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第一章 绪论 知识结构图知识结构图第一节 机械工程控制论的研究对象与任务一、系统及广义系统系统是由相互联系、相互作用的若干部分构成且具有一定运动规律的一个有机整体。一个较大系统之内可能包括若干个较小的子系统。不仅系统的各部分之间存在非常紧密的联系，而且，系统与外界之间也存在一定的联系。系统与外界之间的联系如图1.1.1所示，其中，输入：外界对系统的作用，它包括给定的输入和干扰；输出：系统对外界的作用。 图1.1.1系统及其与外界的联系系统可大可小，可繁可简，甚至可“实”可“虚”，完全由研究的需要而定，通常将它们统称为广义系统。 二、机械工程控制论的研究对象机械工程控制论实质上是研究机械工程技术中广义系统的动力学问题。具体地说，它研究的是机械工程广义系统在一定的外界条件（即输入或激励、干扰）作用下，从系统的一定的初始状态出发，所经历的由其内部的固有特性（即由系统的结构与参数所决定的特性）所决定的整个动态历程；研究这一系统及其输入、输出三者之间的动态关系。 三、机械工程控制论的研究任务从系统、输入、输出三者之间的关系出发，根据已知条件与求解问题的不同，机械工程控制论的任务可以分为以下五种： （1）已知系统和输入，求系统的输出，即系统分析问题； （2）已知系统和系统的理想输出，设计输入，即最优控制问题； （3）已知输入和理想输出时，设计系统，即最优设计问题； （4）输出已知，确定系统，以识别输入或输入中的有关信息，此即滤波与预测问题； （5）已知系统的输入和输出，求系统的结构与参数，即系统辨识问题。 第二节系统及其模型一、系统的特性系统具有如下特性： （1）系统的性能不仅与系统的元素有关，而且还与系统的结构有关； （2）系统的内容比组成系统各元素的内容要丰富得多； （3）系统往往具有表现出在时域、频域或空域等域内的动态特性。 二、机械系统 以实现一定的机械运动、输出一定的机械能，以及承受一定的机械载荷为目的的系统，称为机械系统。对于机械系统，其输入和输出分别称为“激励”和“响应”。三、系统模型 系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。而数学模型又包括静态模型和动态模型。动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。第二节 反馈一、系统方框图及其组成 系统方框图由许多对信号（量）进行单向传递的元件方框和一些连线组成，表征了系统各元件之间及系统与外界之间进行信息交换的过程。它包括三个基本的单元，即 引出点（分支点）：表示信号的引出或信号的分支，箭头表示信号的传递方向，线上标记信号的名称，如图1.3.1.（a）所示。 比较点（相加点）：表示两个或两个以上的信号进行相加或相减运算。“+”表示信号相加；“-”表示信号相减，如图1.3.1.（b）所示。 元件方框：方框中写入元、部件的名称，进入箭头表示其输入信号；引出箭头表示其输出信号，如图1.3.1.（c）所示。 图1.3.1 系统方框图的基本组成单元二、信息及信息反馈的概念 信息：一切能表达一定意义的信号、符号和密码等统称为信息。也可定义为事物运动的状态或方式。 反馈（信息反馈）：将系统的输出以一定的方式返回到系统的输入端并共同作用于系统的过程，称为反馈或信息反馈。 三、内反馈和外反馈 内反馈：在系统或过程中存在的各种自然形成的反馈，称为内反馈。它是系统内部各个元素之间相互耦合的结果。内反馈是造成机械系统存在一定的动态特性的根本原因，纷繁复杂的内反馈的存在使得机械系统变得异常复杂。读者对于机械系统中普遍存在的内反馈现象应引起足够的重视。 外反馈：在自动控制系统中，为达到某种控制目的而人为加入的反馈，称为外反馈。 第三节 系统的分类及对控制系统的基本要求一、控制系统的基本概念 控制：通过对一定对象实施一定的操作，以使其按照预定的规律运动或变化的过程。 被控对象：在控制理论和控制技术中，运动规律或状态需要控制的装置或元件称为被控对象（控制对象）。被控对象可大可小，甚至可“实”可“虚”。 控制器：在控制系统中，除被控对象以外的所有装置，统称为控制器。 给定元件：控制系统中主要用于产生给定信号（输入信号、希望值）的元件。 反馈元件（测量元件）：控制系统中用于测量被控量（输出量），产生反馈信号的元件。反馈信号与输出量之间往往存在确定的函数关系。 比较元件：控制系统中用以比较输出信号与反馈信号，并求取偏差信号的元件。有时并非为物理元件，可能通过物理定律或其他定律实现。 放大元件：控制系统中对输入信号进行幅值放大或功率放大的元件。 执行元件：控制系统中直接对被控对象进行操作的元件。 被控制量：表征被控对象运动规律或状态的物理量。实质上是系统的输出（输出量）。 希望值：希望的被控对象运动规律或状态的物理量（或称输入量、系统输入）。 偏差：系统的输入量与反馈量之差或之和（即比较环节的输出值）。 控制量：被控对象的输入量。由于往往是偏差的某种函数，因此，也可将偏差看成为控制量。 扰动量（干扰）：指除给定量以外，所有使得被控制量偏离给定值的因素。扰动包括因系统外部因素发生变化而引起的外扰和因系统内部因素所引起的内扰。 人工控制：在人的直接参与下，使被控对象的被控制量按预定的规律运动或变化的控制方式。 自动控制：在无人直接参与的情况下，利用一组装置使被控对象的被控制量按预定的规律运动或变化的控制方式。 自动控制系统：被控对象和参与实现其被控制量自动控制的装置或元、部件的组合。 二、对广义系统按反馈的情况进行分类 （1）开环系统：当一个系统以所需的方框图表示而没有反馈回路时，称之为开环系统。 开环控制系统一般由给定元件、放大元件、执行元件、被控对象等单元组成，其方框图可表示成如图1.4.1的形式。 图1.4.1 开环控制系统方框图（2）闭环系统：当一个系统以所需的方框图表示而存在反馈回路时，称之为闭环系统。闭环控制系统一般由给定元件、比较元件、放大元件、执行元件、被控对象、测量元件等单元组成，其方框图可表示成如图1.4.2的形式。 图1.4.2 闭环控制系统方框图若将控制系统按被控对象和控制器两部分进行划分，则开环系统和闭环系统还可以分别表示为如图1.4.3.（a）、（b）的形式。 图1.4.3 系统方框图的简化形式一个闭环控制系统的工作过程大体上可分为以下几个步骤： 1）测量被控制量的实际值。 2）将实际值与给定值进行比较，求出偏差的大小与方向。 3）根据偏差的大小与方向进行控制以纠正偏差。 简单地讲，闭环控制系统的工作过程就是一个“检测偏差并用以纠正偏差”的过程。因此，闭环控制系统的控制精度一般比开环控制系统的要高。 按反馈的作用不同，还可以将反馈分为正反馈和负反馈。其中，凡能使系统的偏差的绝对值增大的反馈，就称为正反馈；而能使系统的偏差的绝对值减小的反馈，则称为负反馈。 三、对自动控制系统按输出的变化规律进行分类 （1）自动调节系统：在外界作用下，系统的输出仍能基本保持为常量的系统。也称为镇定系统或恒值系统。 （2）随动系统：在外界的作用下，系统的输出能相应于输入在广阔范围内按任意规律变化的系统。 （3）程序控制系统：在外界的作用下，系统的输出按预定程序变化的系统。 另外，广义系统还可根据是否满足叠加性而分为线性系统和非线性系统；根据系统中信号或变量是否全是连续量而分为连续系统和离散系统（或模拟系统和数字系统）；根据系统中信号或变量是否全是确定值而分为确定性系统和随机系统；根据系统的功能可分为温度控制系统、速度控制系统等等。四、对控制系统的基本要求 （1）系统的稳定性。稳定性是指动态过程的振荡倾向和系统能够恢复平衡状态的能力。稳定性的要求是系统工作的首要条件。 （2）系统响应的快速性。快速性是指当系统输出量与给定的输入量之间产生偏差时，消除这种偏差的快速程度。 （3）系统响应的准确性。指在调整过程结束后输出量与给定的输入量之间的偏差，亦称为静态精度。 同一控制系统，其稳定性、快速性和准确性往往是相互制约的。例如，改善系统稳定性，可能导致准确性和（或）快速性的降低。 五、自动控制系统方框图的绘制步骤 （1）分析控制系统的工作原理，找出被控对象。 （2）分清系统的输入量、输出量。 （3）按照控制系统各环节的定义，找出相应的各个环节。 （4）按信息流动的方向将各个环节用元件方框和连线连接起来。 基本要求、重点与难点一、基本要求 （1）了解机械工程控制论的基本含义和研究对象,学习本课程的目的和任务；掌握广义系统动力学方程的含义。 （2）了解系统、广义系统的概念，了解系统的基本特性；了解系统动态模型和静态模型之间的关系。 （3）掌握反馈的含义，学会分析动态系统内信息流动的过程，掌握系统或过程中存在的反馈。 （4）了解广义系统的几种分类方法；掌握闭环控制系统的工作原理、组成；学会绘制控制系统的方框图。 （5）了解控制系统中基本名词和基本变量。 （6）了解正反馈、负反馈、内反馈、外反馈的概念。 （7）了解对控制系统的基本要求。 二、本章重点 （1）学会用系统论、信息论的观点分析广义系统的动态特性、信息流，理解信息反馈的含义及其作用。 （2）掌握控制系统的基本概念、基本变量、基本组成和工作原理；绘制控制系统方框图。三、本章难点 广义系统的信息反馈及控制系统方框图的绘制。 例题例1.1设电热水器如图（例1.1.a）所示。为了保持希望的温度，由温控开关接通或断开电加热器的电源。在使用热水时，水箱中流出热水并补充冷水。试说明该系统工作原理并画出系统的方框图。 图（例1.1.a）解：在电热水器系统中，水箱内的水温需要控制，即水箱为被控对象。水的实际温度是被控制量，或称为系统的输出量，设为；输入量为用户希望的温度（给定值），设为；由于放出热水并注入冷水或水箱散热等原因而使水箱内水温下降成为该系统的主要干扰。 当=时，水箱的实际水温经测温元件检测，并将实际水温转化成相应的电信号，与温控开关预先设定的信号进行比较而得到的偏差为零，此时电加热器不工作，水箱中的水温保持在希望的温度上。当使用热水并注入冷水时，水温下降，此时，则偏差不为零而使温控开关工作。于是电源接通，电加热器开始对水箱内的水进行加热，使水温上升，直到=时为止。系统控制方框图如图（例1.1.b）所示。 图（例1.1.b）电热水器方框图例1.2图（例1.2.a）为一恒温箱的温度控制系统，试分析这个系统的自动调温过程并说明这个系统的输出量、输入量、控制量和扰动量各是什么。 解：在该系统中,恒温箱内的温度需要被控制，因此，恒温箱为被控制对象。恒温箱的实际温度为被控制量（系统的输出量），设为；希望的恒温箱的温度为系统的输入量（给定值），设为；加热电阻丝的输出功率为控制量；而恒温室散热量等为系统的扰动量。 图（例1.2.a）恒温箱的温度是由给定的电压信号和热电偶输出的电压信号之间的偏差-控制的。当=时，-=0，即偏差为零，此时系统不工作，恒温箱的温度保持在希望的温度上。当外界因素引起箱内温度变化时，偏差信号-，偏差经电压和功率放大后，使电机的转速和转向发生改变，并通过传动装置拖动调压器的动触头。当温度偏高时，动触头向着减少电流的方向移动，反之加大电流，直到温度达到给定值为止。系统控制方框图如图（例1.2.b）所示。 图（例1.2.b）恒温箱温度控制系统方框图例1.3图（例1.3.a）所示为函数记录仪的示意图，它通过记录笔记录缓变电压信号的波形。试说明其工作原理，并绘制其控制方框图。 图（例1.3.a） 函数记录仪示意图解：为了记录电压信号，记录笔的位移需要进行控制，因此，记录笔为控制对象。记录笔的实际位移为输出，与电压信号对应的理想位移为输入。通过设定比例系数，将输入信号与需要记录的电压对应起来。记录笔的实际位移通过带动电位器的滑块，使桥式电路输出电压进行测量，于是，在放大器两端形成偏差电压信号，利用的大小和正负对记录笔的位置进行控制。当时，偏差为正，该信号经放大，驱动电机，带动齿轮机构，进而使记录笔及滑块正向移动，此时偏差逐渐减小，直至为0；反之，当时，偏差为负，记录笔及滑块负向移动，直至为0。这样，再配合匀速走纸机构，就能在纸上记录出电压信号的波形了。其控制方框图如图（例1.3.b）所示。 图（例1.3.b） 函数记录仪方框图说明：根据控制系统示意图绘制其控制方框图，对于弄清控制系统组成和工作原理具有较强的指导作用。既是本章的重点，也是本章的难点。在解题时，首先要明确系统中哪个元件的运动状态需要控制，即弄清控制对象。在此基础上，明确系统的输出即为控制对象的实际状态，输入即是控制对象的理想状态。读者要特别注意，这一点与一般的广义系统是不同的。有了控制对象、输入和输出等因素后，就可以按照信息流动和传递的方式，根据相应环节的特点，绘制出控制系统方框图了 第二章 系统的数学模型知识结构图 概述系统按其微分方程是否线性这一特性，可以分为线性系统和非线性系统。如果系统的运动状态能用线性微分方程表示，则此系统为线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是满足叠加原理。线性系统又可分为线性定常系统和线性时变系统。 系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。对于同一系统，数学模型可以有多种形式，如微分方程、传递函数、单位脉冲响应函数及频率特性等等。但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。 系统建模是经典控制理论和现代控制理论的基础。建立系统数学模型的方法有分析法和实验辨识法两种。前者主要用于对系统结构及参数的认识都比较清楚的简单系统，而后者通常用于对系统结构和参数有所了解，而需进一步精化系统模型的情况。对于复杂系统的建模往往是一个分析法与实验辨识法相结合的多次反复的过程。在建模的过程中还要正确处理模型简化和模型精度的辨证关系，以建立简单且能满足要求的数学模型。 第一节 系统的微分方程列写系统或元件微分方程的一般步骤为： （1）确定系统或元件的输入量和输出量； （2）按照信号的传递顺序，从系统的输入端出发，根据有关定律，列写出各个环节的动态微分方程； （3）消除上述各方程式中的中间变量，最后得到只包含输入量与输出量的方程式； （4）将与输入有关的项写在微分方程的右边，与输出有关的项写在微分方程的左边，并且各阶导数项按降幂排列。 在列写微分方程的各步中，关键在于掌握组成系统的各个元件或环节所遵循的有关定律。对于机械类的读者，往往需要列写机械系统和电网络系统的微分方程，因此，有必要掌握如表2.1.1所示的常见元件的物理定律。 表2.1.1 常见元件的物理定律系统类别元件名称及代号符号所遵循的物理定律机械系统（直线运动）质量元件m 弹性元件k阻尼元件c电网络系统电容C电感L电阻R如果系统中包含非本质非线性的元件或环节，为研究系统方便，通常可将其进行线性化。非线性系统线性化的方法是将变量的非线性函数在系统某一工作点（或称平衡点）附近展开成泰勒级数，分解成这些变量在该工作点附近的微增量表达式，然后略去高于一阶增量的项，并将其写成增量坐标表示的微分方程。 第二节 系统的传递函数一、传递函数对于线性定常系统，传递函数是一种常用的数学模型。其定义为：在零初始条件下，系统输出的Laplace变换与引起该输出的输入量的Laplace变换之比。 若线性定常系统输入与输出之间关系的微分方程为 （2.2.1） 则，系统以为输出、为输入的传递函数可表示成： （2.2.2） 系统的零初始条件有两方面的含义，一是指在时输入才开始作用于系统，因此，时，及其各阶导数均为零；二是指在时系统处于相对静止的状态，即系统在工作点上运行，因此时，输出及其各阶导数也均为零。现实的工程控制系统多属此类情况。 传递函数具有以下特点： （1）传递函数的分母反映了由系统的结构与参数所决定的系统的固有特性，而其分子则反映了系统与外界之间的联系。 （2）当系统在初始状态为零时，对于给定的输入，系统输出的Laplace变换完全取决于其传递函数。一旦系统的初始状态不为零，则传递函数不能完全反映系统的动态历程。 （3）传递函数分子中s的阶次不会大于分母中s的阶次。 （4）传递函数有无量纲和取何种量纲，取决于系统输出的量纲与输入的量纲。 （5）不同用途、不同物理组成的不同类型系统、环节或元件，可以具有相同形式的传递函数。 （6）传递函数非常适用于对单输入、单输出线性定常系统的动态特性进行描述。但对于多输入、多输出系统，需要对不同的输入量和输出量分别求传递函数。另外，系统传递函数只表示系统输入量和输出量的数学关系（描述系统的外部特性），而未表示系统中间变量之间的关系（描述系统的内部特性）。针对这个局限性，在现代控制理论中，往往采用状态空间描述法对系统的动态特性进行描述。 二、传递函数的零点、极点和放大系数 传递函数是一个复变函数，一般具有零点、极点。根据复变函数知识，凡能使复变函数为0的点均称为零点；凡能使复变函数为趋于的点均称为极点。 若将传递函数写成如下的形式： 则，为传递函数的零点，为传递函数的极点，而将称为系统的放大系数。传递函数的零点和极点的分布影响系统的动态性能。一般极点影响系统的稳定性，零点影响系统的瞬态响应曲线的形状。系统的放大系数决定了系统的稳态输出值。因此，对系统的研究可变成对系统传递函数的零点、极点和放大系数的研究。 三、典型环节的传递函数 系统是由若干典型环节组成的。常见典型环节及其传递函数的一般表达式分别为： 比例环节 一阶惯性环节 积分环节 微分环节 振荡环节 （） 延时环节 以上各式中：为比例系数；为时间常数；为阻尼比；为无阻尼固有频率；为延迟时间。 四、闭环系统的传递函数 闭环系统的传递函数方框图如图2.2.1所示。 图2.2.1 闭环系统的结构图图中，前向通道的传递函数为 反馈通道的传递函数为 开环传递函数为 ；闭环传递函数为 。若，则此闭环系统为单位反馈系统。其闭环传递函数为 。请注意，这里所说的开环传递函数、反馈通道的传递函数和前向通道的传递函数都只是一个闭环系统中一部分元件或环节的传递函数，而闭环传递函数才是这个闭环系统的传递函数。表示闭环系统内各种传递函数的符号只是一个符号而已，读者在遇到相应的问题是，要根据各自的的概念作具体的分析。 第三节 系统的传递函数方框图及其简化一、传递函数方框图 在系统建模中，对于各个环节，分别用传递函数代表环节，用环节输入、输出的Laplace变换代表其输入和输出，而形成的一种表示系统与外界之间以及系统内部各变量之间的关系的方框图就是传递函数方框图。与系统方框图相对应，它包含函数方框、相加点和分支点等三种基本要素。 建立系统方框图的步骤如下： （1）建立系统（或元件）的原始微分方程； （2）对这些原始微分方程在初始状态为零的条件下进行Laplace变换，并根据各个变换式的因果关系分别绘出相应的方框图； （3）从系统的输入量与主反馈信号进行叠加的比较环节开始，沿信号流动的方向，通过传递函数方框将所有的中间变量之间的关系一一画出，直至画出系统的输出量与主反馈信号。 二、传递函数方框图等效的基本规则传递函数方框图等效的基本规则如表2.3.1所示。 三、传递函数方框图简化的一般步骤 （1）确定系统的输入量和输出量，如果作用在系统的输入量有多个，则必须分别对每一个输入量，逐个进行方框图的简化，求得各自的传递函数。对于具有多个输出量的情况，也要分别进行变换，求取各自的传递函数。 （2） 若方框图中仅有多个无交叉回路，则按照先里后外的原则，逐个简化，直至简化成一个方框的形式。若方框图中有交叉的连接，用如下的方法。 方法一：若系统的传递函数方框图同时满足以下两个条件 条件1，整个系统方框图中只有一条前向通道； 条件2，各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。 则可以直接用下列公式求解： （2.3.1） 括号内每一项的符号是这样决定的：在相加点处，对反馈信号为相加时取负号，对反馈信号为相减时取正号。 方法二：若系统的传递函数方框图不同时满足以上两个条件，则可通过相加点、分支点的前后移动等法则，将系统传递函数方框图化为同时满足以上两个条件的形式，然后应用公式（2.3.1）即可。 方法三：若系统的传递函数方框图不同时满足以上两个条件，可通过相加点、分支点的前后移动等法则，将交叉消除，简化成无交叉的多回路形式。然后由里到外进行变换直至变换成一个单一回路或一个方框的形式，最后写出系统的传递函数。 在进行相加点或分支点前后移动时，应避免将相加点跨越分支点或分支点跨越相加点，或将相加点和分支点的位置进行相互交换，否则，方框图将更加复杂。 表2.3.1 常用传递函数方框图的等效变换法则第四节 反馈控制系统的传递函数设闭环系统在干扰作用下的方框图如图2.4.1。 图2.4.1 闭环系统在干扰作用下的方框图根据线性系统的叠加原理，系统输入与系统的干扰相互独立地对系统起作用。 设输入引起的输出为，干扰引起的输出为。 令干扰为零，则可得系统在输入作用下的传递函数为 （2.4.1） 令输入为零，则可得系统在干扰作用下的传递函数为 （2.4.2） 在上式中，若取，且，则干扰所引起的输出趋于0。因此，尽管系统在运行的过程中，干扰是不可避免的，而对于反馈控制系统，只要系统参数选择适当，就可以使系统具有很强的抗干扰能力。 从式（2.4.1）和式（2.4.2）可知，对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递函数不同，反馈回路的传递函数不同，系统传递函数也不同，但传递函数的分母不变。这说明了系统传递函数的分母确实反映了系统本身的固有特性，这个特性与外界无关。而这一结论对开环系统并不适用。 相似系统（环节）：能用形式相同的数学模型来描述的物理系统（环节）称为相似系统（环节）。 相似量：对于相似系统而言，在数学模型中占有相同位置的物理量称为相似量。 系统传递函数或微分方程等数学模型表示的是系统的动态特性，而与系统具体的物理构成无关。不同物理构成的相似系统可以用相同形式的数学模型进行表示，它们具有相似的动态特性。系统的相似性是进行系统模拟或系统仿真的基础。 基本要求、重点和难点一、基本要求（1）了解数学模型的基本概念。能够运用动力学、电学及专业知识，列写机械系统、电子网络的微分方程。 （2）掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零点、极点及放大系数。 （3）能够用分析法求系统的传递函数。 （4）掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。 （5）了解传递函数方框图的组成及意义；能够根据系统微分方程，绘制系统传递函数方框图，并实现简化，从而求出系统传递函数。 （6）掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。掌握干扰作用下，系统的输出及传递函数的求法和特点。 （7）了解相似原理的概念。 （8）了解系统的状态空间表示法，了解MATLAB中，数学模型的几种表示法。 二、本章重点（1）系统微分方程的列写。 （2）传递函数的概念、特点及求法；典型环节的传递函数。 （3）传递函数方框图的绘制及简化。 三、本章难点（1）系统微分方程的列写。 （2）传递函数方框图的绘制及简化。 例题例2.1设有一个倒摆装在只能沿方向移动的小车上，如图（例2.1）所示。图中为小车质量，为摆的质量，为摆长。当小车受到外力作用，并假设摆的角位移较小时，试求以为输出、为输入的系统动力学方程。 图（例2.1）解：当小车在外力作用下产生位移时，摆的角位移为，则摆心的位置是。以整个系统为研究对象，根据牛顿第二定律，在水平方向上的动力学方程为： 同样，以摆为研究对象，摆在垂直于摆杆方向上的动力学方程为 即： 这是一个非线性微分方程组。当较小时，取 ， 并略去的高次项，得如下线性运动微分方程组 联立求解得： 例2.2设无源网络如图（例2.2）所示。设该网络的初始条件为零，试求其传递函数，并说明该网络是否等效于和两个网络的串联。 图（例2.2）解：（1）如图（例2.2），由节点电流和回路电压定律可知 接下来有两种解法。 方法一、联立四个微分方程，并消除中间变量、得 再在零初始条件下对上式两边进行Laplace变换得。 方法二：分别对上述四式在零初始条件下进行Laplace变换有 联立并消除中间变量、得 系统的传递函数还可以采用复阻抗法直接求解。 因为 所以 （2）如果将网络分割开来，则网络的传递函数为 网络的传递函数为 再将和两个网络的串联，则其传递函数为 由于这种方法将系统分割开来，并未考虑负载效应的影响，因此，和两个网络的串联不能等效于原系统。 例2.3设已知描述某控制系统的运动方程组如下 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 式中，为系统的输入量；、为系统的扰动量；为系统的输出量；为中间变量；、为常值增益；为时间常数。 试绘制该控制系统的传递函数方框图，并由此方框图求取闭环传递函数、及。 解：（1）绘制系统传递函数方框图 分别对上述各式在初始条件为零时取Laplace变换得 （7） （8） （9） （10） （11） （12） 由式（7）画出系统输入、输出与扰动叠加后与中间变量之间的关系，如图（例2.3.a）所示。 其次，沿中间变量的信号流动方向依式（8） 式（11）通过传递函数方框图得出它们之间及其与扰动信号之间的关系，如图（例2.3.b）所示。 图（例2.3.a） 图（例2.3.b）最后，按式（12）得到中间变量信号与被控制量之间的关系，并在图（例2.3.a）、图（例2.3.b）基础上完成主反馈通道的绘制。这样便得到了系统的完整的传递函数的方框图。如图（例2.3.c）所示。 图（例2.3.c）求闭环传递函数、及。 求闭环传递函数时，需令及，这时，由图（例2.3.c）得： 由于扰动信号与输入量的作用点相同，故有= 求闭环传递函数时，需令及，这时，图（例2.3.c）可以改成图（例2.3.d）,而图（例2.3.d）又可等效为图（例2.3.e）,因此得： 图（例2.3.d）图（例2.3.e）分析三个闭环传递函数可知，对于闭环系统，输入的取法不同，系统的传递函数不同，但传递函数的分母却完全一致，说明了系统传递函数的分母反映了与外界无关的系统的固有特性。 在本例中，如果将式（9） 式（12）的次序稍作改变，有 （13） （14） （15） （16） 由式（7）、式（8） 、式（13） 式（16）还可将系统传递函数方框图绘成图（例2.3.f）的形式。同样，可以得到所要求的各个传递函数。读者可以发现，对于同一系统，传递函数方框图可以有不同的形式，但系统输入、输出之间的关系却并未改变。 图（例2.3.f）事实上，例2.2也可以通过上述方法，先画出系统传递函数方框图，然后，对方框图进行简化，从而得出系统的传递函数。有兴趣的同学可以试一试。 例2.4通过方框图的等效变换求取图（例2.4.a）所示系统的传递函数。 图（例2.4.a）解：将方框图作如图（例2.4.b）所示的等效变换。 图（例2.4.b）图（例2.4.c）进而作如图（例2.4.c）所示的变换，依闭环传递函数的求法得系统的传递函数为 在本例中，请不要将相邻的相加点和分支点相互交换位置，以免方框图更加复杂。 第三章 时间响应分析知识结构图第一节时间响应及其组成第二节典型输入信号第三节一阶系统的时间响应第四节二阶系统的时间响应第五节高阶系统的响应分析第六节系统误差分析与计算第七节函数在时间响应中的作用第八节用Matlab进行时间响应分析基本要求、重点和难点例题知识结构图第一节时间响应及其组成一、时间响应 时间响应是指系统的响应（输出）在时域上的表现形式，或系统的动力学方程在一定初始条件下的解。 二、时间响应的组成 对于一个阶线性定常系统，输入与输出之间关系的微分方程 设其特征根为，则系统的时间响应可表示成 （3.1.1） 按响应的来源分为零状态响应和零输入响应。其中，零状态响应是指初始状态为零时，由系统的输入引起的响应，即；零输入响应是指系统的输入为零时，由初始状态引起的响应，即。在控制工程中，如无特别声明，所讲的响应往往是零状态响应。 时间响应还可按其性质分为强迫响应项，自由响应项。 三、微分方程特征根的意义 由式（3.1.1）可知，若系统的所有特征根均具有负实部，即，则其自由响应项最终会趋于0，也就是说系统的自由响应项收敛。这种系统称为稳定系统。此时自由响应项又称为瞬态响应项，强迫响应项又称为稳态响应项。相反地，若系统存在具有正实部的特征根，即，则有其自由响应项最终会趋于无穷大，即系统的自由响应项发散。这种系统称为不稳定系统。若系统有一个特征根的实部为0，而其余特征根的实部均为负数，则其自由响应项最终会变成一等幅振荡，这种系统称为临界稳定系统。 因此，系统特征根的实部决定了系统的稳定与否。若系统特征根的实部全部都小于零，则系统稳定；若系统特征根的实部不全小于零，则系统不稳定。由系统特征根与系统传递函数极点之间的对应关系，还可得系统稳定的另一判据：若系统传递函数的所有极点均分布在s平面的左半平面内，则系统稳定；若系统传递函数在s平面的右半平面内存在极点，则系统不稳定。 对于稳定系统，绝对值的大小决定了它所对应的自由响应项衰减的快慢。绝对值越大，则它所对应的的自由响应项衰减得越快；反之亦然。而系统特征根的虚部的分布情况在很大程度上决定了系统自由响应的振荡情况，绝对值越大，则自由响应项振荡频率越高，它决定了系统的响应在规定时间内接近稳态响应的情况，这影响着系统响应的准确性。 第二节典型输入信号在控制工程中，常用的输入信号有两大类。其一是系统正常工作时的输入信号；其二是外加的测试信号，包括单位脉冲信号、单位阶跃信号、单位斜坡信号、正弦信号和某些随机信号等。输入信号的选择要综合考虑系统的工作条件和实验的目的。第三节一阶系统的时间响应一、一阶系统 一阶系统传递函数的一般形式为 式中，称为一阶系统的时间常数，称为一阶系统的增益。 二、一阶系统的单位脉冲响应W（t） 只有瞬态项，而其稳态项为零。即一阶系统的单位脉冲响应函数是一个递减的指数函数。 对一阶系统而言，将其单位脉冲响应曲线衰减到初值的之前的过程定义为过渡过程，称此过程经历的时间为过渡过程时间或调整时间，记为。经过计算可得一阶系统的调整时间为。显然，系统的时间常数愈小，其过渡过程的持续时间愈短，亦即系统的惯性愈小，系统对输入信号反应的快速性愈好。 三、一阶系统的单位阶跃响应Xou（t） 的瞬态项为，其稳态项为。即一阶系统的单位阶跃响应函数是一个递增的指数函数。 对一阶系统而言，过渡过程还可定义为其阶跃响应增长到稳态值的之前的过程，同样可算得相应的时间为。因此，时间常数确实反映了一阶系统的固有特性，其值愈小，系统的惯性就愈小，系统的响应也就愈快。 四、线性系统输出与输入的关系 考察一阶系统的单位阶跃响应函数与单位脉冲响应函数，可知它们之间的关系为：，并且其输入的关系为：。事实上，对于任意线性系统而言，若一个输入A是另一个输入B的导函数，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的导函数；同样地，若一个输入A是另一个输入B的积分，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的积分，但是，如果积分是不定积分，则还需要确定积分常数。第四节二阶系统的时间响应一、二阶系统二阶系统的传递函数有如下两种形式： （3.4.1） 或 （3.4.2） 其中，是二阶系统的特征参数，它们表明二阶系统本身的与外界无关的固有特性。一般将式（3.4.1）所示的系统称为无零点的二阶系统或典型的二阶系统，而将式（3.4.2）所示的系统称为有零点的二阶系统。在不特别声明的情况下，本章讨论的是典型二阶系统的时间响应。 二阶系统的特征方程是 此方程的两个特征根是 （3.4.3） 由式（3.4.3）可见，随着阻尼比取值的不同，二阶系统的特征根分布不同，亦即二阶系统传递函数的极点分布不同，其分布情况如图（3.4.1）所示。不同的极点分布情况，决定了二阶系统在不同的阻尼情况下，其自由响应项不同。由图（3.4.1）可知，当时，即二阶系统出现负阻尼时，其传递函数的两个极点分布在s平面的右半平面内，系统不稳定。因此，这里只讨论时，二阶系统的响应情况。 图（3.4.1）二、二阶系统的单位脉冲响应W（t）和单位阶跃响应 在不同阻尼系数下，二阶系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应如表3.4.1所示。 表3.4.1 二阶系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应阻尼系数单位脉冲响应单位阶跃响应无阻尼欠阻尼临界阻尼过阻尼其中，称为二阶系统的有阻尼固有频率；。 当取值不同时，二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线如图3.4.2所示。由图可知，欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线是减幅的正弦振荡曲线，且愈小，衰减愈慢，振荡频率愈大。故欠阻尼系统又称为二阶振荡系统，其幅值衰减的快慢取决于（称为时间衰减常数，记为）。 图3.4.2图3.4.3当取值不同时，二阶系统的单位阶跃响应如图3.4.3所示。由图可知，二阶系统的单位阶跃响应函数的过渡过程随阻尼的减小，其振荡特性表现得愈加强烈，当时达到等幅振荡。在和时，二阶系统的过渡过程只具有单调上升的特性，而不会出现振荡。在无振荡单调上升的曲线中，以时的过渡过程时间最短。在欠阻尼系统中，当时，不仅其过渡过程时间比更短，而且振荡也不太严重。因此，一般希望二阶系统工作在的欠阻尼状态。通过选择合适的特征参数，可以使系统具有合适的过渡过程。 由于系统输入的不同，二阶系统的单位脉冲响应与单位阶跃响应不同，但是它们随着阻尼比的不同而不同的振荡情况却是一致的。当系统为无阻尼系统时，均为等幅振荡；当系统为欠阻尼系统时，均为减幅振荡；而当系统为临界阻尼或过阻尼系统时，均不会出现振荡。 三、二阶欠阻尼系统响应的性能指标 二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应曲线如图3.4.4所示，其瞬态性能指标包括上升时间、峰值时间、最大超调量、调整时间、振荡次数等。 1上升时间：响应曲线从原工作状态出发，第一次达到输出稳态值所需的时间定义为上升时间。 当一定时，增大，就减小；当一定时，增大，就增大。 图3.4.42峰值时间：响应曲线达到第一个峰值所需的时间定义为峰值时间。 当一定时，增大，就减小；当一定时，增大，就增大。 3最大超调量：一般用下式定义系统的最大超调量，即 亦即 因此，与无关，而只与有关。增大，就减小；反之亦然。 4调整时间：在过渡过程中，取的值满足下面不等式时所需要的时间，定义为调整时间。不等式为 （）当时，；当时， 若，上述关系变成和 当一定时，增大，就减小；当一定时，增大，也减小。 5振荡次数：在过渡过程时间内，穿越其稳态值的次数的一半定义为振荡次数。即 当，时，； 当，时，。 振荡次数随着的增大而减小，它的大小直接反映了系统的阻尼特性。 从二阶系统的瞬态性能指标与其特征参数之间的关系中可以看出： （1）系统性能指标的矛盾性。一般说来，系统的上升时间、峰值时间等反映系统响应快速性的性能指标与最大超调量、振荡次数等指标是相互矛盾的。 （2）为了使二阶系统具有满意的动态特性，必须合理选择系统的阻尼比和无阻尼固有频率。一般的做法是先根据最大超调量、振荡次数等要求选择系统的阻尼比，然后再根据上升时间、峰值时间、调整时间等要求，确定系统无阻尼固有频率。 需要说明的是，以上各个性能指标的公式是从典型二阶欠系统的阶跃响应中推导出来的。如果系统是具有零点的二阶系统，这些公式是不能直接应用的。但是，其性能指标同二阶系统特征参数之间的变化趋势却保持不变。 第五节高阶系统的响应分析一个高阶系统的时间响应可以由若干个一阶系统和二阶系统的时间响应叠加而成。结合本章第一节的结论，还可以得到主导极点的概念。 若在系统传递函数的极点分布中，其中一对共轭极点离虚轴的距离较近，而其它所有极点离虚轴距离是该对共轭极点离虚轴距离的5倍以上，且这对极点附近没有零点，则称此对极点为系统的主导极点。在研究高阶系统的过渡过程时可以将系统的过渡过程近似地由主导极点所决定的二阶振荡系统的过渡过程代替。 第六节系统误差分析与计算一、系统误差与偏差的关系 设是控制系统的理想输出，是其实际输出，则误差定义为 在如图3.6.1所示的闭环系统中，系统误差的Laplace变换与系统偏差的Laplace变换之间具有如下关系： （3.6.1）图3.6.1显然，控制系统的误差和偏差是既有区别，又有联系的。系统偏差与系统误差在一般的情况下不相等。只有当系统是单位反馈系统时，系统的偏差与误差才会相同。 二、系统的稳态误差与稳态偏差 系统过渡过程结束后，系统实际输出量与系统希望的输出量之间的偏差称为稳态误差。它是系统稳态性能的测度，反映了系统响应的准确性。 同样地，可以定义稳态偏差 三、与输入和系统结构有关的稳态偏差 图3.6.2现分析如图3.6.2所示系统的稳态偏差。 因 由终值定理的系统的稳态偏差为： 。 即 。 很显然，系统的稳态偏差不仅与系统的结构、参数有关，而且与系统的输入的特性有关。为简化稳态偏差的计算，定义 位置无偏系数 速度无偏系数 加速度无偏系数 则： （1）当系统的输入为单位阶跃信号时，系统的稳态偏差为（2）当系统的输入为单位斜坡信号时，系统的稳态偏差为（3）当系统的输入为单位加速度信号时，系统的稳态偏差为设系统的开环传递函数为，其中，为系统的型次；当分别为0、1、2、，时，分别称系统为O型系统、I型系统、II型系统等等。显然，位置无偏系数、速度无偏系数和加速度无偏系数与系统的型次和开环增益有关。系统开环的型次以及输入信号形式同误差系数和系统稳态偏差之间的关系见表3.6.1。 表3.6.1不同型次系统的误差系数及其在不同输入时的稳态偏差系统的开环误差系数不同输入时的稳态偏差位置无偏系数 ?速度无偏系数加速度无偏系数 单位阶跃输入单位恒速输入单位恒加速度输入 型系统00型系统00型系统00从表3.6.1中可以看出，同一系统在不同的输入作用下，其稳态偏差是不同的。更有意义的是，针对同一种输入，当系统的型次增加时，系统的准确性将得到提高；增加系统的开环增益，往往也可以提高系统的稳态精度。但是，正如第五章将要讨论的那样，系统型次和开环增益的增加，却使得系统的稳定性变差。因此，通常需要在系统的稳定性和准确性之间进行权衡，必要时，需要引入校正环节进行校正。 四、系统存在干扰作用时误差和偏差 若系统有干扰作用，其方框图如图3.6.3所示。可以求得 （3.6.2） 式中，； ；。 图3.6.3因此，系统的误差包括两部分，一部分与系统的结构、参数和输入信号有关，另一部分为系统在干扰单独作用下产生的输出。 在输入和干扰共同作用下的偏差为 （3.6.3） 由式（3.6.2）、（3.6.3）及终值定理可得在输入和与干扰共同作用下，系统的稳态误差和稳态偏差。 五、任意输入时，稳态误差的求法 （1）求系统偏差的Laplace变换。 （2）对于单位反馈系统，稳态误差等于稳态偏差。 （3）对于非单位反馈系统，可根据式（3.6.1）将误差的Laplace变换换算为偏差Laplace变换的表达式。 （4）根据终值定理，即可求得系统的稳态误差。 当然，系统的稳态误差还可以通过求出系统的时间响应，进而求出系统的误差函数的稳态值的方法求得。 第七节函数在时间响应中的作用已知系统的单位脉冲响应函数为，则系统在任一输入作用下的响应为： 因此，系统、输入及输出三者之间的关系可表示为图3.7.1所示的形式。由此可见，系统的单位脉冲响应函数与传递函数一样可以作为系统的数学模型，它表明了系统的动态特性。通常，将传递函数、微分方程等称为参数化数学模型，而将单位脉冲响应函数等称为非参数化的数学模型。无论是参数化数学模型，还是非参数化数学模型，都能反映系统的动态特性，可以通过数学变换相互转化。 图3.7.1第八节用Matlab进行时间响应分析在MATLAB中，通常用step（sys,t）和impulse（sys,t）函数来求解数学模型为sys的系统在时间区段t内的单位阶跃响应和单位脉冲响应。另外，MATLAB还提供了相应的函数lsim（sys,u,t）来求解系统sys在输入u的作用下，在时间区段t内的响应。 在求出系统的单位阶跃响应以后，根据系统瞬态性能指标的定义，就可以得到系统的上升时间、峰值时间、最大超调量和调整时间等性能指标。基本要求、重点和难点一、基本要求 （1）了解系统时间响应的组成；初步掌握系统特征根的实部和虚部对系统自由响应项的影响情况，掌握系统稳定性与特征根实部之间的关系。 （2）了解控制系统时间响应分析中的常用的典型输入信号及其特点。 （3）掌握一阶系统的定义和基本参数，能够求解一阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应；掌握一阶系统时间响应曲线的基本形状及意义。掌握线性系统中，存在微分关系的输入，其输出也存在微分关系的基本结论。 （4）掌握二阶系统的定义和基本参数；掌握二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关系；掌握二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。 （5）了解主导极点的定义及作用； （6）掌握系统误差的定义，掌握系统误差与系统偏差的关系，掌握误差及稳态误差的求法；能够分析系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。 （7）了解单位脉冲响应函数与系统传递函数之间的关系。 二、本章重点 （1）系统稳定性与特征根实部的关系。 （2）一阶系统的定义和基本参数，一阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应曲线的基本形状及意义。 （3）二阶系统的定义和基本参数；二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关系；二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。 （4）系统误差的定义，系统误差与系统偏差的关系，误差及稳态误差的求法；系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。 三、本章难点 （1）二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关系；二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。 （2）系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。 例题例3.1已知一阶系统的传递函数为，通过实验测到该系统的单位阶跃响应曲线如图（例3.1.a）所示。试确定该系统的增益和时间常数。 解 因为一阶系统的单位阶跃响应函数为 由上式得其单位阶跃响应的稳态值为。而该响应曲线在零时刻的斜率为，过坐标原点作曲线的切线，则该切线与直线的交点为（，）。因此，从系统的单位阶跃响应曲线可得系统的增益与时间常数如图（例3.1.b）所示。 图（例3. 1.a） 图（例3.1.b）
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