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2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。1、设z=，则|z|=A、0B、C、1D、【答案】C 【解析】由题可得，所以|z|=1 【考点定位】复数2、已知集合A=x|x2-x-20，则A=A、x|-1x2B、x|-1x2C、x|x2D、x|x-1x|x2【答案】B 【解析】由题可得CRA=x|x2-x-20，所以x|-1x2 【考点定位】集合 3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A、新农村建设后，种植收入减少。B、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。C、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。D、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。【答案】A 【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%60%， 【考点定位】简单统计 4、记Sn为等差数列an的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B 【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=( a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0 ; d=-3 a5=2+(5-1)*(-3)=-10 【考点定位】等差数列 求和 5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D 【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 a=1f（x）=x3+x 求导f（x）=3x2+1 f（0）=1 所以选D 【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数 6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、-B、-C、-+D、-【答案】A 【解析】AD为BC边上的中线 AD=E为AD的中点AE=EB=AB-AE= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点 7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为11A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A、B、C、3D、2【答案】BAA 【解析】将圆柱体的侧面从A点展开：注意到B点在圆周处。B最短路径的长度为AB=22+42【考点定位】立体几何:圆柱体的展开图形，最短路径 8.设抛物线C：y=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则= A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D 【解析】抛物线C：y=4x的焦点为F(1,0)直线MN的方程: 消去x整理得：y2-6y+8=0 y=2 或y=4M、N 的坐标（1，2），（4，4）则=(0,2)(3,4)=0*3+2*4=8 【考点定位】抛物线焦点 向量的数量积 如果消去，计算量会比较大一些，您不妨试试。9.已知函数f（x）=g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. -1，0） B. 0，+） C. -1，+） D. 1，+）【答案】C 【解析】根据题意：f(x)+x+a=0 有两个解。令M(x)=-a,N(x)=f(x)+x =ex+x x0lnx+x x0分段求导：N(x)=f(x)+x =ex+10 x01x+10 x0 说明分段是增函数。考虑极限位置，图形如下：M(x)=-a 在区间(-，+1上有2个交点。a的取值范围是C. -1，+） 【考点定位】分段函数、函数的导数、分离参数法10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为。直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为。在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则A. p1=p2B. p1=p3C. p2=p3D. p1=p2+p3【答案】A 【解析】整个区域的面积： S1+S半圆BC= S半圆AB+ S半圆AC+SABC根据勾股定理，容易推出S半圆BC= S半圆AB+ S半圆ACS1= SABC 故选A 【考点定位】古典概率、 不规则图形面积 11.已知双曲线C： -y=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N. 若OMN为直角三角形，则MN= A. B.3 C. D.4MFNo【答案】B 【解析】右焦点,OF=3+1=2，渐近线方程y=33x NOF=MOF =30在RtOMF中，OM=OF*cosMOF=2*cos=303在RtOMN中，MN=OM*tanNOM=3*tan(30+30)=3【考点定位】双曲线渐近线、焦点概念清晰了，秒杀！有时简单的“解三角”也行，甚至双曲线都不用画出来。 如果用解方程，计算量很大。12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图平面截正方体所得截面为正六边形，此时，截面面积最大，其中边长GH=22截面面积S=634（22）2=【考点定位】立体几何 截面【盘外招】交并集理论：ABD交集为3，AC交集为 34，选A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若x，y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 .【答案】6 【解析】当直线z=3x+2y经过点（2，0）时，Zmax=3*2+0=6 【考点定位】线性规划（顶点代入法） 14.记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1，则S6= .【答案】-63【解析】S1=2a1+1=a1 a1=-1n1时，Sn=2an+1，Sn-1=2an-1+1 两式相减：Sn-Sn-1= an=2an-2an-1 an=2an-1an=a12n-1= （-1）2n-1S6=（-1）（26-1）=-63 【考点定位】等比数列的求和15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种.（用数字填写答案）【答案】16【解析】C21C42+C22C41=26+14=16【考点定位】排列组合16.已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 .【答案】-332【解析】f（x）=2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx)考虑到f（x）为奇函数，可以求f（x）最大值.将f（x）平方：f2（x）=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3=4/3(3-3cosx)(1+cosx)3(4/3)（3-3cosx）+3(1+cosx)/4）4= （）4=当3-3cosx=1+cosx 即cosx=12时，f2（x）取最大值f（x）min=-332【考点定位】三角函数的极值，基本不等式的应用【其他解法】：求导数解答f（x）=2sinx(1+cosx)看成单位圆中一个三角形面积求解。三.解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）在平面四边形ABCD中，ADC=90，A=45，AB=2，BD=5.（1）求cosADB；（2）若DC=，求BC.【答案】【解析】（1）在ABD中，由正弦定理得BDsinA=ABsinADB sinADB =ABsinADB/BD=25由题设可知，ADB90 cosADB=1-225=235(2)由题设及（1）可知cosBDC= sinADB =25在BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-2525=25BC=5【考点定位】正弦定理 余弦定理18.（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.（1）证明：平面PEF平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 【答案】【解析】（1）由已知可得PFBF ，BFEF BF平面PEF又BF在平面ABFD上 平面PEF平面ABFD (2) PHEF，垂足为H，由（1）可得，PH平面ABFD DP与平面ABFD所成角就是PDH.CD2=PD2=DH2+PH2=DE2+EH2+PH2= DE2+（EF-HF）2+PH2CF2=PF2=HF2+PH2设正方形ABCD的边长为2.上面两个等式即是：22=12+（2-HF）2+PH212=HF2+PH2解方程得HF=12 PH=32在RtPHD中, sinPDH=PH/PD=32/2=34.【考点定位】立体几何 点、直线、面的关系19.（12分）设椭圆C： +y=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMA=OMB.【答案】【解析】（1）由已知可得F（1，0） ，直线l的方程为x=1由已知可得, 点A的坐标为（1，22）或（1， 22） 直线AM的方程为y= 22x+2 或 y= 22x2(2)当l与x轴重合，.OMA=OMB=00当l与x轴垂直，OM为AB的垂直平分线，所以OMA=OMB当l与x轴不重合且不垂直，设直线l的方程为y=k(x-1) (k0)点A(x1,y1), B(x2,y2) ，x12,X22, 则直线MA、MB的斜率之和KMA+KMB=y1x1-2+y2x2-2=k(x1-1)x1-2+k(x2-1)x2-2=2kx1x2-3kx1+x2+4k(x1-2)(x2-2)将y=k(x-1)代入椭圆C的方程得：（2k2+1）x2-4k2x+(2k2-2)=0x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+12kx1x2-3kx1+x2+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0从而 KMA+KMB=0 MA、MB的倾斜角互补，OMA=OMB综上所述，OMA=OMB【考点定位】圆锥曲线 20、（12分）某工厂的某、种、产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为P（0P400, 应该对这箱余下的所有产品作检验。【考点定位】随机变量及分布：二项分布最值（基本不等式）、数学期望 21、（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点, ,证明： .【答案】【解析】（1）f（x）的定义域为（0，+）f（x）=-1x2-1+ax=-x2-ax+1x2=a2-4(i)若a2,则f（x）0，当且仅当a=2,x=1时f（x）=0，f（x）在（0，+）单调递减。(i)若a2,令f（x）=0得到，x=aa2-42当x（0，a-a2-42）（a+a2-42，+）时，f（x）0f（x）在x（0，a-a2-42）,（a+a2-42，+）单调递减, 在（a-a2-42,a+a2-42）单调递增。(2)由(1)可得f(x)存在2个极值点当且仅当a2由于f(x)的极值点x1,x2满足x2-ax+1=0 所以x1x2=1 不妨设x11 由于fx1-f(x2）x1-x2=1x1x2-1+alnx1-Lnx2x1-x2=-2+alnx1-Lnx2x1-x2=-2+a-2Lnx21/x2-x2等价于1x2-x2+2lnx20设g(x)= 1x-x+2lnx 由(1)可知g（x）在（0，+）单调递减，又g(1)=0,从而当x（1，+）时g(x)01x2-x2+2lnx20-kx+2 x0显然，K=0时，C1与C2相切，只有一个交点。K0时，C1与C2没有交点。C1与C2有且仅有三个交点，则必须满足K0) 与C2相切,圆心到射线的距离d= |-k+2|k2+1=2 故K=-4/3或K=0.经检验，因为K0，所以K=-4/3。综上所述，所求 C的方程y=-43x+2.【考点定位】极坐标与参数方程 直线与圆的关系23. 选修4-5：不等式选讲（10分）已知f（x）=x+1-ax-1.（1） 当a=1时， 求不等式f（x）1的解集；（2） 当x（0，1）时不等式f（x）x成立，求a的取值范围.【答案】【解析】（1）当a=1时， f（x）=x+1-x-1=-2 x-12x -1x1不等式f（x）1的解集为x|x12(2) 当x（0，1）时不等式f（x）=x+1-ax-1x成立,等价于ax-10，当x（0，1）时ax-11的解集为0x=1 故0a2综上所述，a的取值范围是（0，2。【考点定位】绝对值不等式 含参数不等式恒成立的问题
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