2017全国初中数学联赛初二卷及详解

2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷第一试一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则的值为（ ）.A.2 B.1 C.0 D.-12.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（ ）.A.125 B.120 C.100 D.813.若正整数a,b,c满足abc且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（ ）.A.4 B.3 C.2 D.14.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（ ）.A.424 B.430 C.441 D.4605.梯形ABCD中，ADBC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（ ）.A. B. C. D.6.如图，梯形ABCD中，ADBC，A=90，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，DCE=45，则DE的值为（ ）.A.56 B.58 C.60 D.62二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.使得等式成立的实数a的值为_.8.已知ABC的三个内角满足ABC100.用表示100-C,C-B,B-A中的最小者，则的最大值为_.9.设a,b是两个互质的正整数，且为质数.则p的值为_.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为_.第二试一、（本题满分 20 分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.二、（本题满分 25 分）如图，ABC中，D为BC的中点，DE平分ADB，DF平分ADC，BEDE，CFDF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.三、（本题满分 25 分）已知a,b,c是不全相等的正整数，且为有理数，求的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷参考答案第一试一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则的值为（ ）.A.2 B.1 C.0 D.-1答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以.2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（ ）.A.125 B.120 C.100 D.81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100.3. 若正整数a,b,c满足abc且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（ ）.A.4 B.3 C.2 D.1答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过abc且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证.解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)6c，即ab6，显然a=1或2.若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组.若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=，不是整数舍去，共1个好数组.共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).4. 已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（ ）.A.424 B.430 C.441 D.460答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.解析：联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，则3(b-1)275，即1b6.当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程.因此，a=9，b=6，c=18，则a2+b2+c2=441.5. 梯形ABCD中，ADBC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（ ）.A. B. C. D.答案：A对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析：作AEDC，AHBC，则ADCE是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB，则ABE是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，经计算可得.所以梯形ABCD的面积为.6. 如图，梯形ABCD中，ADBC，A=90，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，DCE=45，则DE的值为（ ）.A.56 B.58 C.60 D.62答案：B对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形RtEAD中去，利用勾股定理求解.解析：作CFAD，交AD的延长线于点F，将CDF绕点C逆时针旋转90至CGB，则ABCF为正方形，可得ECGECD，EG=ED.设DE=x，则DF=BG=x-28，AD=98-x.在RtEAD中，有422+(98-x)2=x2，解得x=58.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.使得等式成立的实数a的值为_.答案：8对应讲次：所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式. 解析：易得.令，则x0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0，解得x1=0, x2=3, x3=-1，舍负，即a=-1或8，验证可得a=8.8. 已知ABC的三个内角满足ABC100.用表示100-C,C-B,B-A中的最小者，则的最大值为_.答案：20对应讲次：所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况.解析：100-C，C-B，B-A3（100-C）+2(C-B)+(B-A)=20又当A=40,B=60,C=80时，=20可以取到.则的最大值为20.9. 设a,b是两个互质的正整数，且为质数.则p的值为_.答案：7对应讲次：所属知识点：数论思路：因为p是质数，只能拆成1和p，另一方面通过a+b、a、b两两互质来拆分的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为a,b互质，所以a+b、a、b两两互质，因为质数，所以可得a=b=1，p=4，不是质数舍；可得a=7，b=1，p=7，符合题意.则p=7.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为_.答案：34对应讲次：所属知识点：数论思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为，考虑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分 20 分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.答案：65对应讲次：所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数设为10a+b，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果.解析：设A=10a+b(1a,b9,a,bN)，则B=10b+a，由A,B不同得ab，A2-B2=（10a+b）2-(10b+a)2=911（a+b）(a-b). 5分由A2-B2是完全平方数，则ab，可得a+b=11， 10分a-b也是完全平方数，所以a-b=1或4. 15分若a-b=1，则a=6，b=5；若a-b=4，则没有正整数解.因此a=6，b=5，A=65. 20分二、（本题满分 25 分）如图，ABC中，D为BC的中点，DE平分ADB，DF平分ADC，BEDE，CFDF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为EF、PD都在DEF中，所以想办法推出其性质，比较容易得出EDF=90，此时若能得出EF=PD，则自然可以得到结论.解析：由DE平分ADB，DF平分ADC，可得EDF=90. 5分由BEDE得BEDF，则EBD=FDC. 10分又BD=DC，BED=DFC=90，则BEDDFC，BE=DF. 15分得四边形BDFE是平行四边形，PED=EDB=EDP，EP=PD. 20分又EDF是直角三角形，EF=2PD. 25分三、（本题满分 25 分）已知a,b,c是不全相等的正整数，且为有理数，求的最小值.答案：3对应讲次：所属知识点：数论思路：通过a,b,c是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.注意到，可以通过分母有理化来实现分离，再利用a,b,c互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.解析：，由是有理数，可得b2=ac. 10分. 15分不妨设ac，若a=1，c=b2，因为ab，则a+c-b=1+b(b-1)3，取等号当且仅当b=2时. 20分若a2，因为cb1，则a+c-b=a+b(b-1)a+243.所以的最小值为3，当a=1，b=2，c=4时. 25分