二次函数知识点及经典例题详解最终

二次函数知识点总结及经典习题 一 二次函数概念 1 二 次 函 数 的 概 念 一 般 地 形 如 y ax2 bx c a b c 是 常 数 a 0 的 函 数 叫 做 二 次 函 数 这 里 需 要 强 调 和 一 元 二 次 方 程 类 似 二 次 项 系 数 a 0 而 b c 可 以 为 零 二 次 函 数 的 定 义 域 是 全 体 实 数 2 二次函数 y ax2 bx c 的结构特征 等号左边是函数 右边是关于自变量 x 的二次式 x 的最高次数是 2 a b c 是常数 a 是二次项系数 b 是一次项系数 c 是常数项 二 二次函数的基本形式 1 二 次 函 数 基 本 形 式 y ax2 的性质 a 的绝对值越大 抛物线的开口越小 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 0 向上 0 0 y 轴 x 0 时 y 随 x 的 增 大 而 增 大 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 x 0 时 y 有最小值0 a 0 向下 0 0 y 轴 x 0 时 y 随 x 的 增 大 而 减 小 x 0 时 y 随 x 的增大而增大 x 0 时 y 有最大值0 2 y ax2 c 的性质 上加下减 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 0 向上 0 c y 轴 x 0 时 y 随 x 的 增 大 而 增 大 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 x 0 时 y 有最小值c a 0 向下 0 c y 轴 x 0 时 y 随 x 的 增 大 而 减 小 x 0 时 y 随 x 的增大而增大 x 0 时 y 有最大值c 3 y a x h 2 的 性 质 左加右减 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 0 向上 h 0 X h x h 时 y 随 x 的 增 大 而 增 大 x h 时 y 随 x 的增大而减小 x h 时 y 有最小值0 a 0 向下 h 0 X h x h 时 y 随 x 的 增 大 而 减 小 x h 时 y 随 x 的增大而增大 x h 时 y 有最大值0 4 y a x h 2 k 的性质 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 0 向上 h k X h x h 时 y 随 x 的增大而增大 x h 时 y 随 x 的增大而减小 x h 时 y 有最小值 k a 0 向下 h k X h x h 时 y 随 x 的增大而减小 x h 时 y 随 x 的增大而增大 x h 时 y 有最大值 k 三 二次函数图象的平移 1 平移步骤 将 抛 物 线 解 析 式 转 化 成 顶 点 式 y a x h 2 k 确 定 其 顶 点 坐 标 h k 保持抛物线 y ax2 的形状不变 将其顶点平移到 h k 处 具体平移方法如下 2 平移规律 在原有函数的基础上 h 值 正 右 移 负 左 移 k 值正上移 负下移 概 括 成 八 个 字 左 加 右 减 上 加 下 减 四 二次函数 y a x h 2 k 与 y ax2 bx c 的比较 从 解 析 式 上 看 y a x h 2 k 与 y ax2 bx c 是 两 种 不 同 的 表 达 形 式 后 者 通 过 配 方 可 以 得 到前者 即 y a 其中h k 2 2 4 24 2 4 24 五 二次函数 y ax2 bx c 的性质 当 a 0 时 抛物线开口向上 对称轴为 x 顶点坐标为 2 2 4 24 当x 时 y随x 的增大而减小 2 当x 时 y随x的增大而增大 2 当x 时 y有最小值 2 4 24 当 时 抛物线开口向下 对称轴为x 顶点坐标为 当 2 2 4 24 x 时 y 随 x 的大而增大 y 当随 x 时 y随 x 的增大而减小 当x 时 y有最大值 2 2 2 4 24 六 二次函数解析式的表示方法 1 一 般 式 y ax2 bx c a b c 为 常 数 a 0 2 顶 点 式 y a x h 2 k a h k 为 常 数 a 0 3 两 根 式 交点式 y a x x1 x x2 a 0 x1 x2 是 抛 物 线 与 x 轴 两 交 点 的 横 坐 标 注 意 任 何 二 次 函 数 的 解 析 式 都 可 以 化 成 一 般 式 或 顶 点 式 但 并 非 所 有 的 二 次 函 数 都 可 以 写 成 交 点 式 只 有 抛 物 线 与 x 轴 有 交 点 即 b2 4ac 0 时 抛物线的解析式才可以用交点式表示 二次 函数解析式的这三种形式可以互化 七 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1 二 次 项 系 数 a 当 a 0 时 抛物线开口向上 a 的值越大 开口越小 反之 a 的值越小 开口越大 当 a 0 时 抛物线开口向下 a 的值越小 开口越小 反之 a 的值越大 开口越大 2 一 次 项 系 数 b 在 二 次 项 系 数 a 确 定 的 前 提 下 b 决 定 了 抛 物 线 的 对 称 轴 同 左 异 右 b 为 0 对 称 轴 为 y 轴 3 常 数 项 c 当c 0 时 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方 即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正 当c 0 时 抛物线与 y 轴的交点为坐标原点 即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 当 c 0 时 抛 物 线 与 y 轴 的 交 点 在 x 轴 下 方 即 抛 物 线 与 y 轴交点的纵 坐标为负 总 结 起 来 c 决 定 了 抛 物 线 与 y 轴交点的位置 八 二次函数与一元二次方程 1 二次函数与一元二次方程的关系 二 次 函 数 与 x 轴交点情况 一 元 二 次 方 程 ax2 bx c 0 是 二 次 函 数 y ax2 bx c 当 函 数 值 y 0 时的特殊情况 图 象 与 x 轴的交点个数 当 b2 4ac 0 时 图 象 与 x 轴 交 于 两 点 A x1 0 B x2 0 x1 x2 其 中 的 x1 x 2是一 元二 次方程 ax 2 bx c 0 a 0 的两根 当 0 时 图象与 x 轴只有一个交点 当 0 时 图象与 x 轴没有交点 1 当 a 0 时 图 象 落 在 x 轴 的 上 方 无 论 x 为 任 何 实 数 都 有 y 0 2 当 a 0 时 图象落在 x 轴的下方 无论 x 为任何实数 都有 y 0 2 抛 物 线 y ax2 bx c 的 图 象 与 y 轴 一 定 相 交 交 点 坐 标 为 0 c 中考题型例析 1 二次函数解析式的确定 例 1 求满足下列条件的二次函数的解析式 1 图象经过 A 1 3 B 1 3 C 2 6 2 图象经过 A 1 0 B 3 0 函数有最小值 8 3 图象顶点坐标是 1 9 与 x 轴两交点间的距离是 6 分析 此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式 可根据已知条件 中的不同条件分别设出函数解析式 列出方程或方程组来求解 1 解 设解析式为 y ax 2 bx c 把 A 1 3 B 1 3 C 2 6 各点代入上式得 解得 3 3 6 4 2 1 0 2 解 析 式 为 y x2 2 2 解 法 1 由 A 1 0 B 3 0 得 抛 物 线 对 称 轴 为 x 1 所以顶点为 1 8 设 解 析 式 为 y a x h 2 k 即 y a x 1 2 8 把 x 1 y 0 代 入 上 式 得 0 a 2 2 8 a 2 即 解 析 式 为 y 2 x 1 2 8 即 y 2x2 4x 6 解 法 2 设 解 析 式 为 y a x 1 x 3 确定顶点为 1 8 同上 把 x 1 y 8 代 入上式得 8 a 1 1 1 3 解 得 a 2 解析式为 y 2x 2 4x 6 解法 3 图象过 A 1 0 B 3 0 两点 可设解析式为 y a x 1 x 3 ax 2 2ax 3a 函数有最小值 8 8 4 3 2 24 又 a 0 a 2 解析式为 y 2 x 1 x 3 2x 2 4x 6 3 解 由顶点坐标 1 9 可知抛物线对称轴方程是 x 1 又 图象与 x 轴两交 点的距离为 6 即 AB 6 由 抛 物 线 的 对 称 性 可 得 A B 两 点 坐 标 分 别 为 A 4 0 B 2 0 设 出 两 根 式 y a x x1 x x2 将 A 4 0 B 2 0 代入上式求得函数解析式为 y x 2 2x 8 点评 一 般 地 已 知 三 个 条 件 是 抛 物 线 上 任 意 三 点 或 任 意 3 对 x y 的 值 可 设 表 达 式 为 y ax2 bx c 组成三元一次方程组来求解 如果三个已知条件中有顶点坐标 或对称轴或最 值 可 选 用 y a x h 2 k 来 求 解 若 三 个 条 件 中 已 知 抛 物 线 与 x 轴 两 交 点 坐 标 则 一 般 设 解 析 式 为 y a x x1 x x2 2 二次函数的图象 例 2 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 则点 M a bc 在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 分析 由图可知 抛物线开口向上 a 0 抛物线与y 轴 负 半 轴 相 交 c 0b bc 0 对称轴 x 2a 在 y轴右侧 b 0 点 M a bc 在第一象限 答案 A 点评 本题主要考查由抛物线图象会确定 a b c 的符号 例 3 已知一次函数 y ax c 二次函数 y ax2 bx c a 0 它们在同一坐标 系中的大致图象是 分析 一次函数 y ax c 当 a 0 时 图象过一 三象限 当 a0 时 直线交 y 轴于正半轴 当 c0 时 二 次 函 数 y ax2 bx c 的 开 口 向 上 而 一 次 函 数 y ax c 应 过 一 三 象 限 故 排 除 C 当 a0 即可 2 根 据 二 次 函 数 的 图 象 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 即 是 一 元 二 次 方 程 的 根 由 根 与 系 数 的 关 系 求 出 k 的 值 可 确 定 抛 物 线 解 析 式 由 P Q 关 于 此 抛 物 线 的 对 称 轴 对 称 得 n1 n2 由 n1 m12 m1 n2 m22 m2 得 m12 m1 m22 m2 即 m 1 m2 m1 m2 1 0 可 求 得 m1 m2 1 解 1 证明 2k 1 2 4 k2 k 4k2 4k 1 4k2 4k 8k2 1 8k 2 1 0 即 0 抛物线与 x 轴总有两个不同的交点 2 由题意得 x1 x2 2k 1 x1 x2 k2 k x 1 2 x2 2 2k2 2k 1 x 1 x2 2 2x1x2 2k2 2k 1 即 2k 1 2 2 k2 k 2k2 k 1 4k2 4k 1 2k2 2k 2k2 2k 1 8k 2 0 k 0 抛物线的解析式是 y x 2 x 2 2 点 P Q 关于此抛物线的对称轴对称 n 1 n2 又 n 1 m12 m1 n2 m 2 m2 m 12 m1 m 2 m2 即 m 1 m2 m1 m2 1 0 P Q 是抛物上不同的点 m 1 m2 即 m 1 m2 0 m 1 m2 1 0 即 m 1 m2 1 点评 本 题 考 查 二 次 函 数 的 图 象 即 抛 物 线 与 x 轴 交 点 的 坐 标 与 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 二 次 函 数 经 常 与 一 元 二 次 方 程 相 联 系 并 联 合 命 题 是 中 考 的 热 点 二次函数对应练习试题 一 选择题 1 二次函数 y x2 4x 7 的顶点坐标是 A 2 11 B 2 7 C 2 11 D 2 3 2 把抛物线 y 2x2 向上平移 1 个单位 得到的抛物线是 A y 2 x 1 2 B y 2 x 1 2 C y 2x2 1 D y 2x2 1 3 函数 y kx2 k 和 y k k 0 在同一直角坐标系中图象可能是图中的 x 4 已 知 二 次 函 数 y ax2 bx c a 0 的 图 象 如 图 所 示 则 下 列 结 论 a b 同 号 当 x 1和 x 3时 函 数 值 相 等 4a b 0 当 y 2时 x 的 值 只 能 取 0 其中正确的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的顶点坐标 1 3 2 及部分图象 如图 由图象可知关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 的两个根分别是 x 1 1 3和 x2 1 3 B 2 3 C 0 3 D 3 3 6 已 知 二 次 函 数 y ax2 bx c 的 图 象 如 图 所 示 则 点 ac bc 在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 7 方程 2x x2 的正根的个数为 2 A 0 个 B 1 个 C 2 个 3 个 0 8 已知抛物线过点 A 2 0 B 1 0 与 y 轴交于点 C 且 OC 2 则这条抛物线的解析式为 A y x2 x 2 B y x2 x 2 C y x2 x 2 或 y x2 x 2 D y x2 x 2 或 y x 2 x 2 二 填空题 9 二次函数 y x2 bx 3 的对称轴是 x 2 则 b 10 已知抛物线 y 2 x 3 5 如果 y 随 x 的增大而减小 那么 x 的取值范围是 11 一 个 函 数 具 有 下 列 性 质 图 象 过 点 1 2 当 x 0 时 函 数 值 y 随 自 变 量 x 的 增 大 而 增 大 满足上述两条性质的函数的解析式是 只写一个即可 12 抛物线 y 2 x 2 2 6 的顶点为 C 已知直线 y kx 3过点 C 则这条直线与两 坐标轴所围成的三角形面积为 13 二次函数 y 2x2 4x 1的图象是由 y 2x2 bx c 的图象向左平移 1 个单位 再向 下平移 2 个单位得到的 则 b c 14 如图 一桥拱呈抛物线状 桥的最大高度是 16 米 跨度是 40 米 在线段 AB 上离中心 M 处 5 米的地方 桥的高度是 取 3 14 三 解答题 15 已知二次函数图象的对称轴是 x 3 0 图象经过 1 6 且与 y 轴的交点为 0 52 1 求这个二次函数的解析式 2 当 x 为何值时 这个函数的函数值为 0 3 当 x 在什么范围内变化时 这个函数的函数值 y 随 x 的增大而增大 16 某 种 爆 竹 点 燃 后 其 上 升 高 度 h 米 和 时 间 t 秒 符 合 关 系 式 h v0t gt2 0 t 2 其 12 中 重 力 加 速 度 g 以 10 米 秒 2 计 算 这 种 爆 竹 点 燃 后 以 v 20 米 秒的初速度上升 1 这种爆竹在地面上点燃后 经过多少时间离地 15 米 2 在爆竹点燃后的 1 5 秒至 1 8 秒这段时间内 判断爆竹是上升 或是下降 并说明理由 17 如 图 抛 物 线 y x2 bx c 经 过 直 线 y x 3 与坐标轴的两个交点 A B 此 抛 物 线 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 为 C 抛 物 线 顶 点 为 D 1 求此抛物线的解析式 2 点 P 为抛物线上的一个动点 求使 S APC S ACD 5 4 的点 P的坐标 18 红 星 建 材 店 为 某 工 厂 代 销 一 种 建 筑 材 料 这 里 的 代 销 是 指 厂 家 先 免 费 提 供 货 源 待 货 物 售 出 后 再 进 行 结 算 未 售 出 的 由 厂 家 负 责 处 理 当 每 吨 售 价 为 260 元 时 月 销 售 量 为 45 吨 该 建 材 店 为 提 高 经 营 利 润 准 备 采 取 降 价 的 方 式 进 行 促 销 经 市 场 调 查 发 现 当 每 吨 售 价 每 下 降 10 元 时 月 销 售 量 就 会 增 加 7 5 吨 综 合 考 虑 各 种 因 素 每 售 出 一 吨 建 筑 材 料 共 需 支 付 厂 家 及 其 它 费 用 100 元 设 每 吨 材 料 售 价 为 x 元 该 经 销 店 的 月 利 润 为 y 元 1 当每吨售价是 240 元时 计算此时的月销售量 2 求出 y 与 x 的 函 数 关 系 式 不 要 求 写 出 x 的 取 值 范 围 3 该建材店要获得最大月利润 售价应定为每吨多少元 4 小 静 说 当 月 利 润 最 大 时 月 销 售 额 也 最 大 你 认 为 对 吗 请 说 明 理 由 二次函数应用题训练 1 心 理 学 家 发 现 学 生 对 概 念 的 接 受 能 力 y 与 提 出 概 念 所 用 的 时 间 x 分 之间满足函数关系 y 0 1x 2 2 6x 43 0 x 30 1 当 x 在 什 么 范 围 内 时 学 生 的 接 受 能 力 逐 步 增 强 当 x 在什么范 围内时 学生的接受能力逐步减弱 2 第 10 分钟时 学生的接受能力是多少 3 第几分钟时 学生的接受能力最强 2 如图 已知 ABC 是一等腰三角形铁板余料 其中 AB AC 20cm BC 24cm 若在 ABC上 截 出 一 矩 形 零 件 DEFG 使 EF 在 BC 上 点 D G 分 别 在 边 AB AC 上 问 矩 形 DEFG 的最大面积是多少 3 如图 ABC 中 B 90 AB 6cm BC 12cm 点 P 从 点 A 开始 沿 AB 边 向 点 B 以每 秒1cm 的速度移动 点Q 从点B 开始 沿着BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动 如果P Q 同时出发 问经过几秒钟 PBQ 的面积最大 最大面积是多少 C B C D E F G A Q A P B 4 如图 一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮 球运行的路线是抛物线 当球运行 的水平距离为 2 5 米时 达到最大高度 3 5 米 然后准确落入篮圈 已知篮圈中心到地 面的距离为 3 05 米 1 建立如图所示的直角坐标系 求抛物线的表达式 2 该 运 动 员 身 高 1 8 米 在 这 次 跳 投 中 球 在 头 顶 上 方 0 25 米 处 出 手 问 球 出 手 时 他 跳 离 地 面 的 高 度 是 多 少 0 3 5 0 3 05M 4m y x x 5 如图 要建一个长方形养鸡场 鸡场的一边靠墙 如果用50 m 长的篱笆围成中 间有一道篱笆隔墙的养鸡场 设它的长度为 x m 1 要使鸡场面积最大 鸡场的长度应为多少 m 2 如果中间有 n n 是大于 1 的整数 道篱笆隔墙 要使鸡场面积最大 鸡场的长应 为多少m 比较 1 2 的结果 你能得到什么结论 6 某商场以每件 20 元的价格购进一种商品 试销中发现 这种商品每天的销售量 m 件 与每件的销售价 x 元 满足关系 m 140 2x 1 写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 间的函数关系式 2 如果商场要想每天获得最大的销售利润 每件商品的售价定为多少最合适 最大销售利润为多少 二次函数对应练习试题参考答案 一 选择题 1 A 2 C 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 C 二 填空题 y 3 05 mx4 m 9 b 4 10 x 3 11 如 y 2x2 4 y 2x 4 等 答案不唯一 12 1 13 8 7 14 15 三 解答题 15 1 设抛物线的解析式为 y ax 2 bx c 由题意可得 解 得 a b 3 c 所 以 y x2 3x 2 3 6 52 12 52 12 52 2 x 1或 5 2 x 3 16 1 由 已 知 得 15 20t 10 t 2 解 得 t1 3 t2 1当 t 3 时 不 合 题 意 舍 去 所 以 当 12 爆 竹 点燃后 1 秒离地 15 米 2 由 题 意 得 h 5t 2 20t 5 t 2 2 20 可 知 顶 点 的 横 坐 标 t 2 又 抛 物 线 开 口 向 下 所 以 在 爆 竹 点 燃 后 的 1 5 秒 至 108 秒 这 段 时 间 内 爆 竹 在 上 升 17 1 直线 y x 3 与 坐 标 轴 的 交 点 A 3 0 B 0 3 则 解得 9 3 0 3 2 3 所 以 此 抛 物 线 解 析 式 为 y x2 2x 3 2 抛 物 线 的 顶 点 D 1 4 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 C 1 0 设 P a a2 2a 3 则 4 4 5 4 化简得 12 2 2 3 12 4 5 2 2 3 当 a2 2a 3 0 时 a2 2a 3 5得 a 4 a 2 P 4 5 或 P 2 5 当 a2 2a 3 0 时 a2 2a 3 5 即 a2 2a 2 0 此 方 程 无 解 综 上 所 述 满 足 条 件 的 点 的 坐 标 为 4 5 或 2 5 18 1 45 7 5 60 吨 260 24010 2 y x 100 45 7 5 化 简 得 y x2 315x 24000 260 10 34 3 y x 2 315x 24000 x 210 2 9075 34 34 红星经销店要获得最大月利润 材料的售价应定为每吨 210 元 4 我认为 小静说的不对 理由 方法一 当月利润最大时 x 为 210 元 而对于月销售额 W x 45 7 5 x 160 2 19200 来说 260 10 34 当 x 为 160 元 时 月 销 售 额 W 最 大 当 x 为 210 元 时 月 销 售 额 W 不 是 最 大 小 静 说 的 不 对 方 法 二 当 月 利 润 最 大 时 x 为 210 元 此 时 月 销 售 额 为 17325 元 而 当 x 为 200 元 时 月 销 售额为 18000 元 17325 18000 当月利润最大时 月销售额 W 不是最大 小静说的不对 二次函数应用题训练参考答案 1 1 0 x 13 13 x 30 2 59 3 13 2 解 过 A 作 AM BC 于 M 交 DG 于 N 则 AM 16cm 202 122 设 DE xcm S 矩形 ycm 2 则由 ADG ABC 故 即 故 16 x 16 16 2432 y DG DE 16 x x x2 16x x 8 2 96 32 32 32 从 而 当 x 8 时 y 有 最 大 值 96 即 矩 形 DEFG 的 最 大 面 积 是 96cm2 3 设 第 t 秒时 PBQ 的 面 积 为 ycm2 则 AP tcm PB 6 t cm 又 BQ 2t y PB BQ 6 t 2 t 6 t t t2 6t t 3 2 9 12 12 当 t 3 时 y 有最大值 9 故第 3 秒钟时 PBQ 的面积最大 最大值是 9cm 2 4 解 1 设抛物线的表达式为 y ax2 bx c 由图知图象过以下点 0 3 5 1 5 3 05 得 2 0 3 5 3 05 1 52 1 5 0 2 0 3 5 抛物线的表达式为 y 0 2x 2 3 5 2 设球出手时 他跳离地面的高度为 h m 则球出手时 球的高度为 h 1 8 0 25 h 2 05 m h 2 05 0 2 2 5 2 3 5 h 0 2 m 5 解 1 依题意得 鸡场面积 y x 2 x 13 503 y x2 x x2 50 x x 25 2 13 503 13 13 6253 当 x 25 时 y 最大 6253 即鸡场的长度为 25 m 时 其面积最大为 m2 6253 2 如中间有几道隔墙 则隔墙长为 m 50 y x x2 x x2 50 x x 25 2 50 1 50 1 1 625 当 x 25 时 y最大 625 即鸡场的长度为 25 m 时 鸡场面积为 m2 625 结论 无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙 要使鸡场面积最大 其长都是 25 m 6 解 1 y 2x 2 180 x 2800 2 y 2x 2 180 x 2800 2 x 2 90 x 2800 2 x 45 2 1250 当 x 45 时 y 最大 1250 每件商品售价定为 45 元最合适 此销售利润最大 为 1250 元