二次函数与几何图形综合

1 二次函数与几何图形综合 类型 1 利用二次函数图象解决与线段 三角形相关的问题 以函数图象为背景的几何题 图象背景往往就是一件衣服 基本套路是依据 点在图象 上 点的坐标满足解析式 求出函数解析式 从而根据题目条件求出更多点的坐标 进而求 出线段长度 三角形面积 1 牡丹江中考 如图 抛物线 y ax 2 2x c 经过点 A 0 3 B 1 0 请回答下列问题 1 求抛物线的解析式 2 抛物线的顶点为 D 对称轴与 x 轴交于点 E 连接 BD 求 BD 的长 2 二次函数 y x 2 mx n 的图象经过点 A 1 4 B 1 0 y x b 经过点 B 12 且与二次函数 y x 2 mx n 交于点 D 1 求二次函数的表达式 2 点 N 是二次函数图象上一点 点 N 在 BD 上方 过 N 作 NP x 轴 垂足为点 P 交 BD 于点 M 求 MN 的最大值 3 如图 抛物线经过 A 4 0 B 1 0 C 0 2 三点 1 求此抛物线的解析式 2 在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D 使得 DCA 的面 积最大 求出点 D 的坐标 2 类型 2 二次函数图象与 线段之和最短 问题 如果两条线段有公共端点 那么直接构造 线段之和最短 问题解决 如果两条线段没 有公共端点 那么需要通过平移将两条线段构造得有公共端点 然后应用 线段之和最短 问题解决 4 如图 已知抛物线 y x 2 x 4 与 x 轴交于点 A B 点 A 位于点 B 的左侧 与 y 28 轴交于点 C M 为抛物线的顶点 1 求点 A B C 的坐标 2 设动点 N 2 n 求使 MN BN 的值最小时 n 的值 5 如图 已知抛物线 y x 2 x m m 0 与 x 轴相交于点 A B 与 y 轴相交于点 1m C 且点 A 在点 B 的左侧 1 若抛物线过点 G 2 2 求实数 m 的值 2 在 1 的条件下 在抛物线的对称轴上找一点 H 使 AH CH 最小 并求出点 H 的坐标 3 6 如图 抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 且 OA 2 OC 3 12 1 求抛物线的解析式 2 点 D 2 2 是抛物线上一点 那么在抛物线的对称轴上 是否存在一点 P 使得 BDP 的周长最小 若存在 请求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 7 如图 在平面直角坐标系中 矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上 OC 在 x 轴的正半轴上 AOC 的 平分线交 AB 于点 D E 为 BC 的中点 已知 A 0 4 C 5 0 二次函数 y x2 bx c 的图象抛物线经 45 过 A C 两点 1 求该二次函数的表达式 2 F G 分别为 x 轴 y 轴上的动点 顺次连接 D E F G 构成四边形 DEFG 求四边形 DEFG 周长的 最小值 4 8 如图 抛物线 y x 2 bx c 经过点 A 1 0 B 3 0 请解答下列问题 1 求抛物线的解析式 2 点 E 2 m 在抛物线上 抛物线的对称轴与 x 轴交于点 H 点 F 是 AE 中点 连接 FH 求线段 FH 的长 9 如图 在直角坐标系 xOy 中 二次函数 y x2 2k 1 x k 1 的图象与 x 轴相交于 O A 两点 1 求这个二次函数的解析式 2 在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点 B 使 AOB 的面积等于 6 求点 B 的坐标 3 对于 2 中的点 B 在此抛物线上是否存在点 P 使 POB 90 若存在 求出点 P 的坐 标 并求出 POB 的面积 若不存在 请说明理由 5 参考答案 1 1 抛物线 y ax 2 2x c 经过点 A 0 3 B 1 0 解得 c 3 0 a 2 c 抛物线的解析式为 y x 2 2x 3 a 1 c 3 2 y x 2 2x 3 x 1 2 4 抛物线的顶点坐标为 1 4 BE 2 DE 4 BD 2 BE2 DE2 5 2 1 二次函数 y x 2 mx n 的图象经过点 A 1 4 B 1 0 解得 二次函数的表达式为 y x 2 2x 3 4 1 m n 0 1 m n m 2 n 3 2 y x b 经过点 B 1 b 0 解得 b y x 设 M m m 12 12 12 12 12 12 12 则 N m m 2 2m 3 MN m 2 2m 3 m m 2 m m 2 12 12 32 52 34 MN 的最大值为 4916 4916 3 1 该抛物线过点 C 0 2 设该抛物线的解析式为 y ax 2 bx 2 将 A 4 0 B 1 0 代 入 得 解得 此抛物线的解析式为 y x2 x 2 16a 4b 2 0 a b 2 0 a 12 b 52 12 52 2 设 D 点的横坐标为 t 0 t 4 则 D 点的纵坐标为 t2 t 2 过 D 作 y 轴的平行线交 AC 12 52 于 E 由题意可求得直线 AC 的解析式为 y x 2 E 点的坐标为 t t 2 DE t2 12 12 12 t 2 t 2 t2 2t S DCA t2 2t 4 t 2 4t t 2 2 4 当 t 2 时 52 12 12 12 12 DCA 面积最大 D 2 1 4 1 令 y 0 得 x 2 x 4 0 解得 x1 2 x 2 4 令 x 0 得 28 y A 2 0 B 4 0 C 0 2 2 2 过点 A 2 0 作 y 轴的平行线 l 则点 B 关于 l 的对称点 B 8 0 又 M 1 982 6 连接 B M 与 l 的交点即为使 MN BN 值最小的点 设直线 B M 的解析式为 y kx b 则 解得 y x 当 x 2 时 n 0 8k b 982 k b k 182 b 2 182 2 342 5 1 抛物线过点 G 2 2 时 2 2 2 m 2 解得 m 4 1m 2 m 4 y x 2 x 4 令 y 0 x 2 x 4 0 解得 x1 2 x 2 4 则 14 14 A 2 0 B 4 0 抛物线对称轴为直线 l x 1 令 x 0 则 y 2 所以 2 42 C 0 2 B 点与 A 点关于对称轴对称 连接 BC BC 与直线 l 的交点便为所求点 H B 4 0 C 0 2 求得线段 BC 所在直线为 y x 2 当 x 1 时 y H 1 12 32 32 6 1 由已知条件得 A 2 0 C 0 3 代入二次函数解析式 得 解得 c 3 2 2b c 0 抛物线的解析式为 y x2 x 3 b 12 c 3 12 12 2 连接 AD 交对称轴于点 P 则 P 为所求的点 设直线 AD 的解析式为 y kx t 由已知得 解得 直线 AD 的解析式为 y x 1 对称轴为直线 x 2k t 0 2k t 2 k 12 t 1 12 b2a 12 将 x 代入 y x 1 得 y P 12 12 54 12 54 7 1 将 A 0 4 C 5 0 代入二次函数 y x2 bx c 得 解得 45 20 5b c 0 c 4 故二次函数的表达式为 y x2 x 4 b 245 c 4 45 245 2 延长 EC 至 E 使 E C EC 延长 DA 至 D 使 D A DA 连接 D E 交 x 轴于 F 点 交 y 轴于 G 点 GD GD EF E F DG GF EF ED 最小 D E DE 由 E 5 2 D 4 4 得 D 4 4 E 5 2 由勾股定理 得 DE D E 22 12 5 3 DG GF EF ED 最小 D E DE 3 5 4 2 4 2 2 13 13 5 7 8 1 抛物线 y x 2 bx c 经过点 A 1 0 B 3 0 解得 1 b c 0 9 3b c 0 y x 2 2x 3 b 2 c 3 2 点 E 2 m 在抛物线上 m 4 4 3 3 E 2 3 BE 点 F 3 2 2 0 3 2 10 是 AE 中点 抛物线的对称轴与 x 轴交于点 H H 是 AB 中点 FH BE 12 102 9 1 函数的图象与 x 轴相交于 O 0 k 1 k 1 二次函数的解析式为 y x2 3x 2 假设存在点 B 过点 B 作 BD x 轴于点 D AOB 的面积等于 6 AO BD 6 21 当 y 0 时 x x 3 0 解得 x 0 或 3 AO 3 BD 4 即 4 x2 3x 解得 x 4 或 x 1 舍去 又 顶点坐标为 1 5 2 25 2 25 4 x 轴下方不存在 B 点 点 B 的坐标为 4 4 3 点 B 的坐标为 4 4 BOD 45 BO 4 24 当 POB 90 时 POD 45 设 P 点横坐标为 x 则纵坐标为 x2 3x 即 x x 2 3x 解得 x 2 或 x 0 在抛物线上仅存在一点 P 2 2 OP 2 POB 的面积为 PO BO 2 4 8 21