半角旋转模型

内容 半角旋转模型 三垂直模型 以及旋转相似模型 探究 1 如图 1 在正方形 ABCD 中 E F 分别是 BC CD 上的点 且 EAF 45 试判断 BE DF 与 EF 三条线段之间的数量关系 直接写出判断结果 2 如图 2 若把 1 问中的条件变为 在四边形 ABCD 中 AB AD B D 180 E F 分别是边 BC CD 上的点 且 EAF BAD 则 1 问中的结论是否仍然成立 2 若成立 请给出证明 若不成立 请说明理由 3 在 2 问中 若将 AE F 绕点 A 逆时针旋转 当点分别 E F 运动到 BC CD 延长 线上时 如图 3 所示 其它条件不变 则 1 问中的结论是否发生变化 若变化 请给出结论并予 以证明 小伟遇到这样一个问题 如图 1 在正方形 ABCD 中 点 E F 分别为 DC BC 边上的点 EAF 45 连结 EF 求证 DE BF EF 小伟是这样思考的 要想解决这个问题 首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线 段上 他先后尝试了平移 翻折 旋转的方法 发现通过旋转可以解决此问题 他的方法 是将 ADE 绕点 A 顺时针旋转 90 得到 ABG 如图 2 此时 GF 即是 DE BF 请回答 在图 2 中 GAF 的度数是 参考小伟得到的结论和思考问题的方法 解决下列问题 1 如图 3 在直角梯形 ABCD 中 AD BC AD BC F E DA B C B E DA G F E DA B C C图 1 图 2 图 3 C D A O B x y 图 4 图 图 图图 图 图图图 F E DA B C B E DA G F E DA B C C图 1 图 2 图 3 C D A O B x y 图 4 图 图 图图 图 图图图 D 90 AD CD 10 E 是 CD 上一点 若 BAE 45 DE 4 则 BE 2 如图 4 在平面直角坐标系 xOy 中 点 B 是 x 轴上一 动点 且点 A 2 连结 AB 和 AO 并以 AB 为边向上作3 正方形 ABCD 若 C x y 试用含 x 的代数式表示 y 则 y 已知 正方形 中 绕点 顺时针旋转 它的两边分别交ABCD45MN A CB DC 或它们的延长线 于点 M N 1 如图 1 当 绕点 旋转到 时 有 当BDBMN 绕点 旋转到 时 如图 2 请问图 1 中的结论还是否成立 如N 果成立 请给予证明 如果不成立 请说明理由 2 当 绕点 旋转到如图 3 的位置时 线段 和 之间有怎样的等A 量 关 系 请 写 出 你 的 猜 想 并 证 明 24 如图 1 在等腰直角 ABC 中 BAC 90 AB AC 2 点 E 是 BC 边上一点 CD OA B图 4x y DEF 45 且角的两边分别与边 AB 射线 CA 交于点 P Q 1 如图 2 若点 E 为 BC 中点 将 DEF 绕着点 E 逆时针旋转 DE 与边 AB 交于点 P EF 与 CA 的延长线交于点 Q 设 BP 为 x CQ 为 y 试求 y 与 x 的函数关系式 并写出自变量 x 的取值范围 2 如图 3 点 E 在边 BC 上沿 B 到 C 的方向运动 不与 B C 重合 且 DE 始终经过 点 A EF 与边 AC 交于 Q 点 探究 在 DEF 运动过程中 AEQ 能否构成等腰三 角形 若能 求出 BE 的长 若不能 请说明理由 海淀 25 如图 1 两个等腰直角三角板 和 有一条边在同一条直线 上 ABCDEFl 将直线 绕点 逆时针旋转 交直线 于点 将图 1 中2DE ABE45 ADM 的三角板 沿直线 向右平移 设 两点间的距离为 Cl k 图 1 图 2 图 3 解答问题 1 当点 与点 重合时 如图 2 所示 可得 的值为 CFAMD 在平移过程中 的值为 用含 的代数式表示 AMDk 2 将图 2 中的三角板 绕点 逆时针旋转 原题中的其他条件保持不变 当点 落BCA 在线段 上时 如图 3 所示 请补全图形 计算 的值 FA 3 将图 1 中的三角板 ABC 绕点 C 逆时针旋转 度 原题中的其他条件保 0 9 持不变 计算 的值 用含 k 的代数式表示 AMD 图 1 图 2 图 3 图 4 昌平 22 阅读下面材料 小伟遇到这样一个问题 如图 1 在正三角形 ABC 内有一点 P 且 PA 3 PB 4 PC 5 求 APB 的度数 小伟是这样思考的 如图 2 利用旋转和全等的知识构造 连接 得到两AC 个特殊的三角形 从而将问题解决 P CB A A B CP P D PA C B A B C D PF E 请你回答 图 1 中 APB 的度数等于 参考小伟同学思考问题的方法 解决下列问题 1 如图 3 在正方形 ABCD 内有一点 P 且 PA PB 1 PD 则 APB217 的度数等于 正方形的边长为 2 如图 4 在正六边形 ABCDEF 内有一点 P 且 PA PB 1 PF 则 APB3 的度数等于 正六边形的边长为 通州 24 9 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 B 0 3 点 C 是 x 轴正半轴上一点 连结 BC 过点 C 作直线 CP y 轴 1 若含 45 角的直角三角形如图所示放置 其中 一个顶点与点 O 重合 直角顶点 D 在线段 BC 上 另一个顶点 E 在 CP 上 求点 C 的坐标 2 若含 30 角的直角三角形一个顶点与点 O 重合 直角顶点 D 在线段 BC 上 另一个 顶点 E 在 CP 上 求点 C 的坐标 图图图24 xyBOOByxyxEPDCBO 西城 19 如图所示 在平面直角坐标系 xOy 中 正方形 的边长为 1 将其沿 轴的PABCx 正方向连续滚动 即先以顶点 A 为旋转中心将正方形 顺时针旋转 90 得到第二 个正方形 再以顶点 D 为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转 90 得到第三个正方形 依此方法继续滚动下去得到第四个正方形 第 n 个正方形 设滚动过程中的点 P 的坐标为 xy 1 画出第三个和第四个正方形的位置 并直接写出第三个正方形中的点 P 的坐标 2 画出点 运动的曲线 0 4 并直接写出该曲线与 轴所围成区域的面 Pxyxx 积 东城 24 问题 1 如图 1 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC AB BC CD 点 M N 分别在 AD CD 上 若 MBN ABC 试探究线段 MN AM CN 有怎样的数量关系 请2 直接写出你的猜想 不用证明 问题 2 如图 2 在四边形 ABCD 中 AB BC ABC ADC 180 点 M N 分别在 DA CD 的延长线上 若 MBN ABC 仍然成立 请你进一步探究线段1 MN AM CN 又有怎样的数量关系 写出你的猜想 并给予证明 昌平 24 在 ABC 中 AB 4 BC 6 ACB 30 将 ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 得到 A 1BC1 1 如图 1 当点 C1在线段 CA 的延长线上时 求 CC 1A1 的度数 2 如图 2 连接 AA1 CC 1 若 CBC 1 的面积为 3 求 ABA 1的面积 3 如图 3 点 E 为线段 AB 中点 点 P 是线段 AC 上的动点 在 ABC 绕点 B 按逆时针 方向旋转的过程中 点 P 的对应点是点 P1 直接写出线段 EP1长度的最大值与最小值 C 1 CB A1 A 图2A1 C1 A B C 图1 图3 P P1 EA1 A C1 CB 朝阳 24 在 Rt ABC 中 A 90 D E 分别为 AB AC 上的点 1 如图 1 CE AB BD AE 过点 C 作 CF EB 且 CF EB 连接 DF 交 EB 于点 G 连接 BF 请你直接写出 的值 B 2 如图 2 CE kAB BD kAE 求 k 的值 12 西城 24 在 Rt ABC 中 ACB 90 ABC 点 P 在 ABC 的内部 1 如图 1 AB 2AC PB 3 点 M N 分别在 AB BC 边上 则 cos PMN 周长的最小值为 2 如图 2 若条件 AB 2AC 不变 而 PA PB PC 1 求 ABC 的面积 210 3 若 PA PB PC 且 直接写出 APB 的度数 mnkcosinm 图 2 DECBA 图 1 GFDECBA 门头沟 24 已知 在 ABC 中 AB AC 点 D 为 BC 边的中点 点 F 是 AB 边上一点 点 E 在线段 DF 的延长线上 点 M 在线段 DF 上 且 BAE BDF ABE DBM 1 如图 1 当 ABC 45 时 线段 DM 与 AE 之间的数量关系是 2 如图 2 当 ABC 60 时 线段 DM 与 AE 之间的数量关系是 3 如图 3 当 时 线段 DM 与 AE 之间的数量关ABC 0 9 系是 在 2 的条件下延长 BM 到 P 使 MP BM 连结 CP 若 AB 7 AE 27 求 sin ACP 的值 顺义 24 如图 1 将三角板放在正方形 ABCD上 使三角板的直角顶点 E与正方形ABCD 的顶点 重合 三角板的一边交 于点 F 另一边交 CB的延长线于点 G 1 求证 EFG 2 如图 2 移动三角板 使顶点 E始终在正方形 的对角线 A上 其他条件不 变 1 中的结论是否仍然成立 若成立 请给予证明 若不成立 请说明理 由 3 如图 3 将 2 中的 正方形 ABCD 改为 矩形 BD 且使三角板 的一边经 过点 B 其他条件不变 若 a b 求 FEG的值 A B CD E F M MF E D CB A A B CD E F M 图1 图2 图3 朝阳 22 阅读下列材料 小华遇到这样一个问题 如图 1 ABC 中 ACB 30 BC 6 AC 5 在 ABC 内部有一点 P 连接 PA PB PC 求 PA PB PC 的最小值 小华是这样思考的 要解决这个问题 首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段 分离 然后再将它们连接成一条折线 并让折线的两个端点为定点 这样依据 两点之间 线段最短 就可以求出这三条线段和的最小值了 他先后尝试了翻折 旋转 平移的方法 发现通过旋转可以解决这个问题 他的做法是 如图 2 将 APC 绕点 C 顺时针旋转 60 得到 EDC 连接 PD BE 则 BE 的长即为所求 1 请你写出图 2 中 PA PB PC 的最小值为 2 参考小华的思考问题的方法 解决下列问题 如图 3 菱形 ABCD 中 ABC 60 在菱形 ABCD 内部有一点 P 请在图 3 中画出并指明长度等于 PA PB PC 最小值的线段 保留画图痕迹 画出一条即 可 若 中菱形 ABCD 的边长为 4 请直接写出当 PA PB PC 值最小时 PB 的长 丰台 24 在 Rt ABC 中 AB BC B 90 将一块等腰直角三角板的直角顶点 O 放在斜 DEACBP 图 2 DACB 图 3 ACBP 图 1 边 AC 上 将三角板绕点 O 旋转 1 当点 O 为 AC 中点时 如图 1 三角板的两直角边分别交 AB BC 于 E F 两点 连接 EF 猜想线段 AE CF 与 EF 之间存在的等量关系 无需证明 如图 2 三角板的两直角边分别交 AB BC 延长线于 E F 两点 连接 EF 判断 中的猜想是否成立 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 2 当点 O 不是 AC 中点时 如图 3 三角板的两直角边分别交 AB BC 于 E F 两点 若 14AC 求 的值 EF 朝阳期末 25 已知 在 中 于点 D 点 E 在 AC 上 BEABC 90ABC 交 CD 于点 G 交 AB 于点 F EF 如图甲 当 时 且 时 则有 GE 1 如图乙 当 时 且 时 则线段 EF 与 EG 的数量关系是 2 EF EG 2 如图乙 当 时 且 时 请探究线段 EF 与 EG 的数量2 关系 并证明你的结论 3 当 时且 时 则线段 EF 与 EG 的数量关系 并直接写出mBCA nAE 你的结论 不用证明 C O B A O E 图 1 FB A O C E F A B C E F 图 2 图 3 西城期末 24 已知 如图 正方形 ABCD 的边长为 a BM DN 分别平分正方形的两个外 角 且满足 连结 MC NC MN 45MAN 1 填空 与 ABM 相似的三角形是 用含 a 的代BMDN 数式表示 2 求 的度数 C 3 猜想线段 BM DN 和 MN 之间的等量关系并 证明你的结论