不等恒成立解法总结及例题

不等式恒成立 能成立 恰成立问题分析及应用 一 不等式恒成立问题的处理方法 1 转换求函数的最值 1 若不等式 Axf 在区间 D上恒成立 则等价于在区间 D上 minfxA fx的下界大于 A 2 若不等式 B 在区间 上恒成立 则等价于在区间 上 aB 的上界小于 A 例 1 设 f x x2 2ax 2 当 x 1 时 都有 f x a 恒成立 求 a 的取值范围 例 2 已知 2xaf 对任意 0 1 xfx恒成立 试求实数 a的取值范围 例 3 R 上的函数 xf既是奇函数 又是减函数 且当 2 0 时 有 02sin2co mf 恒成立 求实数 m 的取值范围 2 主参换位法 例 5 若不等式 a10 x 对 2 恒成立 求实数 a 的取值范围 例 6 若对于任意 不等式 2 4 20 xa 恒成立 求实数 x 的取值范围 3 分离参数法 1 将参数与变量分离 即化为 gfx 或 gfx 恒成立的形式 2 求 fx在 D 上的最大 或最小 值 3 解不等式 max gf 或 minfx 得 的取值范围 适用题型 1 参数与变量能分离 2 函数的最值易求出 例 8 当 x时 不等式 240 恒成立 则 的取值范围是 4 数形结合 例 10 若对任意 xR 不等式 xa 恒成立 则实数 a的取值范围是 例 11 当 x 1 2 时 不等式 2 1 x logax恒成立 求 a 的取值范围 二 不等式能成立问题的处理方法 若在区间 D上存在实数 x使不等式 Axf 成立 则等价于在区间 D上 maxfA 若在区间 上存在实数 使不等式 B 成立 则等价于在区间 上的 inB 例 12 已知不等式 ax 34在实数集 R上的解集不是空集 求实数 a的取值范围 例 13 若关于 x的不等式 2 的解集不是空集 则实数 的取值范围是 三 不等式恰好成立问题的处理方法 例 14 不等式 2axb10 的解集为 1 3x 则 ab 例 15 已知 2xaf 当 xf 1 的值域是 0 试求实数 a的值 不等式恒成立 能成立 恰成立问题专项练习 1 若不等式 2 1 3 1 0mxm 对任意实数 x 恒成立 求实数 m 取值范围 2 已知不等式 26kx 对任意的 xR 恒成立 求实数 k 的取值范围 3 对于满足 p 2 的所有实数 p 求使不等式 212px 恒成立的 x 的取值范围 4 已知不等式 03xax 对 任 意 实 数 恒成立 求实数 a的取值范围 5 对任意的 2 函数 2 4 2fa 的值总是正数 求 x 的取值范围 6 若不等式 2log0mx 在 1 内恒成立 则实数 m 的取值范围 7 不等式 4 a 在 3 x内恒成立 求实数 a 的取值范围 8 不等式 20kx 有解 求 k的取值范围 9 对于不等式 1xa 存在实数 x 使此不等式成立的实数 a的集合是 M 对于任意 05 x 使此不等式恒成立的实数 的集合为 N 求集合 M 10 对一切实数 x 不等式 32xa 恒成立 求实数 a 的范围 若不等式 32xa 有解 求实数 a 的范围 若方程 有解 求实数 a 的范围 11 若 x y 满足方程 22 1 xy 不等式 0 xyc 恒成立 求实数 c 的范围 若 x y 满足方程 求实数 c 的范围