2014数学三考研模拟试题必考每年参考样题

1 一 填空题 本题共 6 小题 每小题 4 分 满分 24 分 把答案填在题中横线上 2004 1 曲线 lnyx 上与直线 1 y垂直的切线方程为 2 已知 e f 且 0f 则 fx 5 设矩阵 210 A 矩阵 B满足 2 AE 其中 A为 的伴随矩 阵 E是单位矩阵 则 6 设随机变量 X服从参数为 的指数分布 则 DXP 二 选择题 本题共 8 小题 每小题 4 分 满分 32 分 7 把 0 x时的无穷小量 dtdtdt xxx 03002 sin an cos2 使排在 后面的是前一个的高阶无穷小 则正确的排列次序是 A B C D 8 设函数 fx连续 且 0 f则存在 0 使得 A 在 0 内单调增加 B fx在 0 内单调减少 C 对任意的 0 x有 fx D 对任意的 0 x有 fx 9 设 1na 为正项级数 下列结论中正确的是 A 若 n lim 0 则级数 1na 收敛 B 若存在非零常数 使得 nli 则级数 1na 发散 C 若级数 1na 收敛 则 0li2na D 若级数 1n发散 则存在非零常数 使得 nalim 2 10 设 fx为连续函数 ttydxfF1 则 2 F 等于 A 2 B f C f D 0 11 设 A是 3 阶方阵 将 的第 1 列与第 2 列交换得 B 再把 的第 2 列加到第 3 列 得 C 则满足 Q的可逆矩阵 为 A 10 B 10 C D 12 设 AB为满足 O的任意两个非零矩阵 则必有 A 的列向量组线性相关 B的行向量组线性相关 B 的列向量组线性相关 的列向量组线性相关 C A的行向量组线性相关 的行向量组线性相关 D 的行向量组线性相关 B的列向量组线性相关 13 设随机变量 X服从正态分布 0 1 N对给定的 10 数 u满足 uXP 若 xP 则 等于 A 2 B 21 C 1 D u 14 设随机变量 1 21 nX 独立同分布 且其方差为 02 令 niiXY1 则 A 21Cov Yn B 21Cov XY 3 C 21 nYXD D 21 nYXD 三 解答题 本题共 9 小题 满分 94 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 12 分 设 2eab 证明 224l ebab 16 本题满分 11 分 某种飞机在机场降落时 为了减少滑行距离 在触地的瞬间 飞机尾部张开减速伞 以增大 阻力 使飞机迅速减速并停下 现有一质量为 9000kg 的飞机 着陆时的水平速度为 700km h 经测试 减速伞打开后 飞 机所受的总阻力与飞机的速度成正比 比例系数为 10 6 k 问从着陆点算起 飞机滑 行的最长距离是多少 注 kg 表示千克 km h 表示千米 小时 18 本题满分 11 分 设有方程 10nx 其中 n为正整数 证明此方程存在惟一 正实根 nx 并证明当 1 时 级数 1n 收敛 19 本题满分 12 分 设 zxy 是由 222610180 xyyz 确定的函 数 求 zxy 的极值点和极值 20 本题满分 9 分 设有齐次线性方程组 1212 0 2 nnaxxna 试问 a取何值时 该方程组有非零解 并求出其通解 4 21 本题满分 9 分 设矩阵 12345a A 的特征方程有一个二重根 求 a的值 并讨论 A是否可相似 对角化 22 本题满分 9 分 设 AB为随机事件 且 111 432PABPAB 令 0不 发 生发 生X 0不 发 生发 生Y 求 1 二维随机变量 Y的概率分布 2 和 的相关系数 X 23 本题满分 9 分 设总体 X的分布函数为 1 0 xxF 其中未知参数 nX 12 为来自总体 的简单随机样本 求 1 的矩估计量 2 的最大似然估计量 5 一 填空题 本题共 6 小题 每小题 4 分 满分 24 分 把答案填在题中横线上 03 1 1ln 02coslimxx 4 从 2R的基 121 0 到基 121 的过渡矩阵为 5 设二维随机变量 XY的概率密度为 fxy 60 x 1y 其 则 1 YXP 6 已知一批零件的长度 单位 cm 服从正态分布 1 N 从中随机地抽取 16 个零件 得到长度的平均值为 40 cm 则 的置信度为 0 95 的置信区间是 注 标准正态分布函数值 95064 975 0 6 1 二 选择题 本题共 6 小题 每小题 4 分 满分 24 分 1 设函数 fx在 内连续 其导函数的图形如图所示 则 fx有 A 一个极小值点和两个极大值点 B 两个极小值点和一个极大值点 C 两个极小值点和两个极大值点 D 三个极小值点和一个极大值点 2 设 nncba均为非负数列 且 0lim na 1li nb nclim 则必有 A 对任意 成立 B 对任意 成立 C 极限 nc lim不存在 D 极限 nc li不存在 3 已知函数 fxy在点 0 的某个邻域内连续 且 1 lim20 yxfyx 则 A 点 0 不是 f的极值点 B 点 是 xy的极大值点 C 点 是 f的极小值点 D 根据所给条件无法判断点 0 是否为 fxy的极值点 6 4 设向量组 I 12 r 可由向量组 II 12 s 线性表示 则 A 当 sr 时 向量组 II 必线性相关 B 当 r 时 向量组 II 必线性相关 C 当 时 向量组 I 必线性相关 D 当 时 向量组 I 必线性相关 5 设有齐次线性方程组 0 x A和 B 其中 A均为 nm 矩阵 现有 4 个命题 若 0 x 的解均是 的解 则秩 秩 若秩 秩 则 x的解均是 0 x 的解 若 xA与 B同解 则秩 A秩 B 若秩 秩 则 0 x 与 同解 以上命题中正确的是 A B C D 6 设随机变量 21 XYntX 则 A 2 Y B 2 1 Yn C 1F D F 三 本题满分 10 分 过坐标原点作曲线 lnyx 的切线 该切线与曲线 lnyx 及 轴围成平面图形 D 1 求 D的面积 A 2 求 绕直线 e旋转一周所得旋转体的体积 V 四 本题满分 12 分 将函数 xxf21arctn 展开成 的幂级数 并求级数 012 n 的和 六 本题满分 10 分 某建筑工程打地基时 需用汽锤将桩打进土层 汽锤每次击打 都将克服土层对桩的阻力 而作功 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比 比例系数为 0k 汽锤 第一次击打将桩打进地下 am 根据设计方案 要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打 时所作的功之比为常数 01 r 问 1 汽锤击打桩 3 次后 可将桩打进地下多深 2 若击打次数不限 汽锤至多能将桩打进地下多深 注 m 表示长度单位米 7 七 本题满分 12 分 设函数 yx 在 内具有二阶导数 且 0yxy 是 x的反函 数 1 试将 所满足的微分方程 sin 32 dydyx变换为 y 满足 的微分方程 2 求变换后的微分方程满足初始条件 2 0 的解 九 本题满分 10 分 设矩阵 32 A 01 P 1 BPA 求 2 E的特征值与特征向 量 其中 为 的伴随矩阵 E为 3 阶单位矩阵 十 本题满分 8 分 已知平面上三条不同直线的方程分别为 1l 032 cbyax 2 3l ycx 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 0 ba 8 十一 本题满分 10 分 已知甲 乙两箱中装有同种产品 其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品 乙箱中仅装有 3 件合格品 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后 求 1 乙箱中次品件数的数学期望 2 从乙箱中任取一件产品是次品的概率 十二 本题满分 8 分 设总体 X的概率密度为 fx 2 e0 x 0 其中 0 是未知参数 从总体 X中抽取简单随机样本 nX 21 记 min 21nX 1 求总体 的分布函数 Fx 2 求统计量 的分布函数 3 如果用 作为 的估计量 讨论它是否具有无偏性 一 填空题 本题共 5 小题 每小题 3 分 满分 15 分 把答案填在题中横线上 9 1 exd2ln 2 已知 2610y 则 y 3 满足初始条件 1 02 的特解是 4 已知实二次型 32311321321 44 xxxaxf 经正交变换 可化为标准型 6y 则 5 设随机变量 2 NX 且二次方程 02 Xy无实根的概率为 0 5 则 二 选择题 本题共 5 小题 每小题 3 分 满分 15 分 1 考虑二元函数 yxf的四条性质 yxf在点 0处连续 yxf在点 0处的一阶偏导数连续 在点 处可微 在点 处的一阶偏导数存在 则有 A B C D 2 设 0 nu 且 1lim nu 则级数 1 1 nnu为 A 发散 B 绝对收敛 C 条件收敛 D 收敛性不能判定 3 设函数 xf在 R上有界且可导 则 A 当 0lim x时 必有 0 lim xfx B 当 limxfx 存在时 必有 f C 当 li0 x时 必有 li0 fx D 当 li0 xfx 在时 必有 f 5 设 X和 Y是相互独立的连续型随机变量 它们的密度函数分别为 xfX和 yfY 分布函数分别为 xF和 yY 则 A fX f必为密度函数 B xfXyY必为密度函数 10 C xFX yY必为某一随机变量的分布函数 D xFXyY必为某一随机 变量的分布函数 三 本题满分 6 分 设函数 xf在 0 的某邻域具有一阶连续导数 且 0 f 当 0 h时 若 2 hohbaf 试求 ba 的值 四 本题满分 7 分 已知两曲线 xfy 与 2arctn0extd 在点 0 处的切线相同 求此切线的方程 并 求极限 2limnf 五 本题满分 7 分 计算二重积分 2max eyDd 其中 10 yxyD 七 本题满分 7 分 1 验证函数 03 nxy x 满足微分方程 exy 2 求幂级数 0 3 n 的和函数 九 本题满分 6 分 已知四阶方阵 1234 A 1234 均为四维列向量 其中234 线性无关 123 若 求线性方程组 x A 的通解 11 十 本题满分 8 分 设 AB为同阶方阵 1 若 相似 证明 的特征多项式相等 2 举一个二阶方阵的例子说明 1 的逆命题不成立 3 当 为实对称矩阵时 证明 1 的逆命题成立 十一 本题满分 7 分 设维随机变量 X的概率密度为 fx 1cos02 xx 其 12 对 X独立地重复观察 4 次 用 Y表示观察值大于 3 的次数 求 2Y的数学期望 十二 本题满分 7 分 设总体 X的概率分布为 0 1 2 3P2 2 21 其中 1 是未知参数 利用总体 X的如下样本值 3 1 3 0 3 1 2 3 求 的矩估计和最大似然估计值 一 填空题 本题共 5 小题 每小题 3 分 满分 15 分 把答案填在题中横线上 1 设 e sincos xyabxa 为任意常数 为某二阶常系数线性齐次微分方程的通 解 则该方程为 13 3 交换二次积分的积分次序 012 ydxfd 4 设 24 AEO 则 A 5 DX 则根据车贝晓夫不等式有估计 2 XEP 二 选择题 本题共 5 小题 每小题 3 分 满分 15 分 1 设函数 xf在定义域内可导 xfy 的图形如右图所示 则 xfy 的图形为 A B C D 2 设 yxf在点 0 的附近有定义 且 1 0 3 0 yxff 则 A 0 3dzd B 曲面 yxf在 f处的法向量为 C 曲线 0z 在 0 f处的切向量为 1 03 D 曲线 fxy在 f处的切向量为 3 设 0 f则 f在 0 处可导 A 201coslimh 存在 B 0 1e limhhf 存在 14 C 20 sin limhf 存在 D hffh 2lim0 存在 4 设 140 AB 则 A与 B A 合同且相似 B 合同但不相似 C 不合同但相似 D 不合同且不相似 5 将一枚硬币重复掷 n次 以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数 则 X和Y 相关系数为 A 1 B 0 C 12 D 1 三 本题满分 6 分 求 2arctne xd 四 本题满分 6 分 设函数 yxfz 在点 1 可微 且31 2 1 yxfff xf 求 13 xd 五 本题满分 8 分 设 fx 21arctn0 x 将 xf展开成 的幂级数 并求 124 nn 的和 15 七 本题满分 7 分 设 xf在 1 内具有二阶连续导数且 0 xf 证明 1 对于 0 存在惟一的 1 使 xf 0 xf 成 立 2 5 lim0 x 八 本题满分 8 分 设有一高度为 th 为时间 的雪堆在融化过程 其侧面满足方程 22thyxtz 设长度单位为厘米 时间单位为小时 已知体积减少的速率与侧面积 成正比 系数为 0 9 问高度为 130 厘米的雪堆全部融化需多少时间 九 本题满分 6 分 设 12 s 为线性方程组 AXO的一个基础解系 2123121 ssttt 其中 21 t为实常数 试问 21 满足什么条件时 s 也为 的一个基础解系 十 本题满分 8 分 已知三阶矩阵 A和三维向量 x 使得 2 Ax线性无关 且满足32 Axx 1 记 P求 B使 1 P 2 计算行列式 E 16 十一 本题满分 7 分 设某班车起点站上客人数 X服从参数为 0 的泊松分布 每位 乘客在中途下车的概率为 01 p 且中途下车与否相互独立 Y为中途下车的人数 求 1 在发车时有 n个乘客的条件下 中途有 m人下车的概率 2 二维随机变量 XY的概率分布 十二 本题满分 7 分 设 2 XN 抽取简单随机样本 12 2 nX 样本均值 nii21 niiniY12 求 EY