《方程的根与函数的零点》教学设计及教学反思

方程的根与函数的零点 教学设计及教学反思 一 背景分析 1 学习任务分析 函数与方程是中学数学的重要内容 既是初等数学的基础 又是初等数学与高等数学 的连接纽带 在新课程教学中有着不可替代的重要位置 为什么要引进函数的零点 原因是 要用函数的观点统帅中学数学 把解方程问题纳入到函数问题中 引入函数的零点 解方程的 问题就变成了求函数的零点问题 就本章而言 本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根 的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系 然后由特殊到一般 将其推广到一般方程与相应的函数的情形 它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函 数的内在联系 也引出对函数知识的总结拓展 之后将函数零点与方程的根的关系在利用 二分法解方程中 3 1 2 加以应用 通过建立函数模型以及模型的求解 3 2 更全面地体 现函数与方程的关系 逐步建立起函数与方程的联系 即体现了函数与方程的思想 又渗透 了数形结合的思想 总之 本节课渗透着重要的数学思想 特殊到一般的归纳思想 方程与 函数 和 数形结合 的思想 教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础 因此教好 本节是至关重要的 2 学生情况分析 学生在学习本节内容之前已经学习了函数的图象和性质 理解了函数图象与性质之间的 关系 尤其熟悉二次函数 并且已经具有一定的数形结合思想 这为理解函数的零点提供了直 观认识 并为判定零点是否存在和求出零点提供了支持 学生有一定的方程知识的基础 熟悉 从特殊到一般的归纳方法 这为深入理解函数的零点及方程的根与函数零点的联系提供了依 据 但学生对于函数与方程之间的联系缺乏一定的认识 对于综合应用函数图象与性质尚不 够熟练 这些都给学生在联系函数与方程 发现函数零点的存在性事造成了一定的难度 又加上函数零点存在性的判定方法表述较为抽象难以概括 因此教学中尽可能提供学生动 手实践的机会 让学生亲身体验中掌握知识与方法 充分利用学生熟悉的二次函数图象和 一元二次方程通过直观感受发现并归纳出函数零点的概念 在函数零点存在性的判定方法 的教学时应该为学生创设适当的问题情境 激发学生的思维引导学生通过观察 计算 作 图 思考理解问题的本质 二 教学目标设计 1 结合 课程标准 对本节的要求 制定本节课的教学目标为 1 以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口 探究方程的根与函数的 零点的关系 2 掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法 学会在某区间上图象连续的 函数存在零点的判定方法 3 让学生在探究过程中体验发现的乐趣 体会数形结合的数学思想 从特殊到一般的 归纳思想 培养学生的辨证思维以及分析问题解决问题的能力 2 教学重点难点设计 重点 函数零点与方程根之间的关系 连续函数在某区间上存在零点的判定方法 难点 发现与理解方程的根与函数零点的关系 探究发现函数存在零点的方法 三 教学程序设计 四 教学媒体设计 根据本节课的教学任务以及学生学习的需要 教学媒体设计如下 1 多媒体辅助教学 在对某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法的探究过程中 利用小马过河的形象实 例把抽象的判定定理还原到具体的可观察可操作的层面上来 弱化纯粹的逻辑推理 把 数 转化到了 形 多媒体使用也为学生提供了更广阔的思维空间 提高了探究活动的质量 同时 为有效的 指导学生活动 在教学中也使用了实物投影仪 展示学生所做的练习 并在此过程中队学 生进行针对性的评价 2 设计合理的板书 为对本课有一个整体的认识 教学时将重要内容进行板书 如 五 教学过程设计 一 设问激疑 创设情境 问题 1 求下列方程的根 1 2 3 设计意图 从学生较为熟悉的方程 一元一次 一元二次方程 出发 再提出稍微难一点的 方程符合学生的认知规律 进而使学生认识到有些复杂的方程用以前的解题方法求解很不 方便 需要寻求新的解决方法 让学生带着问题学习 激发学生的求知欲 二 启发引导 初步探究 问题 2 作出下列二次函数的图象 1 y x2 2x 3 2 y x2 2x 1 3 y x2 2x 3 以上各函数图象与相应方程的根有何关系 设计意图 与问题 1 联系起来结合一次 二次函数图象 判断方程根的存在性及根的个数 为理解函数的零点 了解函数的零点与方程根的联系作准备 充分发挥学生的主观能动性 问题 3 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象与 x 轴交点和相应一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根有何关系 设计意图 把具体的结论推广到一般情况 向学生渗透 从最简单 最熟悉的问题入手解决 较复杂问题 的思维方法 培养学生的归纳能力 由此的出结论 二次函数图象与 x 轴交点的横坐标就是相应方程的实数根 三 形成概念 归纳 方程 f x 0 的实数根就是函数 y f x 图象与 x 轴交点的横坐标 定义 对于函数 y f x 我们把使 f x 0 的实数 x 叫做函数 y f x 的零点 由此引出课题 等价关系 设计意图 让学生从熟悉的环境中发现新知识 并与原有的知识形成联系 利用方程与函 数的联系 培养学生观察 归纳的能力 并渗透数形结合的数学思想 辨析练习 练习 1 判断下列说法的正误 函数 的零点是 1 0 3 0 x 1 x 3 1 和 3 设计意图 利用辨析练习 来加深学生对概念的理解 目的要学生明确零点是一个实数 不是一个点 例 1 求函数 的零点 设计意图 巩固函数零点的求法 渗透二次函数以外的函数零点情况 进一步体会方程与 函数的关系 练习 2 利用函数图象 判断下列函数又没有零点 并确定函数零点的所在的大致区间 1 2 设计意图 培养学生的知识转化应用能力 并给学生实践动手的机会 为下面函数零点存 在性判定作铺垫 四 讨论探究 揭示定理 探究 在什么情况下 函数 f x 在区间 a b 一定存在零点呢 问题 4 如果把函数比作一部电影 那么函数的零点就像是电影的一个瞬间 一个镜头 有时我们会忽略一些镜头 但是我们仍然能推测出被忽略的片断 现在我有两组镜头 下 图 哪一组能一定曾渡过河 设计意图 在学生尚缺乏一定数学知识的提前下 为学生充分理解这个抽象的判定方法提供了有利得 条件 这个问题以学生的经验为基础 并带有一定的趣味性和开放性 留给学生充分的空 间 试图催生学生的深层思维 通过学生自身思维碰撞揭示结论 对突破教材的难点又重 要的意义 问题 5 将河流抽象成 x 轴 将前后的两个位置视为 A B 两点 请问当 A B 与 x 轴怎样 的位置关系时 AB 间的一段连续不断的函数图象与 x 轴一定会有交点 A B 问题 6 A B 与 x 轴的位置关系 如何用数学符号 式子 来表示 最佳答案 用 f a f b 0 来表示 注意过程中的引导 设计意图 1 将现实生活中的问题抽象成数学模型 进行合情推理 将原来学生只认为静态的函数图 象 理解为一种动态的过程 2 由原来的图象语言转化为数学语言 培养学生的观察能力和提取有效信息的能力 体验 语言转化的过程 问题 7 仅满足 f a f b 0 可以确定有零点吗 辨析练习 判断下列函数是否有零点 设计意图 看似一个简单的问题却从直观上能揭示问题的本质 为学生充分理解这个抽象 的判定方法提供了有利得条件 使得问题变得形象化 问题 8 那么在怎样的条件下 函数 y f x 一定有零点 设计意图 通过小组讨论完成探究 教师恰当辅导 引导学生大胆猜想出函数零点存在性 的判定方法 这样设计既符合学生的认知特点 也让学生经历从特殊到一般过程 1 定理 如果函数 y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 f a f b 0 那么 函数 y f x 在区间 a b 内有零点 即存在 c a b 使 f c 0 这个 c 也就是方程 f x 0 的根 2 说明 1 若函数 y f x 在区间 a b 内有零点 不一定能得出 f a f b 0 的结论 也就是说上述定理不可逆 2 此定理只能判定零点的存在性 既不能判定有多少个实根 也不能得出零点的具体值 3 判定零点存在性的方法 1 利用定理 2 利用图象 反馈练习 练习 1 观察下表 分析函数在定义域内是否存在零点 x 2 1 0 1 2 y 109 10 1 8 107 练习 2 若函数 y 5x2 7x 1 在区间 a b 上的图象是连续不断的曲线 且函数 y 5x2 7x 1 在 a b 内有零点 则 f a f b 的值 A 大于 0 B 小于 0 C 无法判断 D 等于零 设计意图 1 通过反馈练习 使学生初步运用定理来解决 函数零点存在或所在区间 这一类问题 2 引导学生观察图象的单调性以及在每一个单调区间的零点情况 得出相应的结论 为后 面的定理应用作好铺垫 总结 函数 y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 1 f a f b 0 函数 y f x 在区间 a b 内有零点 2 函数 y f x 在区间 a b 内有零点 f a f b 0 五 观察感知 例题学习 例 2 已知函数 f x lnx 2x 6 1 是否存在零点 若存在零点则有几个 2 指出函数零点所在的大致区间 设计意图 例 2 原题为 求函数 f x lnx 2x 6 的零点的个数 改为问题序列以追问的形式 出现 问题由浅入深形成序列 即使对本节课知识的应用 也是对下节课二分法的一个铺 垫 同时考虑了学生的实际情况 留给学生解决问题的不同思考途径 这样就抓住了教学 的关键且分层预设问题有利于学生思维深刻性的培养 六 知识应用 尝试练习 1 判断下列方程有没有根 有几个根 1 x 2 3x 5 0 2 x 2 4x 4 2 利用函数的图象 指出下列函数零点所在的区间 1 f x x3 3x 5 2 f x 2x ln x 2 3 3 f x ex 1 4x 4 设计意图 对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程 通过练习 进行数学思想方法的 小结 可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用 同时反映教学效果 便于教师进行查漏补缺 七 反思小结 培养能力 问题 8 1 你能说说二次函数的零点与一元二次方程的根的联系吗 2 如果函数图象在区间 a b 上是连 续不断的 那么在什么条件下 函数在 a b 内有 零点 设计意图 通过师生共同反思 优化学生的认知结构 把课堂教学传授的知识较快转化为 学生的素质 回顾小结 1 本节课你学到了那些知识 1 函数零点的定义 2 等价关系 3 函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断 2 本节课渗透了什么数学思想方法 八 课后作业 自主学习 1 教材 92 页习题 3 1 A 组 第二题 2 求函数 的零点的个数 并指出其零点所在的大致区间 设计意图 巩固学生所学的新知识 将学生的思维向外延伸 激发学生的发散思维 达到熟 练使用零点定理的目的 没有图像的情况下 同时为下一节课作好铺垫 六 教学评价设计 1 本节课的教学通过提出问题 引导学生发现问题 经历思考交流概括归纳概念 由问题 的提出进一步加深理解 这一过程能够培养学生发现问题 分析问题 解决问题的能力 2 加强过程性评价 创设公平 平等 宽松 积极向上的课堂环境 这就要求对学生的语 言行为及时地给予肯定性的表扬和鼓励 充分暴露思维 及时矫正 调整思路 3 通过练习来检验学生学习的效果 并在讲评中肯定有点 指出不足 4 通过作业反馈信息 再次对本节课做出评价 以便查漏补缺 七 教学反思 1 逐层铺垫 降低难度 由具体到一般 建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系 然后将其推广到 一般方程与相应的函数的情形 2 恰当使用信息技术 恰当地使用多媒体和计算器 让学生直观形象地理解问题 了解知识的形成过程 3 采用 启发 探究 讨论 教学模式 精心设置一个个问题链 给每个学生提供思考 创造 表现和成功的机会