导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

1 导数及其应用 考纲说明 1 了解导数概念的某些实际背景 如瞬时速度 加速度 光滑曲线切线的斜率等 掌握函数在一点处的导数的定 义和导数的几何意义 理解导函数的概念 2 熟记八个基本导数公式 掌握两个函数和 差 积 商的求导法则 了解复合函数的求导法则 会求某些简单函 数的导数 3 理解可导函数的单调性与其导数的关系 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 导数在极值点两侧 异号 会求一些实际问题 一般指单峰函数 的最大值和最小值 知识梳理 一 导数的概念 函数 y f x 如果自变量 x 在 x0 处有增量 那么函数 y 相应地有增量 f x 0 f x 0 比值 叫做函x y x y 数 y f x 在 x0 到 x0 之间的平均变化率 即 如果当 时 有极限 我 fxf 0 们就说函数 y f x 在点 x0 处可导 并把这个极限叫做 f x 在点 x0 处的导数 记作 f x 0 或 y 0 x 即 f x 0 lim xy0li xxff 0 说明 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义 物理意 义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 2 1 函数 f x 在点 x0 处可导 是指 时 x y 有极限 如果 不存在极限 就说函数在点 x0 处不可导 0 xx y 或说无导数 2 是自变量 x 在 x0 处的改变量 时 而 是函数值的改变量 可以是零 y 由导数的定义可知 求函数 y f x 在点 x0 处的导数的步骤 1 求函数的增量 f x 0 f x 0 y 2 求平均变化率 f 3 取极限 得导数 f x0 x y lim 二 导数的几何意义 函数 y f x 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y f x 在点 p x 0 f x 0 处的切线的斜率 也就是说 曲线 y f x 在点 p x 0 f x 0 处的切线的斜率是 f x 0 相应地 切线方程为 y y 0 f x 0 x x 0 三 几种常见函数的导数 C 1 n sin cos cs inx xe lxa 1lx 1lgloaae 四 两个函数的和 差 积的求导法则 法则 1 两个函数的和 或差 的导数 等于这两个函数的导数的和 或差 即 vu 法则 2 两个函数的积的导数 等于第一个函数的导数乘以第二个函数 加上第一个函数乘以第二个函数的导数 即 v 若 C 为常数 则 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数 0 CuuC u 法则 3 两个函数的商的导数 等于分子的导数与分母的积 减去分母的导数与分子的积 再除以分母的平方 v 0 v2 形如 y f 的函数称为复合函数 复合函数求导步骤 分解 求导 回代 法则 y x y u u x x 五 导数应用 1 单调区间 一般地 设函数 在某个区间可导 xfy 3 如果 则 为增函数 f x0 xf 如果 则 为减函数 如果在某区间内恒有 则 为常数 f0 x xf 2 极点与极值 曲线在极值点处切线的斜率为 0 极值点处的导数为 0 曲线在极大值点左侧切线的斜率为正 右侧为负 曲线在极 小值点左侧切线的斜率为负 右侧为正 3 最值 一般地 在区间 a b 上连续的函数 f x 在 a b 上必有最大值与最小值 求函数 x 在 a b 内的极值 求函数 x 在区间端点的值 a b 将函数 x 的各极值与 a b 比较 其中最大的是最大值 其中最小的是最小值 4 定积分 1 概念 设函数 f x 在区间 a b 上连续 用分点 a x0 x1 xi 1 xi xn b 把区间 a b 等分成 n 个小区间 在每个小区间 xi 1 xi 上取任一点 i i 1 2 n 作和式 In i x 其中 x 为小区间长度 把 nif1 n 即 x 0 时 和式 In 的极限叫做函数 f x 在区间 a b 上的定积分 记作 即 badf badxf i x if1lm 这里 a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限 区间 a b 叫做积分区间 函数 f x 叫做被积函数 x 叫做积分变量 f x dx 叫做被积式 基本的积分公式 C C m Q m 1 dx0 dx m1 dx ln C C 1exx C sinx C cosx C 表中 C 均为常数 dxaln dcos xdsin 2 定积分的性质 k 为常数 babaxfkf badxgdgx 其中 a c b bacacfxff 3 定积分求曲边梯形面积 4 由三条直线 x a x b a b x 轴及一条曲线 y f x f x 0 围成的曲边梯的 面积 bdfS 如果图形由曲线 y1 f 1 x y 2 f 2 x 不妨设 f1 x f 2 x 0 及直线 x a x b a0 且 x 1 时 f x 求 k 的取值范围 I 1 解析 1 f x 由于直线 x 2y 3 0 的斜率为 且过点 1 1 22 xbx In 21 故 即 解得 a 1 b 1 2 由 1 知 所以 ln1x 22ln1 1 lnxkkxf x 考虑函数 则 2lh 21kx 0 2 hx i 设 由 知 当 时 而 故0k 22 1x 0 1 h 当 时 可得 1 x hx 21 0hx 当 x 1 时 h x 0 f x 1 f 1 2 b 1 a 5 从而当 x 0 且 x 1 时 f x 0 即 f x 1ln xk1ln xk ii 设 0 k0 故 h x 0 而 h 1 0 故当 x 1 时 h x 0 可得 h x 0 而 h 1 0 故当 x 1 时 h x 0 可得 h x 0 与题设 21 矛盾 综合得 k 的取值范围为 0 例 4 2012 山东 已知函数 f x xek ln k 为常数 e 2 71828 是自然对数的底数 曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线与 x 轴平行 求 k 的值 求 f x 的单调区间 设 g x x2 x f 其中 fx为 f x 的导函数 证明 对任意 x 0 21 eg 解析 由 f x xek ln可得 fxe kln1 而 1 f 即 ek 解得 k fx l1 令 0 f可得 当 0 x时 ln xf 当 1时 0ln1 xxf 于是 f在区间 1 0内为增函数 在 内为减函数 xxeexg ln1l 22 当 1 x时 0 0ln 2 21 eg 当 0 时 要证 2 22 ln ln1 xxexxg 只需证 21 lnxe 然后构造函数即可证明 例 5 2012 北京 已知函数 2 1 axf 其中 0a 求函数 fx的单调区间 若直线 10y 是曲线 yfx的切线 求实数 的值 设 2 ln gxxf 求 g在区间 1 e 上的最大值 其中 e为自然对数的底数 6 解析 3 2 axf 0 在区间 0 和 2 上 0fx 在区间 2 上 0fx 所 以 fx的单调递减区间是 和 2 单调递增区间是 设切点坐标为 0 xy 则 02031 axyx 解得 01x a g ln1a 则 lng 解 g 得 1eax 所以 在区间 e 上 x为递减函数 在区间 1e a 上 为递增函数 当 1ea 即 0 时 在区间 e 上 x为递增函数 所以 x最大值为 e ega 当 即 2时 在区间 1上 g为递减函数 所以 g最大值为 10 当 10 当 x 时 f x 0 所以 f x 在 x 处取得极大值 在 x 处取得极小值 32123 2 若 为 上的单调函数则 f x 恒大于等于零或 f x 恒小于等于零 fR 因为 a 0 所以 2a 2 4a 0 解得 00 令 F x xf x 讨论 F x 在 0 内的单调性并求极值 求证 当 x 1 时 恒有 x ln2x 2a ln x 1 课后作业 一 选择题 10 1 2005 全国卷 文 函数 已知 在 时取得极值 则 93 23 xaxf xf3 a A 2 B 3 C 4 D 5 2 2008 海南 宁夏文 设 若 则 lnf0 f 0 A B C D eel2 3 2005 广东 函数 是减函数的区间为 13 2 xf A B C D 0 2 2 4 2008 安徽文 设函数 则 fxx fx A 有最大值 B 有最小值 C 是增函数 D 是减函数 5 2007 福建文 理 已知对任意实数 x 有 f x f x g x g x 且 x 0 时 f x 0 g x 0 则 x0 g x 0 B f x 0 g x 0 C f x 0 D f x 0 g x 0 有极大值 9 3 1fx 求 m 的值 若斜率为 5 的直线是曲线 的切线 求此直线方程 yfx 12 参考答案 课堂练习 一 选择 1 10AADBD DDCCC 2 填空 1 3 12 13 2 14 球的体积函数的导数等于球的表面积函数16 23R4 三 解答题 15 解 每月生产 x 吨时的利润为 05 10 2xxxf 20 02453 011舍 去解 得由 xxf 故它就是最大值点 且最大值为 2 0 fxf 使内 只 有 一 个 点在因 315004 2 51 3 元 答 每月生产 200 吨产品时利润达到最大 最大利润为 315 万元 16 解 因为 所 即当2 9fxax 2 9fxax 223 9 3a 因斜率最小的切线与 平行 即该切线的斜率为 12 所以 2 33axf 时 取 得 最 小 值 16y 解得 2291 9 即 0 3 aa 由 题 设 所 以 由 知 323 91 afxx 因 此212 36 3 0 0 1 3fxxffxf 令 解 得 当 时 故 在 上 为 增 函 数 当 时 故 在 上 为 减 函 数 当 x 时 故 在 上 为 增 函 数由 此 可 见 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 和 单 调 递 减 区 1 间 为 13 17 解 1 求导 32 1fxax 2 31fxax 当 时 在 上递增23a 0 f fR 当 求得两根为2 fx 23ax 即 在 递增 递减 递增 f 23a 22a 23a 2 要使 f x 在在区间 内是减函数 当且仅当 在 恒成立 1 0 xf1 由 的图像可知 只需 即 解得 a 2 所以 的取值范围 xf 0312ff 0347a 2 18 解 因为 所以切线 的斜率为 故切线 的方程为 即 xxef l t el txeytt 0 1 teyxt 令 y 0 得 x t 1 x 0 得 1 tey 所以 S t 从而 2 tet t2 1 2 tetSt 当 0 1 时 0 当 1 时 0 所以 S t 的最大值为 S 1 S t e2 19 解 的定义域为 fx32 值 462 1 2333xxfx 当 时 当 时 当 时 31 0f 1 0f 12x 0fx 从而 分别在区间 单调增加 在区间 单调减少 fx2 值 值 值 由 知 在区间 的最小值为 f314 值1ln24f 14 又 3139713149lnllnln42626ff 0 所以 在区间 的最大值为 fx4 值 7l46f 20 解 根据求导法则得 0 2In1 xaxf 故 于是 02In axfxF 0 21 xF 列表如下 x 0 2 2 2 F x 0 F x 极小值 F 2 故知 F x 在 0 2 内是减函数 在 2 内是增函数 所以 在 x 2 处取得极小值 F 2 2 2In2 2a 证明 由 In 2 axFa 值值 于是由上表知 对一切 0 xf 恒 有 从而当 0 0 内 单 调 增 加在 故时 恒 有 xffx 所以当 In2I1 1 xax 即时 故当 n2Ixax时 恒 有 课后作业 1 选择 1 10 DBDAB ACABD 1 填空 11 12 13 32 14 2 2 520 xy 38 三 解答题 15 解 I f x 3x 2 6x 9 令 f x 0 解得 x3 所以函数 f x 的单调递减区间为 1 3 II 因为 f 2 8 12 18 a 2 a f 2 8 12 18 a 22 a 所以 f 2 f 2 因为在 1 3 上 f x 0 所以 f x 在 1 2 上单调递增 又由于 f x 在 2 1 上单调递减 因此 f 2 和 f 1 分别是 f x 在区间 2 2 上的最大值和最小值 于是有 22 a 20 解得 a 2 故 f x x 3 3x 2 9x 2 因此 f 1 1 3 9 2 7 即函数 f x 在区间 2 2 上的最小值为 7 16 解 从而 32bc 2fxbxc 是一个奇函数 所以2 gf 32 bxc 得 由奇函数定义得 0 c3 15 由 知 从而 由此可知 3 6gx 2 36gx 和 是函数 是单调递增区间 是函数 是单调递减区间 2 gx 在 时 取得极大值 极大值为 在 时 取得极小值 极小值为 gx 42x 42 1 解 由 的图象过点 P 0 2 d 2 知 所以 x 32 fxbcxd 32 fbxc f 3x2 2bx c 由在 1 1 处的切线方程是 6x y 7 0 知 6 f 1 7 0 即 f 1 1 1 6 即 解得 b c 3 故所求的解析式为 f x x3 3x2 3x 2 36 11bc 0 23cb x 3x2 6x 3 令 3x2 6x 3 0 即 x2 2x 1 0 解得 x1 1 x2 1 f 当 x1 时 x 0 当 1 x 1 时 x 0f f f x x 3 3x2 3x 2 在 1 内是增函数 在 1 内是增函数 在 1 1 内是减函数 2 2 18 解 设长方体的宽为 x m 则长为 2x m 高为 30 m 35 4128值xxh 故长方体的体积为 0 m69 35 4 2 3值V 从而 令 V x 0 解得 x 0 舍去 或 x 1 18 18 xxx 因此 x 1 当 0 x 1 时 V x 0 当 1 x 时 V x 0 32 故在 x 1 处 V x 取得极大值 并且这个极大值就是 V x 的最大值 从而最大体积 V V x 9 1 2 6 13 m 3 此时长方体的长为 2 m 高为 1 5 m 答 当长方体的长为 2 m 时 宽为 1 m 高为 1 5 m 时 体积最大 最大体积为 3 m3 19 解 36 faxa 因为 是函数 的极值点 所以 即 因此 x y20f 6 2 0a 1a 经验证 当 时 是函数 的极值点 1a2x yx 由题设 ag61 3 2 g 当 在区间 上的最大值为 时 对一切 都成立 x 0 0 g06132 xax 2 x 即 对一切 都成立 令 则a362 2 x 2 min a 由 可知 在 上单调递减 0 2 x x3 2 0 16 所以 故 a 的取值范围是 56 2 min x 65 2 当 时 抛物线 的对称轴为 0 a 1 32 xxh ax2 1 3 当 a 0 时 有 h 0 6 0 所以 h x 在 上单调递减 h x 0 时 因为 h 0 6 0 所以要使 h x 0 在 上恒成立 只需 h 2 0 成立即可 解得 a 综上 的取 2 x 56 值范围为 65 20 解 f x 3x 2 2mx m 2 x m 3x m 0 则 x m 或 x m 31 当 x 变化时 f x 与 f x 的变化情况如下表 从而可知 当 x m 时 函数 f x 取得极大值 9 即 f m m 3 m3 m3 1 9 m 2 由 知 f x x3 2x2 4x 1 依题意知 f x 3x 2 4x 4 5 x 1 或 x 又 f 1 6 f 112768 所以切线方程为 y 6 5 x 1 或 y 5 x 即 5x y 1 0 或 135x 27y 23 0 27683 x m m m 31 f x 0 0 f x 极大值 极小值