二次函数与几何图形综合题

1 二次函数与几何图形综合题 类型 1 二次函数与相似三角形的存在性问题 1 2015 昆明西山区一模 如图 已知抛物线 y ax 2 bx c a 0 经过 A 1 0 B 4 0 C 0 2 三点 1 求这条抛物线的解析式 2 P 为线段 BC 上的一个动点 过 P 作 PE 垂直于 x 轴与抛物线交于点 E 设 P 点横坐标为 m PE 长度为 y 请写出 y 与 m 的函数关系式 并求出 PE 的最大值 3 D 为抛物线上一动点 是否存在点 D 使以 A B D 为顶点的三角形与 COB 相似 若存在 试 求出点 D 的坐标 若不存在 请说明理由 2 2 2013 曲靖 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 y x 4 与坐标轴分别交于 A B 两点 过 A B 两点的抛物线为 y x 2 bx c 点 D 为线段 AB 上一动点 过点 D 作 CD x 轴于点 C 交抛物线 于点 E 1 求抛物线的解析式 2 当 DE 4 时 求四边形 CAEB 的面积 3 连接 BE 是否存在点 D 使得 DBE 和 DAC 相似 若存在 求出 D 点坐标 若不存在 说明 理由 3 3 2015 襄阳 边长为 2 的正方形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示 点 D 是边 OA 的中点 连接 CD 点 E 在第一象限 且 DE DC DE DC 以直线 AB 为对称轴的抛物线过 C E 两点 1 求抛物线的解析式 2 点 P 从点 C 出发 沿射线 CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动 运动时间为 t 秒 过点 P 作 PF CD 于点 F 当 t 为何值时 以点 P F D 为顶点的三角形与 COD 相似 3 点 M 为直线 AB 上一动点 点 N 为抛物线上一动点 是否存在点 M N 使得以点 M N D E 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 请直接写出满足条件的点的坐标 若不存在 请说明理由 4 类型 2 二次函数与平行四边形的存在性问题 1 2014 曲靖 如图 抛物线 y ax 2 bx c 与坐标轴分别交于 A 3 0 B 1 0 C 0 3 三点 D 是抛物线顶点 E 是对称轴与 x 轴的交点 1 求抛物线的解析式 2 F 是抛物线对称轴上一点 且 tan AFE 求点 O 到直线 AF 的距离 12 3 点 P 是 x 轴上的一个动点 过 P 作 PQ OF 交抛物线于点 Q 是否存在以点 O F P Q 为顶点 的平行四边形 若存在 求出 P 点坐标 若不存在 请说明理由 5 2 2013 昆明 如图 矩形 OABC 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A 在 x 轴的正半轴上 点 C 在 y 轴的 正半轴上 OA 4 OC 3 若抛物线的顶点在 BC 边上 且抛物线经过 O A 两点 直线 AC 交抛物线 于点 D 1 求抛物线的解析式 2 求点 D 的坐标 3 若点 M 在抛物线上 点 N 在 x 轴上 是否存在以点 A D M N 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 求出点 N 的坐标 若不存在 请说明理由 6 3 2015 昆明西山区二模 如图 抛物线 y x 2 2x 3 与 x 轴交于 A B 两点 A 点在 B 点左侧 直 线 l 与抛物线交于 A C 两点 其中 C 点的横坐标为 2 1 求 A B C 三点的坐标 2 在抛物线的对称轴上找到点 P 使得 PBC 的周长最小 并求出点 P 的坐标 3 点 G 是抛物线上的动点 在 x 轴上是否存在点 F 使 A C F G 为顶点的四边形是平行四边形 如果存在 求出所有满足条件的 F 点坐标 如果不存在 请说明理由 7 类型 3 二次函数与直角三角形的存在性问题 1 2015 云南 如图 在平面直角坐标系中 抛物线 y ax 2 bx c a 0 与 x 轴相交于 A B 两点 与 y 轴相交于点 C 直线 y kx n k 0 经过 B C 两点 已知 A 1 0 C 0 3 且 BC 5 1 分别求直线 BC 和抛物线的解析式 关系式 2 在抛物线的对称轴上是否存在点 P 使得以 B C P 三点为顶点的三角形是直角三角形 若存 在 请求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 8 2 2015 自贡 如图 已知抛物线 y ax 2 bx c a 0 的对称轴为 x 1 且抛物线经过 A 1 0 C 0 3 两点 与 x 轴交于点 B 1 若直线 y mx n 经过 B C 两点 求线段 BC 所在直线的解析式 2 在抛物线的对称轴 x 1 上找一点 M 使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小 求出此 点 M 的坐标 3 设点 P 为抛物线的对称轴 x 1 上的一个动点 求使 BPC 为直角三角形的点 P 的坐标 9 3 2015 益阳 已知抛物线 E1 y x 2 经过点 A 1 m 以原点为顶点的抛物线 E2 经过点 B 2 2 点 A B 关于 y 轴的对称点分别为点 A B 1 求 m 的值及抛物线 E2 所表示的二次函数的表达式 2 如图 在第一象限内 抛物线 E1 上是否存在点 Q 使得以点 Q B B 为顶点的三角形为直角三 角形 若存在 求出点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 P 为第一象限内的抛物线 E1 上与点 A 不重合的一点 连接 OP 并延长与抛物线 E2 相交于点 P 求 PAA 与 P BB 的面积之比 10 类型 4 二次函数与等腰三角形的存在性问题 1 2015 黔东南 如图 已知二次函数 y1 x 2 x c 的图象与 x 轴的一个交点为 A 4 0 与 y 轴 134 的交点为 B 过 A B 的直线为 y2 kx b 1 求二次函数 y1 的解析式及点 B 的坐标 2 由图象写出满足 y1 y2 的自变量 x 的取值范围 3 在两坐标轴上是否存在点 P 使得 ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形 若存在 求出点 P 的坐 标 若不存在 说明理由 11 2 如图 抛物线与 x 轴交于 A B 两点 直线 y kx 1 与抛物线交于 A C 两点 其中 A 1 0 B 3 0 点 C 的纵坐标为 3 1 求 k 值 2 求抛物线的解析式 3 抛物线上是否存在点 P 使得 ACP 是以 AC 为底边的等腰三角形 如果存在 写出所有满足条 件的点 P 的坐标 如果不存在 请说明理由 12 3 2015 昆明官渡区二模 如图 已知抛物线 y ax 2 bx c a 0 交于 x 轴于 A 1 0 B 5 0 两点 与 y 轴交于点 C 0 2 1 求抛物线的解析式 2 若点 M 为抛物线的顶点 连接 BC CM BM 求 BCM 的面积 3 连接 AC 在 x 轴上是否存在点 P 使 ACP 为等腰三角形 若存在 请求出点 P 的坐标 若不 存在 请说明理由 13 类型 5 二次函数与图形面积问题 1 2014 昆明 如图 在平面直角坐标系中 抛物线 y ax 2 bx 3 a 0 与 x 轴交于点 A 2 0 B 4 0 两点 与 y 轴交于点 C 1 求抛物线的解析式 2 点 P 从 A 点出发 在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动 同时点 Q 从 B 点出发 在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动 其中一个点到达终点时 另一个点也停止运 动 当 PBQ 存在时 求运动多少秒使 PBQ 的面积最大 最大面积是多少 3 当 PBQ 的面积最大时 在 BC 下方的抛物线上存在点 K 使 S CBK S PBQ 5 2 求 K 点坐 标 14 2 2015 云南二模 如图所示 抛物线 y ax 2 bx a 0 与双曲线 y 相交于点 A B 点 A 的坐标 kx 为 2 2 点 B 在第四象限内 过点 B 作直线 BC x 轴 直线 BC 与抛物线的另一交点为点 C 已知直 线 BC 与 x 轴之间的距离是点 B 到 y 轴的距离的 4 倍 记抛物线的顶点为 E 1 求双曲线和抛物线的解析式 2 计算 ABC 与 ABE 的面积 3 在抛物线上是否存在点 D 使 ABD 的面积等于 ABE 的面积的 8 倍 若存在 请求出点 D 的坐 标 若不存在 请说明理由 15 类型 6 二次函数与最值问题 1 2015 昆明盘龙区一模 如图 对称轴为直线 x 2 的抛物线经过 A 1 0 C 0 5 两点 与 x 轴 另一交点为 B 已知 M 0 1 E a 0 F a 1 0 点 P 是第一象限内的抛物线上的动点 1 求抛物线的解析式 2 当 a 1 时 求四边形 MEFP 的面积最大值 并求此时点 P 的坐标 3 若 PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形 求 a 为何值时 四边形 PMEF 周长最小 请说明理 由 16 2 2013 玉溪 如图 顶点为 A 的抛物线 y a x 2 2 4 交 x 轴于点 B 1 0 连接 AB 过原点 O 作 射线 OM AB 过点 A 作 AD x 轴交 OM 于点 D 点 C 为抛物线与 x 轴的另一个交点 连接 CD 1 求抛物线的解析式 关系式 2 求点 A B 所在的直线的解析式 关系式 3 若动点 P 从点 O 出发 以每秒 1 个单位长度的速度沿着射线 OM 运动 设点 P 运动的时间为 t 秒 问 当 t 为何值时 四边形 ABOP 分别为平行四边形 4 若动点 P 从点 O 出发 以每秒 1 个单位长度的速度沿线段 OD 向点 D 运动 同时动点 Q 从点 C 出发 以每秒 2 个单位长度的速度沿线段 CO 向点 O 运动 当其中一个点停止运动时另一个点也随之停 止运动 设它们的运动时间为 t 秒 连接 PQ 问 当 t 为何值时 四边形 CDPQ 的面积最小 并求此时 PQ 的长 17 类型 7 二次函数与根的判别式问题 1 2015 衡阳 如图 顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线 y x 1 相交于 A B 两点 且点 A 在 x 轴上 点 B 的横坐标为 2 连接 AM BM 1 求抛物线的函数关系式 2 判断 ABM 的形状 并说明理由 3 把抛物线与直线 y x 的交点称为抛物线的不动点 若将 1 中抛物线平移 使其顶点为 m 2m 当 m 满足什么条件时 平移后的抛物线总有不动点 18 类型 8 二次函数与圆 1 2015 昆明盘龙区二模 如图 已知以 E 3 0 为圆心 以 5 为半径的 E 与 x 轴交于点 A B 两点 与 y 轴交于 C 点 抛物线 y ax 2 bx c 经过 A B C 三点 顶点为 F 1 求 A B C 三点的坐标 2 求抛物线的解析式及顶点 F 的坐标 3 已知 M 为抛物线上一动点 不与 C 点重合 试探究 使得以 A B M 为顶点的三角形面积与 ABC 的面积相等 求所有符合条件的点 M 的坐标 若探究 中的 M 点位于第四象限 连接 M 点与抛物线顶点 F 试判断直线 MF 与 E 的位置关系 并说明理由 19 2 2015 曲靖 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 l y 轴于点 B 0 2 A 为 OB 的中点 以 A 为顶点的抛物线 y ax 2 c a 0 与 x 轴分别交于 C D 两点 且 CD 4 点 P 为抛物线上的一个动点 以 P 为圆心 PO 为半径画圆 1 求抛物线的解析式 2 若 P 与 y 轴的另一交点为 E 且 OE 2 求点 P 的坐标 3 判断直线 l 与 P 的位置关系 并说明理由 20