概率统计教案3

第三章 多维随机变量及其分布一.教学内容: 二维随机变量及其联合概率分布，二维离散型随机变量的联合概率分布和边缘分布，二维连续型随机变量的联合概率密度和边缘密度，常见二维随机变量的联合分布. 随机变量独立性. 二维随机变量的函数的概率分布.二.教学重点: 理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布的概念及性质(两中基本形式): 离散型联合概率分布和边缘分布、连续型联合概率密度和边缘密度. 会利用二维概率分布求有关事件的概率. 了解二维随机变量的边缘分布，理解随机变量独立性的定义，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算. 会求两个独立随机变量的简单函数的分布关系. 了解二维均匀分布和二维正态分布.3.1 二维随机变量1.设是二维随机变量，对于任意实数，称 为二维随机变量的分布函数，或称随机变量和的联合分布函数.2.落在矩形域的概率为.3.分布函数的性质:是和的不减函数.，且，.，即关于是右连续，关于也是右连续.4.二维离散型随机变量的分布律(随机变量和的联合分布律):，或 5.二维离散型随机变量分布律的性质: . .例1.随机变量在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值，随机变量在中等可能地取一个值. 试求的分布率.解: .当时，.当时，. 6.设是随机变量和的联合分布函数，如果存在非负函数使得，则称是连续型的二维随机变量，称为二维随机变量的概率密度(随机变量和的联合概率密度). 7.概率密度的性质:.设是平面上的区域，点落在内的概率为 .若在点连续，则.例2.设随机变量的概率密度为求常数.求其分布函数.求. 解: 一方面，.另一方面，所以，得. .3.2 边缘分布1.边缘分布函数:.2.离散型随机变量的边缘分布律: . .例1.从一个装有个红球、个白球和个蓝球的箱中,随机地抽取个球. 用和分别表示取出的红球数和白球数，试求:和的联合分布律.和的边缘分布律.解: ，其中. 规定时，. 3.连续型随机变量的边缘分布函数: ，.边缘概率密度:，.例2.设随机变量的密度函数为求边缘概率密度. 解: 4.若，则，.3.3 条件分布1.若，则称 为在条件下的条件分布律.若，则称 为在条件下的条件分布律.例1.设离散型随机变量的分布律为求常数.求关于的条件分布律解: 一方面，另一方面，所以，得. ， .2.设的概率密度为，边缘密度分别为和.若， 则称为在的条件下的条件概率密度，记为. 而称为在条件下的条件分布函数.若， 则称为在的条件下的条件概率密度，记为. 而称为在条件下的条件分布函数.3.4 相互独立的随机变量1.设及、分别是二维随机变量分布函数及边缘分布函数. 若，则称和是相互独立的.2.若是连续型随机变量，则等价于.若是离散型随机变量，则等价于.例1.设随机变量的密度函数为试判别和的相互独立性. 解: ，所以和相互独立.例2. 设服从上的均匀分布，服从参数为的指数分布，且它们相互独立. 试写出随机变量的概率密度. 解: 由于和相互独立，所以3.若，则和相互独立充要条件是.3.5 两个随机变量的函数的分布1.的分布: 设 的概率密度为. . 当和相互独立时，.这两个公式称为卷积公式，记为，即.2.设，且和相互独立，则.3.设，且和相互独立，则.4.设和相互独立，且，则. 5.及的分布: 设和相互独立，和的分布函数为和，和的分布函数为和.第三章小结二维随机变量的性质不能由它两个分量的个别性质来确定，这时还必须考虑它们之间的联系. 随机变量的独立性概念是概率论中最基本的概念之一，也是最重要的概念之一. -概率论与数理统计教案 第三章 多维随机变量及其分布 第34页 共34页-