2018中考专题相似三角形

2018中考数学专题相似形（共40题）1如图，ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，BAC=DAE=90，点P为射线BD，CE的交点（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把ADE绕点A旋转，当EAC=90时，求PB的长；2如图，直角ABC中，BAC=90，D在BC上，连接AD，作BFAD分别交AD于E，AC于F（1）如图1，若BD=BA，求证：ABEDBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：GM=2MC；AG2=AFAC3如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AGBC于点G，AFDE于点F，EAF=GAC（1）求证：ADEABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值4如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BFDE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G（1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求的值5（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AEBF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将 （1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AEBF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论6如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分BAD，点P是AC延长线上一点，且PDAD（1）证明：BDC=PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长7ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BAC=EDF=90，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合，将DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q（1）如图，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：BPECQE；（2）如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长8如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EHBC分别交AF，CD于G，H两点（1）求证：DE=DC；（2）求证：AFBF；（3）当AFGF=28时，请直接写出CE的长9在RtABC中，BAC=90，过点B的直线MNAC，D为BC边上一点，连接AD，作DEAD交MN于点E，连接AE（1）如图1，当ABC=45时，求证：AD=DE；（2）如图2，当ABC=30时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由10如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿DCB向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FGDE于点G，交AB于点R（1）求证：AF=AR；（2）设点P运动的时间为t，求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？如图2，连接PB请直接写出使PRB是等腰三角形时t的值11如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明12将两块全等的三角板如图1摆放，其中A1CB1=ACB=90，A1=A=30（1）将图1中A1B1C绕点C顺时针旋转45得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？（3）将图2中A1B1C绕点C顺时针旋转到A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点当旋转角为多少度时，有AP1CCP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？13把RtABC和RtDEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上已知：ACB=EDF=90，DEF=45，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm如图（2），DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向ABC匀速移动，在DEF移动的同时，点P从ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，DEF也随之停止移动DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；（3）当t为何值时，APQ是等腰三角形14ABC，A、B、C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E（1）如图，若DE将ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）（2）如图，若AC=3，AB=5，BC=4DE将ABC分成周长、面积相等的两部分，求AD；（3）如图，若DE将ABC分成周长、面积相等的两部分，且DEBC，则a、b、c满足什么关系？15已知：如图，四边形ABCD是正方形，PAQ=45，将PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角EBC和FDC的平分线分别交于点M和N，连接MN（1）求证：ABMNDA；（2）连接BD，当BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明16如图，在锐角ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且AFE=A，DMEF交AC于点M（1）点G在BE上，且BDG=C，求证：DGCF=DMEG；（2）在图中，取CE上一点H，使CFH=B，若BG=1，求EH的长17ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，EDF=B（1）如图1，求证：DECD=DFBE（2）D为BC中点如图2，连接EF求证：ED平分BEF；若四边形AEDF为菱形，求BAC的度数及的值18如图，在ABC 中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段 BC上，联接AD交线段PQ于点E，且=，点G在BC延长线上，ACG的平分线交直线PQ于点F（1）求证：PC=PE；（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形19如图，已知ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC（1）求证：AB=GD；（2）如图2，当CG=EG时，求的值20如图，在ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且DCB=EBC=A（1）求证：BODBAE；（2）求证：BD=CE；（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？21如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PEEF以每秒1个单位长的速度匀速运动点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止设点P、K运动的时间是t秒（t0）（1）当t=1时，KE= ，EN= ；（2）当t为何值时，APM的面积与MNE的面积相等？（3）当点K到达点N时，求出t的值；（4）当t为何值时，PKB是直角三角形？22如图（1），在ABC中，AD是BC边的中线，过A点作AEBC与过D点作DEAB交于点E，连接CE（1）求证：四边形ADCE是平行四边形（2）连接BE，AC分别与BE、DE交于点F、G，如图（2），若AC=6，求FG的长23已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M（1）如图1，当E、A、F在一直线上时，求证：点M为ED中点；（2）如图2，当AFED，求证：AM2=ABBM24已知，如图1，点D、E分别在AB，AC上，且=（1）求证：DEBC（2）已知，如图2，在ABC中，点D为边AC上任意一点，连结BD，取BD中点E，连结CE并延长CE交边AB于点F，求证：=（3）在（2）的条件下，若AB=AC，AF=CD，求的值25已知ABC，AC=BC，点E，F在直线AB上，ECF=A（1）如图1，点E，F在AB上时，求证：AC2=AFBE；（2）如图2，点E，F在AB及其延长线上，A=60，AB=4，BE=3，求BF的长26如图，正方形ABCD，EAF=45交BC、CD于E、F，交BD于H、G（1）求证：AD2=BGDH；（2）求证：CE=DG；（3）求证：EF=HG27如图，C为线段BD上一动点，过B、D分别作BD的垂线，使AB=BC，DE=DB，连接AD、AC、BE，过B作AD的垂线，垂足为F，连接CE、EF（1）求证：ACDF=BFBD；（2）点C运动的过程中，CFE的度数保持不变，求出这个度数；（3）当点C运动到什么位置时，CEBF？并说明理由28如图，在ABC中，点D在边AB上（不与A，B重合），DEBC交AC于点E，将ADE沿直线DE翻折，得到ADE，直线DA，EA分别交直线BC于点M，N（1）求证：DB=DM（2）若=2，DE=6，求线段MN的长（3）若=n（n1），DE=a，则线段MN的长为 （用含n的代数式表示）29如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A、D、G在同一直线上，且AD=3，DE=1，连接AC、CG、AE，并延长AE交OG于点H（1）求证：DAE=DCG（2）求线段HE的长30如图，ABC中，点E、F分别在边AB，AC上，BF与CE相交于点P，且1=2=A（1）如图1，若AB=AC，求证：BE=CF；（2）若图2，若ABAC，（1）中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由；求证：=31如图1，在锐角ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足AFE=A，DMEF交AC于点M（1）证明：DM=DA；（2）点G在BE上，且BDG=C，如图2，求证：DEGECF；（3）在图2中，取CE上一点H，使得CFH=B，若BG=5，求EH的长32如图，正方形ABCD中，边长为12，DEDC交AB于点E，DF平分EDC交BC于点F，连接EF（1）求证：EF=CF；（2）当=时，求EF的长33如图，已知在ABC中，P为边AB上一点，连接CP，M为CP的中点，连接BM并延长，交AC于点D，N为AP的中点，连接MN若ACP=ABD（1）求证：ACMN=BNAP；（2）若AB=3，AC=2，求AP的长34如图，已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在ABC内，CAE+CBE=90，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF（1）求证：CAECBF； （2）若BE=1，AE=2，求CE的长35如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，MPN=90，将MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，MPN的旋转随即停止（1）特殊情形：如图，发现当PM过点A时，PN也恰巧过点D，此时，ABP PCD（填“”或“”）；（2）类比探究：如图，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由36如图，点M是ABC内一点，过点M分别作直线平行于ABC的各边，所形成的三个小三角形1、2、3（图中阴影部分）的面积分别是1、4、25则ABC的面积是 37如图，ABC中，ACB=90，AC=5，BC=12，COAB于点O，D是线段OB上一点，DE=2，EDAC（ADE90），连接BE、CD设BE、CD的中点分别为P、Q（1）求AO的长；（2）求PQ的长；（3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PMMQ|的值38尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是ABC的中线，且AFBE，垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c求证：a2+b2=5c2该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连接EF，利用EF为ABC的中位线得到EPFBPA，故，设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在RtAPE，RtBPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程（2）利用题中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2+MH2的值39如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AED=B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且（1）求证：ADFACG；（2）若，求的值40如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K求证：K是线段MN的中点参考答案与试题解析（共40题）1（2017阿坝州）如图，ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，BAC=DAE=90，点P为射线BD，CE的交点（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把ADE绕点A旋转，当EAC=90时，求PB的长；【解答】解：（1）ABC和ADE是等腰直角三角形，BAC=DAE=90，AB=AC，AD=AE，DAB=CAEADBAECBD=CE（2）解：当点E在AB上时，BE=ABAE=1EAC=90，CE=同（1）可证ADBAECDBA=ECAPEB=AEC，PEBAEC=PB=当点E在BA延长线上时，BE=3EAC=90，CE=同（1）可证ADBAECDBA=ECABEP=CEA，PEBAEC=PB=综上所述，PB的长为或2（2017常德）如图，直角ABC中，BAC=90，D在BC上，连接AD，作BFAD分别交AD于E，AC于F（1）如图1，若BD=BA，求证：ABEDBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：GM=2MC；AG2=AFAC【解答】证明：（1）在RtABE和RtDBE中，ABEDBE；（2）过G作GHAD交BC于H，AG=BG，BH=DH，BD=4DC，设DC=1，BD=4，BH=DH=2，GHAD，=，GM=2MC；过C作CNAC交AD的延长线于N，则CNAG，AGMNCM，=，由知GM=2MC，2NC=AG，BAC=AEB=90，ABF=CAN=90BAE，ACNBAF，=，AB=2AG，=，2CNAG=AFAC，AG2=AFAC3（2017杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AGBC于点G，AFDE于点F，EAF=GAC（1）求证：ADEABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值【解答】解：（1）AGBC，AFDE，AFE=AGC=90，EAF=GAC，AED=ACB，EAD=BAC，ADEABC，（2）由（1）可知：ADEABC，=由（1）可知：AFE=AGC=90，EAF=GAC，EAFCAG，=4（2017眉山）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BFDE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G（1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求的值【解答】解：（1）BFDE，GFD=90，BCG=90，BGC=DGF，CBG=CDE，在BCG与DCE中，BCGDCE（ASA），BG=DE，（2）设CG=1，G为CD的中点，GD=CG=1，由（1）可知：BCGDCE（ASA），CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，sinCDE=，GF=，ABCG，ABHCGH，=，BH=，GH=，=5（2017河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AEBF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将 （1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AEBF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABC=C，AB=BCAEBF，AMB=BAM+ABM=90，ABM+CBF=90，BAM=CBF在ABE和BCF中，ABEBCF（ASA），AE=BF；（2）解：AE=BF，理由：四边形ABCD是矩形，ABC=C，AEBF，AMB=BAM+ABM=90，ABM+CBF=90，BAM=CBF，ABEBCF，=，AE=BF6（2017泰安）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分BAD，点P是AC延长线上一点，且PDAD（1）证明：BDC=PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长【解答】（1）证明：AB=AD，AC平分BAD，ACBD，ACD+BDC=90，AC=AD，ACD=ADC，ADC+BDC=90，PDAD，ADC+PDC=90，BDC=PDC；（2）解：过点C作CMPD于点M，BDC=PDC，CE=CM，CMP=ADP=90，P=P，CPMAPD，=，设CM=CE=x，CE：CP=2：3，PC=x，AB=AD=AC=1，=，解得：x=，故AE=1=7（2017天水）ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BAC=EDF=90，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合，将DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q（1）如图，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：BPECQE；（2）如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长【解答】（1）证明：ABC是等腰直角三角形，B=C=45，AB=AC，AP=AQ，BP=CQ，E是BC的中点，BE=CE，在BPE和CQE中，BPECQE（SAS）；（2）解：ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，B=C=DEF=45，BEQ=EQC+C，即BEP+DEF=EQC+C，BEP+45=EQC+45，BEP=EQC，BPECEQ，=，BP=2，CQ=9，BE=CE，BE2=18，BE=CE=3，BC=68（2017绥化）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EHBC分别交AF，CD于G，H两点（1）求证：DE=DC；（2）求证：AFBF；（3）当AFGF=28时，请直接写出CE的长【解答】解：（1）四边形ABCD是矩形，ABCD，DCE=CEB，EC平分DEB，DEC=CEB，DCE=DEC，DE=DC；（2）如图，连接DF，DE=DC，F为CE的中点，DFEC，DFC=90，在矩形ABCD中，AB=DC，ABC=90，BF=CF=EF=EC，ABF=CEB，DCE=CEB，ABF=DCF，在ABF和DCF中，ABFDCF（SAS），AFB=DFC=90，AFBF；（3）CE=4理由如下：AFBF，BAF+ABF=90，EHBC，ABC=90，BEH=90，FEH+CEB=90，ABF=CEB，BAF=FEH，EFG=AFE，EFGAFE，=，即EF2=AFGF，AFGF=28，EF=2，CE=2EF=49（2017雨城区校级自主招生）在RtABC中，BAC=90，过点B的直线MNAC，D为BC边上一点，连接AD，作DEAD交MN于点E，连接AE（1）如图1，当ABC=45时，求证：AD=DE；（2）如图2，当ABC=30时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由【解答】（1）证明：如图1，过点D作DFBC，交AB于点F，则BDE+FDE=90，DEAD，FDE+ADF=90，BDE=ADF，BAC=90，ABC=45，C=45，MNAC，EBD=180C=135，BFD=45，DFBC，BFD=45，BD=DF，AFD=135，EBD=AFD，在BDE和FDA中，BDEFDA（ASA），AD=DE；（2）解：DE=AD，理由：如图2，过点D作DGBC，交AB于点G，则BDE+GDE=90，DEAD，GDE+ADG=90，BDE=ADG，BAC=90，ABC=30，C=60，MNAC，EBD=180C=120，ABC=30，DGBC，BGD=60，AGD=120，EBD=AGD，BDEGDA，=，在RtBDG中，=tan30=，DE=AD10（2017深圳模拟）如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿DCB向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FGDE于点G，交AB于点R（1）求证：AF=AR；（2）设点P运动的时间为t，求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？如图2，连接PB请直接写出使PRB是等腰三角形时t的值【解答】（1）证明：如图，在正方形ABCD中，AD=AB=2，AE=AB，AD=AE，AED=ADE=45，又FGDE，在RtEGR中，GER=GRE=45，在RtARF中，FRA=AFR=45，FRA=RFA=45，AF=AR；（2）解：如图，当四边形PRBC是矩形时，则有PRBC，AFPR，EAFERP，即：由（1）得AF=AR，解得：或（不合题意，舍去），点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿DCB向终点B运动，（秒）；若PR=PB，过点P作PKAB于K，设FA=x，则RK=BR=（2x），EFAEPK，即：=，解得：x=3（舍去负值）；t=（秒）；若PB=RB，则EFAEPB，=，BP=AB=2=CP=BCBP=2=，（秒）综上所述，当PR=PB时，t=；当PB=RB时，秒11（2017江汉区校级模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，ABD是等腰直角三角形，2AB2=BD2，BD=，AB=1，正方形ABCD的边长为1；（2）CN=2EM证明方法一、理由：四边形ABCD是正方形，ACBD，OA=OCCF=CA，CE是ACF的平分线，CEAF，AE=FEEO为AFC的中位线EOBC在RtAEN中，OA=OCEO=OC=AC，CM=EMCE平分ACF，OCM=BCN，NBC=COM=90，CBNCOM，CN=CM，即CN=2EM证明方法二、四边形ABCD是正方形，BAC=45=DBC，由（1）知，在RtACE中，EO=AC=CO，OEC=OCE，CE平分ACF，OCE=ECB=OEC，EOBC，EOM=DBC=45，OEM=OCEEOMCAN，CN=2CM12（2017济宁二模）将两块全等的三角板如图1摆放，其中A1CB1=ACB=90，A1=A=30（1）将图1中A1B1C绕点C顺时针旋转45得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？（3）将图2中A1B1C绕点C顺时针旋转到A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点当旋转角为多少度时，有AP1CCP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？【解答】（1）证明：B1CB=45，B1CA1=90，B1CQ=BCP1=45；又B1C=BC，B1=B，B1CQBCP1（ASA）CQ=CP1；（2）解：如图：作P1DAC于D，A=30，P1D=AP1；P1CD=45，=sin45=，CP1=P1D=AP1；又AP1=a，CQ=CP1，CQ=a；（3）解：当P1CP2=P1AC=30时，由于CP1P2=AP1C，则AP1CCP1P2，所以将图2中A1B1C绕点C顺时针旋转30到A2B2C时，有AP1CCP1P2这时=，P1P2=CP113（2017惠阳区模拟）把RtABC和RtDEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上已知：ACB=EDF=90，DEF=45，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm如图（2），DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向ABC匀速移动，在DEF移动的同时，点P从ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，DEF也随之停止移动DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；（3）当t为何值时，APQ是等腰三角形【解答】（1）解：AP=2tEDF=90，DEF=45，CQE=45=DEF，CQ=CE=t，AQ=8t，t的取值范围是：0t5；（2）过点P作PGx轴于G，可求得AB=10，SinB=，PB=102t，EB=6t，PG=PBSinB=（102t）y=SABCSPBESQCE=当（在0t5内），y有最大值，y最大值=（cm2）（3）若AP=AQ，则有2t=8t解得：（s）若AP=PQ，如图：过点P作PHAC，则AH=QH=，PHBCAPHABC，即，解得：（s）若AQ=PQ，如图：过点Q作QIAB，则AI=PI=AP=tAIQ=ACB=90A=A，AQIABC即，解得：（s）综上所述，当或或时，APQ是等腰三角形14（2017庐阳区一模）ABC，A、B、C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E（1）如图，若DE将ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）（2）如图，若AC=3，AB=5，BC=4DE将ABC分成周长、面积相等的两部分，求AD；（3）如图，若DE将ABC分成周长、面积相等的两部分，且DEBC，则a、b、c满足什么关系？【解答】解：（1）DE将ABC分成周长相等的两部分，AD+AE=CD+BC+BE=（AB+AC+BC）=（a+b+c）；（2）设AD=x，AE=6x，SADE=ADAEsinA=3，即：x（6x）=3，解得：x1=（舍去），x2=，AD=；（3）DEBC，ADEABC，=，AD=b，AE=c，bc=（a+b+c），=115（2017嘉兴模拟）已知：如图，四边形ABCD是正方形，PAQ=45，将PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角EBC和FDC的平分线分别交于点M和N，连接MN（1）求证：ABMNDA；（2）连接BD，当BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABC=ADC=BAD=90，BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，ABM=ADN=135，MAN=45，BAM=AND=45DAN，ABMNDA；（2）解：当BAM=22.5时，四边形BMND为矩形；理由如下：BAM=22.5，EBM=45，AMB=22.5，BAM=AMB，AB=BM，同理AD=DN，AB=AD，BM=DN，四边形ABCD是正方形ABD=ADB=45，BDN=DBM=90BDN+DBM=180，BMDN四边形BMND为平行四边形，BDN=90，四边形BMND为矩形16（2017肥城市三模）如图，在锐角ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且AFE=A，DMEF交AC于点M（1）点G在BE上，且BDG=C，求证：DGCF=DMEG；（2）在图中，取CE上一点H，使CFH=B，若BG=1，求EH的长【解答】（1）证明：如图1所示，D，E分别为AB，BC中点，DEACDMEF，四边形DEFM是平行四边形，DM=EF，如图2所示，D、E分别是AB、BC的中点，DEAC，BDE=A，DEG=C，AFE=A，BDE=AFE，BDG+GDE=C+FEC，BDG=C，GDE=FEC，DEGECF；，DGCF=DMEG；（2）解：如图3所示，BDG=C=DEB，B=B，BDGBED，BD2=BGBE，AFE=A，CFH=B，C=180AB=180AFECFH=EFH，又FEH=CEF，EFHECF，=，EF2=EHEC，DEAC，DMEF，四边形DEFM是平行四边形，EF=DM=DA=BD，BGBE=EHEC，BE=EC，EH=BG=117（2017肥城市模拟）ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，EDF=B（1）如图1，求证：DECD=DFBE（2）D为BC中点如图2，连接EF求证：ED平分BEF；若四边形AEDF为菱形，求BAC的度数及的值【解答】（1）证明：ABC中，AB=AC，B=CB+BDE+DEB=180，BDE+EDF+FDC=180，EDF=B，FDC=DEB，BDECFD，即DECD=DFBE；（2）解：由（1）证得BDECFD，D为BC中点，BD=CD，=，B=EDF，BDEDFE，BED=DEF，ED平分BEF；四边形AEDF为菱形，AEF=DEF，BED=DEF，AEF=60，AE=AF，BAC=60，BAC=60，ABC是等边三角形，B=60，BED是等边三角形，BE=DE，AE=DE，AE=AB，=18（2017长宁区二模）如图，在ABC 中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段 BC上，联接AD交线段PQ于点E，且=，点G在BC延长线上，ACG的平分线交直线PQ于点F（1）求证：PC=PE；（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形【解答】（1）证明：PQBC，AQEABD，AEPADC，=，=，=，=，PC=PE；（2）PFDG，PFC=FCG，CF平分PCG，PCF=FCG，PFC=FCG，PF=PC，PF=PE，P是边AC的中点，AP=CP，四边形AECF是平行四边形，PQCD，PEC=DCE，PCE=DCE，PCE+PCF=（PCD+PCG）=90，ECF=90，平行四边形AECF是矩形19（2017安徽模拟）如图，已知ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC（1）求证：AB=GD；（2）如图2，当CG=EG时，求的值【解答】解：（1）D、E分别是线段AC、BC的中点，DE为ABC的中位线，DEAB，即EGAB，FDG=A，点F为线段AD的中点，AF=DF，在ABF与DGF中，ABFDGF（ASA）AB=GD（2）DE为ABC的中位线，DE=AB，CE=BC=ACDG=AB，EG=DE+DGEG=ABDEAB，GEC=CBA，AC=BC，CG=EGGECCBA，即，20（2017蜀山区二模）如图，在ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且DCB=EBC=A（1）求证：BODBAE；（2）求证：BD=CE；（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？【解答】（1）证明：BCO=CBO，DOB=BCO+CBO=2BCO，A=2BCO，DOB=A，ABE=ABE，BODBAE；（2）解：延长CD，在CD延长线上取一点F，使BF=BD，BDF=BFD，BDF=ABO+DOB，BEC=ABO+A，由（1）得BOD=A，BDF=BEC，BFD=BEC，在BFC与CEB中，BFCCEB，BD=BF，BD=CE；（3）解：AP=AQ，理由：取BC的中点G，连接GM，GN，M，N分别是BE，CD的中点，GM，GN是中位线，GMCE，GM=CE，GNBD，GN=BD，BD=CE，GM=GN，3=4，GMCE，2=4，GNBD，3=1，1=2，AP=AQ21（2017石家庄二模）如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PEEF以每秒1个单位长的速度匀速运动点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止设点P、K运动的时间是t秒（t0）（1）当t=1时，KE=1，EN=；（2）当t为何值时，APM的面积与MNE的面积相等？（3）当点K到达点N时，求出t的值；（4）当t为何值时，PKB是直角三角形？【解答】解：（1）当t=1时，根据题意得，AP=1，PK=1，PE=2，KE=21=1，四边形ABCD和PEFG都是矩形，APMABC，APMNEM，=，=，MP=，ME=，NE=；故答案为：1；（2）由（1）并结合题意可得，AP=t，PM=t，ME=2t，NE=t，tt=（2t）（t），解得，t=；（3）当点K到达点N时，则PE+NE=AP，由（2）得，t+2=t，解得，t=；（4）当K在PE边上任意一点时PKB是直角三角形，即，0t2；当点k在EF上时，则KE=t2，BP=8t，BPKPKE，PK2=BPKE，PK2=PE2+KE2，4+（t2）2=（8t）（t2），解得t=3，t=4；当t=5时，点K在BC边上，KBP=90综上，当0t2或t=3或t=4或5时，PKB是直角三角形22（2017农安县模拟）如图（1），在ABC中，AD是BC边的中线，过A点作AEBC与过D点作DEAB交于点E，连接CE（1）求证：四边形ADCE是平行四边形（2）连接BE，AC分别与BE、DE交于点F、G，如图（2），若AC=6，求FG的长【解答】（1）证明：AEBC，DEAB四边形ABDE是平行四边形，AE=BD，又BD=DC，AE=DC，又AEDC，四边形ADCE是平行四边形（2）解：四边形ADCE是平行四边形，AC=6，AG=GC=3，又AEBC，AEFCBF，=，AF=2，FG=AGAF=123（2017杨浦区三模）已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M（1）如图1，当E、A、F在一直线上时，求证：点M为ED中点；（2）如图2，当AFED，求证：AM2=ABBM【解答】（1）连接AC，四边形ABCD是正方形，DAM=BEM=BCD=90，BCA=DCA=45，AB=BC=CD=DA，BE=DF，CE=CF，AEB=F=45，BE=BA=AD，在ADM和BEM中，ADM和BEM，DM=EM，即点M为ED中点；（2）解：四边形ABCD是正方形，DAM=EBM=90，AD=AB，ADMBEM，=，AMDF，AFDE，四边形AMDF是平行四边形，AM=DF，BE=DF，AM=BE，AM2=ABBM24（2017杭州模拟）已知，如图1，点D、E分别在AB，AC上，且=（1）求证：DEBC（2）已知，如图2，在ABC中，点D为边AC上任意一点，连结BD，取BD中点E，连结CE并延长CE交边AB于点F，求证：=（3）在（2）的条件下，若AB=AC，AF=CD，求的值【解答】解：（1）A=A，ADEABCADE=B，DEBC（2）过点D作DGAB交CF于点G，CDGCAF，E是BD的中点，BE=ED，DGAB，FBE=EDG在DEG与CAF中，DEGBEF（AAS）DG=BF，=（3）由（2）可得：AB=AC，AF=CD，=BF2+BFAFAF2=0，（）2+1=0，解得：=，=25（2017岱岳区二模）已知ABC，AC=BC，点E，F在直线AB上，ECF=A（1）如图1，点E，F在AB上时，求证：AC2=AFBE；（2）如图2，点E，F在AB及其延长线上，A=60，AB=4，BE=3，求BF的长【解答】解：（1）AC=BC，A=BBEC=ACE+AACF=ACE+ECF，ACF=BECACFBECAC2=AFBE（2）A=60，ABC是等边三角形A=ABC=ACB=60=ECF，ECB=ACBACE，F=ABCFCB，ACE=FCB，ECB=F，ABC=A，ACFBEC=AF=BF=AFAB=26（2017硚口区模拟）如图，正方形ABCD，EAF=45交BC、CD于E、F，交BD于H、G（1）求证：AD2=BGDH；（2）求证：CE=DG；（3）求证：EF=HG【解答】证明：（1）四边形ABCD为正方形ABD=ADB=45，AB=AD，EAF=45BAG=45+BAH，AHD=45+BAH，BAG=AHD，又ABD=ADB=45，ABGHDA，BGDH=ABAD=AD2；（2）如图，连接AC，四边形ABCD是正方形ACE=ADB=CAD=45，AC=AD，EAF=45，EAF=CAD，EAFCAF=CADCAF，EAC=GAD，EACGAD，CE=DG；（3）由（2）得：EACGAD，同理得：AFCAHB，GAH=EAF，GAHEAF，EF=GH27（2017岱岳区一模）如图，C为线段BD上一动点，过B、D分别作BD的垂线，使AB=BC，DE=DB，连接AD、AC、BE，过B作AD的垂线，垂足为F，连接CE、EF（1）求证：ACDF=BFBD；（2）点C运动的过程中，CFE的度数保持不变，求出这个度数；（3）当点C运动到什么位置时，CEBF？并说明理由【解答】解：（1）BFAD，AFB=BFD=90，ABF+BAF=90，ABBC，ABF+DBF=90，BAF=DBF，ABFBDF，=，即ABDF=BFBD，由AB=BC，ABBC，AB=AC，ACDF=BFBD；（2）=，AB=BC、BD=DE，=，FBC+BDF=90、BDF+EDF=90，FBC=EDF，FBCFDE，BFC=DFE，又BFD=BFC+CFD=90，DFE+CFD=9