1/6； 3、 ； 4、；5、； 6、； 7、； 8、0；二、1、C； 2、B； 3、A； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、C；三、1、函数在点A（1，0，1）处可微，且； 而所以,故在A点沿方向导数为： + 2、由得D内的驻点为且， 又 而当时， 令得 于是相应且 在D上的最大值为，最小值为四、1、的联立不等式组为所以 2、在柱面坐标系中 所以 五、1、连接，由公式得：2、作辅助曲面 ，上侧，则由Gauss公式得： += = = 六、由题意得：即特征方程，特征根对应齐次方程的通解为：又因为是特征根。故其特解可设为：代入方程并整理得：即 故所求函数为：高等数学（下册）考试试卷（三）参考答案一、1、； 2、； 3、；4、； 6、，公式； 7、 8、。二、1、C； 2、B； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B 三、由于，由上两式消去，即得： 四、设为椭圆上任一点，则该点到直线的距离为 ；令，于是由： 得条件驻点： 依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中即为所求。五、曲线在面上的 投影为 于是所割下部分在面上的投影域为：， 由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。 六、将分为上半部分和下半部分， 在面上的投影域都为：于是： ； ， =七、因为，即 所以 八、 又 高等数学（下册）期末考试试卷（四）一、 填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量、满足，则 2、设，则 3、曲面在点处的切平面方程为 4、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则的傅里叶级数在处收敛于 ，在处收敛于 5、设为连接与两点的直线段，则 以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级二、 解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线在点处的切线及法平面方程2、求由曲面及所围成的立体体积3、判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？4、设，其中具有二阶连续偏导数，求5、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部三、 （本题满分9分） 抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值 四、 （本题满分10分）计算曲线积分，其中为常数，为由点至原点的上半圆周五、 （本题满分10分）求幂级数的收敛域及和函数六、 （本题满分10分）计算曲面积分，其中为曲面的上侧七、 （本题满分6分）设为连续函数，其中是由曲面与所围成的闭区域，求 -备注：考试时间为2小时；考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】参考解答与评分标准 2009年6月一、 填空题【每小题4分，共20分】 1、； 2、；3、； 4、3，0； 5、.二、 试解下列各题【每小题7分，共35分】1、解：方程两边对求导，得， 从而，.【4】该曲线在处的切向量为.【5】故所求的切线方程为.【6】法平面方程为 即 .【7】、解：，该立体在面上的投影区域为.【2】故所求的体积为.【7】、解：由，知级数发散【3】 又,.故所给级数收敛且条件收敛【7】、解：， 【3】【7】、解：的方程为，在面上的投影区域为又，.【】故.【7】三、【9分】解：设为该椭圆上的任一点，则点到原点的距离为【1】令，则由，解得，于是得到两个可能极值点【7】又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得故 【9】四、【10分】 解：记与直线段所围成的闭区域为，则由格林公式，得【5】而【8】 【10】五、【10分】解：，收敛区间为 【2】又当时，级数成为，发散；当时，级数成为，收敛【4】故该幂级数的收敛域为【5】令（），则, () 【8】于是，（）.【10】六、【10分】解：取为的下侧，记与所围成的空间闭区域为，则由高斯公式，有. 【5】 .【7】而. 【9】. 【10】七、【6分】解：. 【2】. 【4】故 【6】 19 / 19
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