《量子力学教程》第二版答案及补充练习

1 第一章 量子理论基础 1 1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律 能量密度极大值所对应的波长 与温度m T 成反比 即 T b 常量 m 并近似计算 b 的数值 准确到二位有效数字 解 根据普朗克的黑体辐射公式 1 dvec hvdkThvv 183 以及 2 c 3 dv 有 18 5 kThcvedc 这里的 的物理意义是黑体内波长介于 与 d 之间的辐射能量密度 本题关注的是 取何值时 取得极大值 因此 就得要求 对 的 一阶导数为零 由此可求得相应的 的值 记作 但要注意的是 还需要m 验证 对 的二阶导数在 处的取值是否小于零 如果小于零 那么前面求 m 得的 就是要求的 具体如下 m 015186 kThckThcee 2 015 kThce k c 如果令 x 则上述方程为kThc xe 1 5 这是一个超越方程 首先 易知此方程有解 x 0 但经过验证 此解是平庸的 另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得 x 4 97 经过验证 此解正是所要求的 这样则有 xkhcTm 把 x 以及三个物理常量代入到上式便知 K 3109 2 这便是维恩位移定律 据此 我们知识物体温度升高的话 辐射的能量分布的 峰值向较短波长方面移动 这样便会根据热物体 如遥远星体 的发光颜色来 判定温度的高低 1 2 在 0K 附近 钠的价电子能量约为 3eV 求其德布罗意波长 解 根据德布罗意波粒二象性的关系 可知 E hv hP 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子 那么2cEe 动 ep2 如果我们考察的是相对性的光子 那么 E pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为 3eV 远远小于电子的质量与光速 平方的乘积 即 因此利用非相对论性的电子的能量 动量关系eV6105 式 这样 便有 ph 3 nmEchee71 035 24296 在这里 利用了 eVhc 624 以及 e62105 最后 对 Eche2 作一点讨论 从上式可以看出 当粒子的质量越大时 这个粒子的波长就越短 因而这个粒子的波动性较弱 而粒子性较强 同样的 当粒子的动能越大时 这个粒子的波长就越短 因而这个粒子的波动性较弱 而粒子性较强 由于宏 观世界的物体质量普遍很大 因而波动性极弱 显现出来的都是粒子性 这种 波粒二象性 从某种子意义来说 只有在微观世界才能显现 1 3 氦原子的动能是 k 为玻耳兹曼常数 求 T 1K 时 氦原子的德TE23 布罗意波长 解 根据 eVKk310 知本题的氦原子的动能为 5 233TE 显然远远小于 这样 便有2c核 Ech2核 4 nmm37 01105 24936 这里 利用了 eVec962 107 394 核 最后 再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论 由某种粒子构成的温 度为 T 的体系 其中粒子的平均动能的数量级为 kT 这样 其相庆的德布罗意 波长就为 TkchEc22 据此可知 当体系的温度越低 相应的德布罗意波长就越长 这时这种粒子的 波动性就越明显 特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时 粒子间的相 干性就尤为明显 因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布 而必须用量子的描述粒子的统计分布 玻色分布或费米公布 1 4 利用玻尔 索末菲的量子化条件 求 1 一维谐振子的能量 2 在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径 已知外磁场 H 10T 玻尔磁子 试计算运能的量子化12409 TJMB 间隔 E 并与 T 4K 及 T 100K 的热运动能量相比较 解 玻尔 索末菲的量子化条件为 nhpdq 其中 q 是微观粒子的一个广义坐标 p 是与之相对应的广义动量 回路积分是 沿运动轨道积一圈 n 是正整数 1 设一维谐振子的劲度常数为 k 谐振子质量为 于是有221xpE 这样 便有 2 kxp 这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动 一正一负正 好表示一个来回 运动了一圈 此外 根据 21kxE 可解出 x 5 这表示谐振子的正负方向的最大位移 这样 根据玻尔 索末菲的量子化条 件 有 xx nhdxkEdkE 21 21 xx hndkEx 2 1 2 为了积分上述方程的左边 作以下变量代换 sinkx 这样 便有 hkEd2sicos22 2 n hdkE2cos22 这时 令上式左边的积分为 A 此外再构造一个积分 22sin kB 这样 便有 1 222cos dkEBAk 2 cos dk 这里 2 这样 就有 2 0sin kEBA 6 根据式 1 和 2 便有 kEA 这样 便有 hnk2 E knh 其中 2h 最后 对此解作一点讨论 首先 注意到谐振子的能量被量子化了 其次 这量子化的能量是等间隔分布的 2 当电子在均匀磁场中作圆周运动时 有 BqR 2 p 这时 玻尔 索末菲的量子化条件就为 20 nhqBd R 2 又因为动能耐 所以 有 2pE 2 RBqE BnN 其中 是玻尔磁子 这样 发现量子化的能量也是等间隔的 而且 2 qMB 7 BME 具体到本题 有 JJ232410910 根据动能与温度的关系式 kTE3 以及 JeVKk23106 10 可知 当温度 T 4K 时 E22 9 45 当温度 T 100K 时 JJ20214 106 1 显然 两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔 1 5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对 如果两光子的能量相等 问要实现实种转化 光子的波长最大是多少 解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程 如两个光子以怎样的 概率转化为正负电子对的问题 严格来说 需要用到相对性量子场论的知识去 计算 修正当涉及到这个过程的运动学方面 如能量守恒 动量守恒等 我们 不需要用那么高深的知识去计算 具休到本题 两个光子能量相等 因此当对 心碰撞时 转化为正风电子对反需的能量最小 因而所对应的波长也就最长 而且 有 2chvEe 此外 还有 p 于是 有 2che 2enm312604 5 尽管这是光子转化为电子的最大波长 但从数值上看 也是相当小的 我 8 们知道 电子是自然界中最轻的有质量的粒子 如果是光子转化为像正反质子 对之类的更大质量的粒子 那么所对应的光子的最大波长将会更小 这从某种 意义上告诉我们 当涉及到粒子的衰变 产生 转化等问题 一般所需的能量 是很大的 能量越大 粒子间的转化等现象就越丰富 这样 也许就能发现新 粒子 这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因 期待发现新现象 新粒 子 新物理 第二章波 函数和薛定谔方程 2 1 证明在定态中 几率流与时间无关 证 对于定态 可令 r r r m2i e r eeei 2iJ e r t ftr EtiEti EtiEti Eti 可见 无关 tJ与 2 2 由下列定态波函数计算几率流密度 ikrikr ee 1 2 1 从所得结果说明 表示向外传播的球面波 表示向内 即向原点 传播的球1 2 面波 解 分 量只 有和 rJ21 在球坐标中 sinr1er0 9 rmkr rikrii eerrimiJ ikrikrikik 302 022 01 11 2 同向 表示向外传播的球面波 rJ1 rmkr r 1ikr 1 i1 2i e ereri 2iJ 30 022 0ikrikrikikr 2 可见 反向 表示向内 即向原点 传播的球面波 rJ 与2 补充 设 粒子的位置几率分布如何 这个波函数能否归一化 ikxe d 波函数不能按 方式归一化 1 2 x 其相对位置几率分布函数为 表示粒子在空间各处出现的几率相同 12 2 3 一粒子在一维势场 axU 0 中运动 求粒子的能级和对应的波函数 解 无关 是定态问题 其定态 S 方程tx与 10 2xExUdxm 在各区域的具体形式为 2 0 111 xExdx 22max 3332 xExUdx 由于 1 3 方程中 由于 要等式成立 必须 U 0 1x 2 即粒子不能运动到势阱以外的地方去 方程 2 可变为 0 2 2 xmEdx 令 得2k 0 22 xkdx 其解为 BAxcossin 2 根据波函数的标准条件确定系数 A B 由连续性条件 得 0 12 3a B 0sin kA 32 1 0sin kaA 11 xanAx si 2 由归一化条件 1 d 得 sin02 axA 由 mn ab adxm 2ii xanx A si2 2 mEk 可见 E 是量子化的 321 2 nan 对应于 的归一化的定态波函数为nE axxeantxtEin n 0 si 2 4 证明 2 6 14 式中的归一化常数是 aA1 证 axanAn 0 si 2 6 14 由归一化 得 12 aAaxndxxanAdAdxaaan22222 sico s1 i 归一化常数 1 2 5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置 解 212 xex 2 2311 4 xxee 2 2 3231 xdx 令 得0 1 xx 1 由 的表达式可知 时 显然不是最大几率的位 1 0 0 1 x 置 2 2 51 4 6 2 423 32312 x xex ed 而 01 321 dx 13 可见 是所求几率最大的位置 1x 2 6 在一维势场中运动的粒子 势能对原点对称 证明粒子 xU 的定态波函数具有确定的宇称 证 在一维势场中运动的粒子的定态 S 方程为 2xExUdx 将式中的 代换 得以 2xxdx 利用 得 U 2xExdx 比较 式可知 都是描写在同一势场作用下的粒子状态和 的波函数 由于它们描写的是同一个状态 因此 之间只能相差一 x和 个常数 方程 可相互进行空间反演 而得其对方 由 经c 反演 可得 x xc 由 再经 反演 可得 反演步骤与上完全相同 即是完全等价的 x xc 乘 得 x c 2 可见 12 c 当 时 具有偶宇称 x 当 时 具有奇宇称 1 c 14 当势场满足 时 粒子的定态波函数具有确定的宇称 xU 2 7 一粒子在一维势阱中 axx 0 运动 求束缚态 的能级所满足的方程 UE 解法一 粒子所满足的 S 方程为 2xExdx 按势能 的形式分区域的具体形式为 U x xd21101 ax 222xEx x U d23303 xa 整理后 得 0 1201 E 2 0 3203 U 令 22021 EkEk 则 12 02 k 15 0123 k 各方程的解为 xkxk3222 xkxk11111FeEcosDsinCBA 由波函数的有限性 有 0 31 EA有 限有 限 因此 xk311FeB 由波函数的连续性 有 13 FekasinDkacosCk a 2 in asincoBe 0 asi a a122232 222ak121 1 整理 10 11 12 13 式 并合并成方程组 得 0FekaDsinkaCcosk0in iBesi a12222ak1 解此方程即可得出 B C D F 进而得出波函数的具体形式 要方程组 有非零解 必须 0Bekasinakcos0ciniekossi a122a1 22 16 ak2cosak2sin k e inicoei acsase koiksinkneco asiasi 0kckne esicoaasii0112a 212k2a1 ak 222a21 kk ak122a1 a122 kak1 111111 0 0cssi 21221 kkk 即 为所求束缚态能级所满足的方程 2atg 解法二 接 13 式 aksinDakcosCkcosDsinC212122 iaai 2121222 17 02cosk 2sin 1 0cosincossicosi 0 in i cossisico in i 0cossisico122 221221221 2212221 2122 212 aak akakakakk akkakakkak 解法三 11 13 si122 FBeDak 10 12 aco1 a ktg 12 0312 11 13 ikeBFaC1 cos122 12 10 aikkin 令 则 ak22 d ctg c f aU2 k 0212 合并 b a b kactgkk 10 12 13 11 122 18 利用212katg aktg12at 解法四 最简方法 平移坐标轴法 0 101 2 EU 0 2 22 a 2 3303 EU 0 2 230311 EU 束缚态 3 0kE2k U 1321 2011 0E0UxkxkxkxFeEDCBA1113222cossin 0 3 EB有 限有 限 因此 xkFeA131 由波函数的连续性 有 7 Feak2cosDasinC a2 6 ink 5 0 4 ak2232 ak212112 1 19 7 代入 6 akDakCakDC 2121222 sincoscossin 利用 4 5 得 0ak2cosak2sin k i 0A 0 ak2cosasin k asikAi112 2212212 21221 2 8 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 0 1xbaUx 求束缚态的能级所满足的方程 解 势能曲线如图示 分成四个区域求解 定态 S 方程为 2xExUdx 对各区域的具体形式为 0 112 x 220 aEU 313 bx 0244E 20 对于区域 粒子不可能到达此区域 故 xU 01 而 22 E 0 3213 U 424 E 对于束缚态来说 有 021 k 2021 EUk 32 2123 042 k 24 Ek 各方程的解分别为 xkxk xkxkFeEDCBA331142232cossin 由波函数的有限性 得 0 4 有 限 xke34 由波函数及其一阶导数的连续 得 AB 0 21 33xkxke akDkCaxk 2232 cossin 33 eAka13 in 33 bkFeDbCb 3224cossin bkk32243i 21 由 得 11 akDCekak 2221 cossinc1 由 得 DbkCbbb cos in cos 233 0sicoi 223223 kkk 12 令 则 式变为211eak 0 sinco cossin 222 DakC 联立 12 13 得 要此方程组有非零解 必须 sinco cossin ii 222233 akakbbk 1 0 1 cossin 0ico cosinsinsi iic 0 ossi cossi i 32322 3222 232322232 223 kabtgkkabkabkabk kabkb ak即 把 代入即得 1 1111 23322 akakeeabtgk 此即为所要求的束缚态能级所满足的方程 附 从方程 之后也可以直接用行列式求解 见附页 22 bkaekbakebkeee kbbkaak ebkbke eakkeabb aaka aak kaak akak 2223231 22232 3221 3223222 22 sinsincocos cocos ii csinoin0css icoisins 0 0cisicos in331 331111111 0 sin cos coi 31 311 31 2312232 2123 bkak bkakak eakabee 0 0 231 2312312231 2312 11 3 k ekabtgkeet aa bk 此即为所求方程 补充练习题一 1 设 求 A 21为 常 数 xAe 解 由归一化条件 有 x de1 d222x2 利用 ye122 dye2 A 23 2 求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率 解 基态能量为 210 E 设基态的经典界限的位置为 则有a 20 0a1a 在界限外发现振子的几率为 t21y dte21 2yde2 x de 22 t1y1a ax2220202 式中 为正态分布函数 2tt xtde2 当 查表得 9 02 时 的 值 x 9 0 16 在经典极限外发现振子的几率为 0 16 3 试证明 是线性谐振子的波函数 并求此波 x32 e3 x x1 函数对应的能量 证 线性谐振子的 S 方程为 22 0 220 22 0 x a x a x edxedxe 24 21 22xExdx 把 代入上式 有 x 3x92 e3 e 6 x x32e3d 2451 x2122x1 x dx 2345x212 x18 e 9 e3 35x212345x21 x 7 x 324 321 把 代入 式左边 得 2dx 27 21 1 2 21 7 21 222 242242xExxx xxxdx 右 边 左 边 当 时 左边 右边 n 3 27 E 是线性谐振子的波函数 其对 2 3 1xedxx 25 应的能量为 27 第三章 量子力学中的力学量 3 1 一维谐振子处在基态 求 tixex 2 1 势能的平均值 21U 2 动能的平均值 2pT 3 动量的几率分布函数 解 1 dxexU2221 2222 411 41 0 122 53andxean 2 dxppT 2 xeex22121 dx2 2 22 eexx 2 23 26 4222 41 或 412 UET 3 dxpcp 2121 dxePix Pxi 21 de pix22 1 21 xipp222 1 212 pe 2 pe 动量几率分布函数为 21 2 pepc 3 2 氢原子处在基态 求 0 3 arer 1 r 的平均值 2 势能 的平均值 re 2 3 最可几半径 4 动能的平均值 5 动量的几率分布函数 解 1 drreadr a sin1 022 32 0 27 0 2304dra 01 naxnde 04032a 020320 2 3022 3214 sin si1 0 0aeaedrdreae rrUarrar 3 电子出现在 r dr 球壳内出现的几率为 022 sin drrdr drear2 3004 2 3004 ear 0 203 ardr 令 0321 0 rd 当 为几率最小位置 21 r 0 20302 48 4arerad 23020 era 是最可几半径 0ar 28 4 22 1 pT 02 2 2 30 sin 100 dreaarr 02 2 2 30 i 00drrea 0 0 2302 140eaar 20 2402 5 drpcp 200cos02 32 3 in1 0 dereaprir 0cos0 232 dpriar 0 0cos 232 0 priaree 0 32 0drripapiria 01 naxnde 1 1 2 202030 piapiai 22030 41iipa 220 430 24 220 pa 22 sin1 ii1 29 动量几率分布函数 4202 53 8 pacp 3 3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 0 erJ 2sin me 证 电子的电流密度为 2 mnmneiJ 在球极坐标中为 sin11rerer 式中 为单位矢量 r sin11 2 mnrmnre reeiJ sin1sin1 1 2 mnmnmnn nnnr rreei 中的 和 部分是实数 r eiiieJ mnmne s222 ermn 2si 可见 0er 2sinmeJ 3 4 由上题可知 氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的 30 1 求一圆周电流的磁矩 2 证明氢原子磁矩为 2 CGScmeIMz 原子磁矩与角动量之比为 2 CGSceILz 这个比值称为回转磁比率 解 1 一圆周电流的磁矩为 为圆周电流 为圆周所围面积 AdSJidMe iA 22 sin sin rrm dSemn2i rrn22si rdS 2 氢原子的磁矩为 02 sidrmedMn 02 i2rmn den 202 si 2 SI 在 单位制中 CGScmeM 原子磁矩与角动量之比为 31 2SIeLMzz 2CGSceLz 3 5 一刚性转子转动惯量为 I 它的能量的经典表示式是 L 为角动IH2 量 求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数 1 转子绕一固定轴转动 2 转子绕一固定点转动 解 1 设该固定轴沿 Z 轴方向 则有 2ZL 哈米顿算符 22 1 dIIH 其本征方程为 无关 属定态问题 t 2 2 IEdI 令 则2 IEm 0 2 md 取其解为 可正可负可为零 iAe 由波函数的单值性 应有 imie 2 2 即 1 mie m 0 1 2 转子的定态能量为 m 0 1 2 IEm 可见能量只能取一系列分立值 构成分立谱 定态波函数为 32 imAe A 为归一化常数 由归一化条件 212 2020 d 转子的归一化波函数为 ime21 综上所述 除 m 0 外 能级是二重简并的 2 取固定点为坐标原点 则转子的哈米顿算符为 2 1LIH 无关 属定态问题 其本征方程为tH与 21 EYI 式中 设为 的本征函数 为其本征值 Y 2 IL 令 则有 IE 22 Y 此即为角动量 的本征方程 其本征值为L 210 1 22 其波函数为球谐函数 immmePNY cos 转子的定态能量为 2 1 IE 可见 能量是分立的 且是 重简并的 12 33 3 6 设 t 0 时 粒子的状态为 cos sin 21kxAx 求此时粒子的平均动量和平均动能 解 cos co sin 212121 kxkx cos kx 1 2212 ikxikxikxi eeA 21 2121210 ikxikxikxixi 可见 动量 的可能值为np 动能 的可能值为 2 2 2 022 kk 对应的几率 应为 n 2 16 16 4 2222 AAA 2 8 821 上述的 A 为归一化常数 可由归一化条件 得 2 164 122 AAn 动量 的平均值为p 02162162162160 AkkAkAkpn npT 34 28128102 kk 5 2 3 7 一维运动粒子的状态是 0 0 xAex当当 其中 求 1 粒子动量的几率分布函数 2 粒子的平均动量 解 1 先求归一化常数 由 022 1dxeAdx 234 2 A xex 3 0 0 x dxedxepc ikik 21 21 3 ii xikxik 0 1 3 22 1 322 13 pii 动量几率分布函数为 22 32232 1 1 pppc 2 dxexidxp 4 3 35 dxexi 23 1 4 4 23 i 0 3 8 在一维无限深势阱中运动的粒子 势阱的宽度为 如果粒子的状态由波函a 数 xaA 描写 A 为归一化常数 求粒子的几率分布和能量的平均值 解 由波函数 的形式可知一维无限深势阱的分布如图示 粒子能 x 量的本征函数和本征值为 axanx 0 0 si2 2En 321 n 动量的几率分布函数为 nC an dxdxC0 si 先把 归一化 由归一化条件 x aa dxxAdxAd0222022 1 aA043 0 5235252a 53aA an dxnC05 si2 36 sinsin 1520203 xdaxdaaa axnxan xan032 22323 cossi cosico 1 543n 262 40 nnCE 6420 53196 adxpdxHE02 a0 25 3 3 0 5052 adxa 2 3 9 设氢原子处于状态 23 21 110 YrRYrRr 求氢原子能量 角动量平方及角动量 Z 分量的可能值 这些可能值出现的几率 和这些力学量的平均值 解 在此能量中 氢原子能量有确定值 2228 ssenE 2 n 角动量平方有确定值为 22 1 L 1 37 角动量 Z 分量的可能值为 01 L 2 其相应的几率分别为 43 其平均值为 01 ZL 3 10 一粒子在硬壁球形空腔中运动 势能为 arrU 0 求粒子的能级和定态函数 解 据题意 在 的区域 所以粒子不可能运动到这一区 rU 域 即在这区域粒子的波函数 0 a 由于在 的区域内 只求角动量为零的情况 即 这时在ar r 0 各个方向发现粒子的几率是相同的 即粒子的几率分布与角度 无关 是各 向同性的 因此 粒子的波函数只与 有关 而与 无关 设为 则粒r r 子的能量的本征方程为 Edr 122 令 得2 krEU 02 udr 其通解为 krBrArsinco 波函数的有限性条件知 有限 则 0 38 A 0 krBrsin 由波函数的连续性条件 有 0si 0 aa B 21 nk an 2En raBr si 其中 B 为归一化 由归一化条件得 2020 sin4 sin 1aBrdBdrdaa 归一化的波函数 ra nr si 21 3 11 求第 3 6 题中粒子位置和动量的测不准关系 2 px 解 0 p 2245 kT 0 cos1 sin2 dxxAx k22 39 222pxpx 3 12 粒子处于状态 4e 21 202 i 式中 为常量 当粒子的动量平均值 并计算测不准关系 2 px 解 先把 归一化 由归一化条件 得 x 2 2121 2 dedexx 12 12 是归一化的 2exp 0 xi 动量平均值为 dxexpieidxip pixpi 2020 0 diix2 0 eidepxx22 0 2 x dxed2 奇被积函数 dxeex 222 2 11 1 40 dxeedxp pixpi 2020 222 dip xx 2220202 21 20202 p 22 x 20222 pp 2241 x 3 13 利用测不准关系估计氢原子的基态能量 解 设氢原子基态的最概然半径为 R 则原子半径的不确定范围可近似取为r 由测不准关系 4 22 p 得 2 R 对于氢原子 基态波函数为偶宇称 而动量算符 为奇宇称 所以p 0 p 又有 22 所以 224Rp 可近似取 2 能量平均值为 rePEs 2 41 作为数量级估算可近似取 Rers 2 则有 Es2 基态能量应取 的极小值 由 023 Res 得 2se 代入 得到基态能量为 E24min sE 补充练习题二 1 试以基态氢原子为例证明 的本征函数 而是 的本征函UT 或不 是 UT 数 1 2 1 420 3010 0 sar eae 解 10 1020 02 32 22 0 102102 22 sin sin 00 常 数 raerarrTeUrrars 的 本 征 函 数不 是 T 10 42 10 210 reUs 可见 的 本 征 函 数不 是10 102 10 21022 2 3010 0 arareaT sar 而 可见 是 的本征函数 10 UT 2 证明 的氢原子中的电子 在 的方向上被发 L 6 135 4和 现的几率最大 解 dYWmm2 的电子 其 L 61 2 i ieY cosin815 i 12 2sin315i 2212 mW 当 时 35 4和 为最大值 即在 方向发现电子的几率最大 21 1354 在其它方向发现电子的几率密度均在 之间 0 32 3 试证明 处于 1s 2p 和 3d 态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为 43 的球壳内被发现的几率最大 为第一玻尔轨道半径 0094a和 0a 证 对 1s 态 0 2 301 1areRn 0 0 20301 32100 4 arrerarW 令 10 0321 ar 易见 当 不是最大值 0 121 r时 为最大值 所以处于 1s 态的电子在 处被发现的几率最0104 eaW0 ar 大 对 2p 态的电子 02 2 3021 2areaRn 0 0 35021 24321 4 arrerarW 令 021 03214 ar 易见 当 为最小值 0 2121 r时 0 20502 8 4arearW 038 163 1644504210 eaar 为几率最大位置 即在 的球壳内发现球态的电子的几率最0r 大 对于 3d 态的电子 03 202 3032 158 3 areaRn 44 0 03 2057023 62232 1818 arrerarWR 令 032 03219 r 易见 当 为几率最小位置 0 3221 r时 03 20 6570223 94 586arearrW 0516 9811 3 62004729230 eaer 为几率最大位置 即在 的球壳内发现球态的电子的几率最0r 09ar 大 4 当无磁场时 在金属中的电子的势能可近似视为 0 在 金 属 外 部在 金 属 内 部xU 其中 求电子在均匀场外电场作用下穿过金属表面的透射系数 0 U 解 设电场强度为 方向沿 轴负向 则总势能为 0 xexV 0 势能曲线如图所示 则透射系数为 2exp 10 xdxEeUD 式中 为电子能量 由下式确定E1 2 0 20 xep EUx 2 45 令 则有 20sineEUx 23 3cos sin2 2 00 000 0012 EUe deEUdxx 透射系数 xp 0eD 5 指出下列算符哪个是线性的 说明其理由 24dx 2 nK1 解 是线性算符2 22121 2212244 4 udxcudxc ucdxc 不是线性算符 2 221 2121 ucc 是线性算符 nK1 NKNKn ucucuc 12112112 6 指出下列算符哪个是厄米算符 说明其理由 24 dxidx 46 不 是 厄 米 算 符 当解 dxdxdxdxxdx 0 是 厄 米 算 符dxi dxidxii 是 厄 米 算 符2 22 2 24 4 4 4 dx dxdxdxdx 7 下列函数哪些是算符 的本征函数 其本征值是什么 2 2xxexsinxcos3xcosin 解 2 2 d 不是 的本征函数 x2 xed 2 不是 的本征函数 其对应的本征值为 1 x2d 47 xdxdxsin co sin2 可见 是 的本征函数 其对应的本征值为 1 i2 cos3 sin3 cos3 2 xxdxd 是 的本征函数 其对应的本征值为 1 2 cos in cosinsi co2xxxddx 是 的本征函数 其对应的本征值为 1 si2 8 试求算符 的本征函数 dxieF 解 的本征方程为 cdxFedxFeeidxei iixilnln 即 的本征值 ic 是 9 如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心 求阱中粒子的波函数和能级的 表达式 解 2 0 axU 48 方程 分区域 xU 0 xI 2 a x 0 xI2 a IIEdx 2 02 II 令 2Ek 02 IIdx sin kAI 标准条件 2 aII 0sin kxA si 取 即 02 ak 2ak sin xAI 0 ka i 21 49 nak 粒子的波函数为 2 0 sin axaAx 粒子的能级为 aknE 22 31 n 由归一化条件 得 2 2 2 si 1adxaAdx 2 co1 axan 2 2 2 sadA 22 sinaxa 2A a 粒子的归一化波函数为 2 0 sin2 axax 10 证明 处于 1s 2p 和 3d 态的氢原子中的电子 当它处于距原子核的距离 分别为 的球壳处的几率最 为第一玻尔轨道半径 0094a 0a 证 drRrs2101 50 dreaar2 3004 1 0 23010 arr 0 20301 4areradr 0 2030 8ar 令 则得10 dr 01ar 01 r 2 80 20302 aread 41 0 2030 arar 为几率最小处 021 rd 1 r 01a为几率最大处 012 ar drRp212 drear2 2030 0 23021 rr 0 305021 14 areadr 81 240 20501 arerr 51 令 则得 021 dr 021 r024ar 为最大几率位置 024 ard02 当 时 0 为几率最小位置 210 dr 0r 03 267032329845 areR 03 2507032 1ardr 令 得032 31r0329ar 同理可知 为几率最小处 0 为几率最大处 032r 11 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置 解 2112 xex 2 3211 x 2 43231 xexd 2 23x 2 51 442321 xexdx 52 令 得01 dx 1 021x 为几率最小处 021 xd 1 为几率最大处 21 x 02x 6 设氢原子处在 的态 为第一玻尔轨道半径 031 arer 0 求 的平均值 r 势能 的平均值 e 2 解 200023 sin1ddreara 4 2 330 a 02a 023041dreeras 2 302as 0 2es 12 粒子在势能为 53 axU当当 当 0 21 的场中运动 证明对于能量 的状态 其能量由下式决定 21E 211sinUkka 其中 2 证 方程 0 21 xEUdxIII 02 AIII 0 2 xEUdxIII 令 2 221 EUk 则得 022 IIdx 2 2IIk 022 IIdx 其通解为 xxIeDC 11 sin kAI xxIe 22 54 利用标准条件 由有限性知 0 1 DxI 2 CI xIe 1 sin kAI xIeD 2 由连续性知 sin 0 1CII co 1kAII xII eDxa 2 sin II k co 由 得 tg 由 得 katg 而 tgkatkt 1 把 代入 得 kt 整理 得 tgktga 1 55 tgkantg 1 令 ktg 1 tgkant nka 由 得xtg21sin 222 1si Ukk 122 1sinkk 211sinsi Uka 13 设波函数 求xi dxd 解 原 式 cos cos sin xdxxd i cs2s 14 说明 如果算符 和 都是厄米的 那么A B 56 也是厄米的A B 证 dBdd2 12 12 1 A 12 也是厄米的 B 15 问下列算符是否是厄米算符 xp 21xp 解 dxdx 12 1 px2121 因为 xxp 不是厄米算符 dxpdpxdxp 2 12 12 1 2 xx 2 12 1 dpx2 1 2 xx2 1 1 是厄米算符 2px 16 如果算符 满足关系式 求证 1 2 2 3 57 证 1 222 22 2 33 1 32 3 17 求 xxLP yy zxz 解 yzxyzx PPLP zxxzy xyxzyz 0 zxxzxyxy PPLP 2 zzz 2zxxzx zP zi xyxxyzxz PLP yyP2 2 xxx 58 yxP yi 18 xxL yy zz 解 yzyzxx PxPL yzyz zz 0 zxzxyy PPLx zz2 xx zi xyxyz PPL x22 yx i 第四章 态和力学量的表象 4 1 求在动量表象中角动量 的矩阵元和 的矩阵元 xL2x 解 depzyeriyrpipx 21 3 ezrpiyrpi 3 59 deppierizyzrpi 21 3 i rizyz 3 21 ppiyzy dLxLpppx 2 2 depzyeriyri 23 1 zrpiyyzrpi 2 3 deppizpye riyzyyri 21 3 ezepi rpiyrpiyzy 21 3 deprpiyzy 322 1 22pyzy 4 2 求能量表象中 一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元 解 基矢 xanxun si2 能量 2En 对角元 2si0axdmaxm cnunudco1cos2 60 当时 nm amn dxanxx0 si si2 1 4 1 sin cos i 1cos cos22 22 02 020 nmnm aaaa xmaxanndax anmiani xanmxanmi dxni xana xdanxmidupxpn nmaann 21 1 cos cos iicoss si2 2 0202 0 Cnmuuud 2cos 2coscsi 4 3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数 解 定态薛定谔方程为 2 212 tpECtptCd 即 0 2 ttp 61 两边乘以 得 2 0 2 122 tpCEtpCd 令 1 p E2 0 22 tpCtpd 跟课本 P 39 2 7 4 式比较可知 线性谐振子的能量本征值和本征函数为 tEinpn n neHeNtpE 212 式中 为归一化因子 即nN 2 12 1 nn 4 4 求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元 解 2222 1 1xxpH dppp dxexepixi 21212 dxeepi pixpi 22 2 1 pixpi 222 1 deipxpi 222 1 22p 62 21 22pp 4 5 设已知在 的共同表象中 算符 yxL 和 的矩阵分别为ZL 2 01 x 02iiy 求它们的本征值和归一化的本征函数 最后将矩阵 对角化 yxL和 解 的久期方程为xL 002023 3210 的本征值为xL 0 的本征方程 32132102a 其中 设为 的本征函数 共同表象中的矩阵 321a xL ZL 2和 当 时 有01 02321a 63 0 0221331 aa 10 由归一化条件 21 1 100 1aa 取 21a 对应于 的本征值 0 210 xL 当 时 有 2 3213210a 133213212312 aaaa 11a 由归一化条件 211 1 1 4 2 aa 64 取 21 a 归一化的 对应于 的本征值 21 xL 当 时 有 2 3213210a 13321321231 aaaa 11a 由归一化条件 211 1 1 4 2 aa 取 21a 归一化的 对应于 的本征值 21 xL 由以上结果可知 从 的共同表象变到 表象的变换矩阵为Z 和 x 65 2101S 对角化的矩阵为 SLxx 210121210 xL 2102102 002 按照与上同样的方法可得 的本征值为yL 的归一化的本征函数为 210 2121i 2121i 从 的共同表象变到 表象的变换矩阵为ZL 和 yL 66 212102110iSiiS 利用 S 可使 对角化yL 0yy 4 6 求连续性方程的矩阵表示 解 连续性方程为 Jt 2 iJ 而 i 22 i 1 Ti t Tti 写成矩阵形式为 0 TTti 67 第五章 微扰理论 5 1 如果类氢原子的核不是点电荷 而是半径为 电荷均匀分布的小球 计0r 算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正 解 这种分布只对 的区域有影响 对 的区域无影响 据题意知0r 0 rUH 其中 是不考虑这种效应的势能分布 即 0rU rze0 24 为考虑这种效应后的势能分布 在 区域 r 0r rZeU024 在 区域 可由下式得出 0r rEde 4 431 020304 rrZerZe 00 rrEdeU 0230 2144rr dZeZ 3 8 8 20202302 rere 0r 68 0 4 3 8 002220 rZerZerUH 由于 很小 所以 可视为一种微扰 由它引起0r 2 0 rUH 的一级修正为 基态 raZe0 130 0 1 dE 1 0 02220323 4 8 r raZderZea 故 0r 10 2 rZe 00 3244234 1 rr daeZdraE 203 4503024 reZ 230 41a 230 45reZs 5 2 转动惯量为 I 电偶极矩为 的空间转子处在均匀电场在 中 如果电场D 较小 用微扰法求转子基态能量的二级修正 解 取 的正方向为 Z 轴正方向建立坐标系 则转子的哈米顿算符为 cos 21 2LIILH 取 则 1 2 0 D 0 由于电场较小 又把 视为微扰 用微扰法求得此问题 H 69 的本征值为 2 1 IE 0 H 本征函数为 0 mY 的基态能量为 为非简并情况 根据定态非简并微扰论可知 0 0 0 2 2 0H EE dYDYdm sin co 0 0 0 d si 0 Ym in413 0 dD si 10 13 IDIDEE 2212 0 2 2 0 3 H 5 3 设一体系未受微扰作用时有两个能级 现在受到微扰 的作021E H 用 微扰矩阵元为 都是实数 用微扰公式bHaH 2121 a 求能量至二级修正值 解 由微扰公式得 nE 1 mmnn 0 2 2 得 bHEbHE 2 1 01 0 02101 2 2 01 amm 70 012021 2 0 EaEHmm 能量的二级修正值为 02101b 01202EaE 5 4 设在 时 氢原子处于基态 以后受到单色光的照射而电离 设单色光t 的电场可以近似地表示为 及 均为零 电离电子的波函数近似地t sin 以平面波表示 求这单色光的最小频率和在时刻 跃迁到电离态的几率 t 解 当电离后的电子动能为零时 这时对应的单色光的频率最小 其 值为 2 41minin seEhv es2 4in 34906 Hz150 时 氢原子处于基态 其波函数为0 t 0 31arke 在 时刻 t rpim 2 3 微扰 sin titieetretH titiF 其中 ir2 在 时刻跃迁到电离态的几率为t 2 taWmk ttimdeHitak01 t titimk deiFmkmk0 71 11 mktimktikkkeeF 对于吸收跃迁情况 上式起主要作用的第二项 故不考虑第一项 mk timketa 2 2 1 mktitikk kkeeFtW 22 1 sin4 mkkt 其中 deireadFarpikmk 0 30 2 取电子电离后的动量方向为 Z 方向 取 所在平面为 面 则有 pxoz yrzx cos csin si rr o derreiaF arrpimk 0 cos 302 cos cosin 1 02 2 cos 302 sin cos cosin 0 drerrei arrpik 02 3 32 i 1 0 eia arrpi 0cos 0 3302 in 2cos1 dedriarpia 0 2 3 2cos0 rpeipreraie rpiririria O x y r z p 72 32030 1 62cos paiie 320 7 8cs1 pe 22 1 in4 mkkmk tFW 22 16202570 sin co8 mktpae 5 5 基态氢原子处于平行板电场中 若电场是均匀的且随时间按指数下降 即 0 0为 大 于 零 的 参 数当 当 tet 求经过长时间后氢原子处在 2p 态的几率 解 对于 2p 态 可取 三值 其相应的状态为1 m1 22210 氢原子处在 2p 态的几率也就是从 跃迁到 的几率之和 10 12120 由 ttimkmdeHita dH10 210 2 cos rte 取 方向为 Z 轴方向 YRrteYR01 cos 2 00321 sincd cos10 fte dY 31 in31200 00310 26825 adrRrf 73 02342 302 30 0 1 1 dreaaa 0540686 ftedH 31 1 2010 2 00 248685 atate 010 2110 2cos drt 200 132 sincodYrRte 2010 0132 i3 dt 0 H1 210 2 020 10132 sinco dYdrRte 0210 0132 i3t 0 由上述结果可知 21 W120 W 10 ps 201 22101 ttideH 20 2221 438 ttiea 21202 4318 1 tiae 当 时 t 74 2120221 438 aeps 其中 03 4341221 8 aeEsss 5 6 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率 解 23 24mksmkrceA 由选择定则 知 是禁戒的1 故只需计算 的几率sp2 121E 3 4348 ssee 而 21212zyxr 2p 有三个状态 即 120 1 先计算 z 的矩阵元 cosrz dYdrRmm 0 10310 21 2 Yfm0 1 03f fz1 0 21 10 2 z 2 计算 x 的矩阵元 sin2cosin iierrx 75 dYeYdrRrx iimm 0 10310 21 2 sn fm 1 1 61 f ieYsn831 ieY sn831 40 Y 0 1 2 x f610 2 fx 10 2 3 计算 的矩阵元 y sin21sin iierry dYYdRi iimm 0 10310 210 2 31 mfi 611 fi 0 1 2 y fi610 2 fiy 10 2 2 212 316 fffrsp 4 计算 f 76 00310 26825 adrRrf 02342 302 30 0 dreaa 368154164 7050 209 1523af 213 2124rceAssp 209 153432 8 aess 2310 47 ssec 19367 8 2 s sA9102152 5 5 7 计算氢原子由 2p 态跃迁到 1s 态时所发出的光谱线强度 解 21212 spspNJ 2 46310782 sspec 38 142652Nsp eV2 10 2043 1652acesp Wp9210 3 若 则 92 pNJ 2 77 5 8 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则 解 22mkkmxrA d 由 21 11 kkkx mnnd 21 1 1 kkmkx 时 0 mk 即选择定则为 补充练习三 1 一维无限深势阱 中的粒子受到微扰 0 ax 2 1 20 axaxH 作用 试求基态能级的一级修正 解 基态波函数 零级近似 为 0 sin2 0 1 axa 0 1 能量一级修正为 dxHE 0 1 0 1 1 aa xda2 22 02 sin 1 sin 78 2cos1 2cos1 22 2 0 a adxxdx 2cos42sin21 sin2 4i 2 3 022 aa axxxa 8 81 222 aa 4 22 2 2 具有电荷为 的离子 在其平衡位置附近作一维简谐振动 在光的照射下发q 生跃迁 设入射光的能量为 其波长较长 求 I 原来处于基态的离子 单位时间内跃迁到第一激发态的几率 讨论跃迁的选择定则 提示 利用积分关系 anexan 1022 532 答 34210210 IqIqss 仅当 所以谐振子的偶极跃迁的选 xmk时 择定则是 m 解 21 0qexqF 43202mkkmk Ir 4 0222 qqskks 令 对于一维线性谐振子 34210210 Ixs nr 79 ix 其中 dx0 110 一维线性谐振子的波函数为 2 21 1dxHennn exx221110 dex212 02y 1022 deeyy 22 3 3 2134 2210 IqIqIqsss 跃迁几率 当 时的跃迁为禁戒跃迁 mkx 0k dk dxkkm 21 1 0时即 时 即 可见 所讨论的选择定则为 1 3 电荷 e 的谐振子 在 时处于基态 时处于弱电场 之中 t 0 t 0te 为常数 试求谐振子处于第一激发态的几率 解 取电场方向为 轴正方向 则有x teeH 80 210 xe 211x dtH0 10 dxeetx 2 02 xt 2 20 222 0 dxeeext dxt 22 01 0 tt ee ttidHita0 11mk ttiei0 2 1 1 tii 当经过很长时间以后 即当 时 t0 te 1 2 01 ieta 22010 et