2016年人教版九年级上册数学课本知识点归纳

1 九年级上册数学课本知识点归纳 第 21 章一元二次方程 一 学习目标 1 理解一元二次方程的概念 2 学会一元二次方程的解法 3 了解方程的根与系数的关系 4 掌握一元二次方程的实际应用 二 重点 一 一元二次方程 1 一元二次方程 含有一个未知数 一元 并且未知数的最高次数是 2 二次 的整式方 程叫做一元二次方程 2 一元二次方程的一般形式 其中 叫做二次 0 2 acbxa2ax 项 a 叫做二次项系数 bx 叫做一次项 b 叫做一次项系数 c 叫做常数 项 二 降次 解一元二次方程 1 降次 把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程 不管用什 么方法解一元二次方程 都是要一元二次方程降次 2 直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接 开平方法 直接开平方法适用于解形如 x2 b 或 的一元二次方ba 2 程 根据平方根的定义可知 是 b 的平方根 当 时 a 0 当 b0 时 方程有两个实数根 ac42 当 0 时 方程有两个相等实数根 b 当 0 时 方程没有实数根 c2 5 因式分解法 先将一元二次方程因式分解 化成两个一次式的乘 积等于 0 的形式 再使这两个一次式分别等于 0 从而实现降次 这种解 叫因式分解法 这种方法简单易行 是解一元二次方程最常用的方法 三 一元二次方程根的判别式 根的判别式 一元二次方程 中 叫做一 0 2 acbxaacb42 元二次方程 的根的判别式 通常用 来表示 即 0 2 cbxa cb42 四 一元二次方程根与系数的关系 如果方程 的两个实数根是 由求根公式 0 2 acbxa 21x 可算出 42 cx ab 21cx21 3 第 22章 二 次 函 数 一 学 习 目 标 1 理 解 二 次 函 数 的 概 念 2 学 会 画 二 次 函 数 的 图 象 3 掌 握 二 次 函 数 的 性 质 4 学 会 函 数 图 象 的 平 移 5 能 够 运 用 二 次 函 数 解 决 实 际 问 题 二 重 点 1 二 次 函 数 的 解 析 式 一 般 式 a b c 为 常 数 则 称 y 为 x 0 2 cbxay 的 二 次 函 数 顶 点 式 2 kh 交 点 式 与 x 轴 0 21 axay 2 抛 物 线 的 性 质 二 次 函 数 的 图 像 是 一 条 永 无 止 境 的 抛 物 线 a b c 为常数 a 0 且 a 决定函数的开口方向 a 0 时 开口 方向向上 a 0 时 开口方向向下 a 还可以决定开口大小 a 越大开口就 越小 a 越小开口就越大 抛物线是轴对称图形 对称轴为直线 abx2 对 称 轴 与 抛 物 线 唯 一 的 交 点 为 抛 物 线 的 顶 点 P 特 别 地 当 b 0 时 抛 物 线 的 对 称 轴 是 y 轴 即 直 线 x 0 抛 物 线 有 一 个 顶 点 P 坐 标 为 P abc4 22 当 时 P 在 y 轴 上 当 时 P 在 x 轴 上 abx2 02 b 二 次 项 系 数 a 决 定 抛 物 线 的 开 口 方 向 和 大 小 当 a 0时 抛 物 线 向 上 开 口 当 a 0时 抛 物 线 向 下 开 口 a 越 大 则 抛 物 线 的 开 口 越 小 4 一 次 项 系 数 b 和 二 次 项 系 数 a 共 同 决 定 对 称 轴 的 位 置 当 a 与 b 同 号 时 即 ab 0 对 称 轴 在 y 轴 左 因 为 若 对 称 轴 在 左 边 则 对 称 轴 小 于 0 也 就 是 b 2a0 所 以 b 2a 要 小 于 0 所 以 a b 要 异 号 事 实 上 b 有 其 自 身 的 几 何 意 义 抛 物 线 与 y 轴 的 交 点 处 的 该 抛 物 线 切 线 的 函 数 解 析 式 一 次 函 数 的 斜 率 k 的 值 可 通 过 对 二 次 函 数 求 导 得 到 常 数 项 c 决 定 抛 物 线 与 y 轴 交 点 抛 物 线 与 y 轴 交 于 0 c 二 次 函 数 的 增 减 性 抛 物 线 若 a 0 当 时 y 随 x 的 增 0 2 acbxay abx2 大 而 减 小 当 时 y 随 x 的 增 大 而 增 大 若 a0 a 0 则 当 时 y 最 0 2 acba x 小 大 值 4 2 3 二次函数 2axy 0 2 akhx 0 2 acbxay 各式中 a 0 的图象形状相同 只是位置不同 它们的顶点坐标及对 称轴如下表 5 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2axy 轴 0 xy 0 0 k 轴 0 k 2h h 0 hxay x cb 2 当 时0 a 开口向上 当 时 开口向下 ab2 abc422 4 二 次 函 数 与 一 元 二 次 方 程 二 次 函 数 以 下 称 函 数 0 2 cbxay 当 y 0 时 二 次 函 数 为 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 以 下 称 方 程 即 此 时 函 数 图 像 与 x 轴 有 无 交 点 即 方 程 有 无0 2 acbxa 实 数 根 函 数 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 即 为 方 程 的 根 抛物线 的图象与坐标轴的交点 2cby 0 图 象 与 x 轴 交 于 两 点 0 和 0 ab2 ab2 0 图 象 与 x 轴 交 于 一 点 0 0 图 象 与 x 轴 无 交 点 5 用待定系数法求二次函数的解析式 1 当 题 给 条 件 为 已 知 图 象 经 过 三 个 已 知 点 或 已 知 x y 的 三 对 对 应 值 时 可 设 解 析 式 为 一 般 形 式 0 2 acbxay 2 当 题 给 条 件 为 已 知 图 象 的 顶 点 坐 标 或 对 称 轴 或 极 大 小 值 时 可 设 解 析 式 为 顶 点 式 2 kh 3 当 题 给 条 件 为 已 知 图 象 与 x 轴 的 两 个 交 点 坐 标 时 可 设 解 析 式 为 两 根 式 0 21 axay 6 二次函数的应用 二 次 函 数 知 识 很 容 易 与 其 它 知 识 综 合 应 用 而 形 成 较 为 复 杂 的 综 合 题 目 因 此 以 二 次 函 数 知 识 为 主 的 综 合 性 题 目 是 中 考 的 热 点 考 题 往 往 以 大 题 形 式 出 现 6 第 23 章 旋转 一 学习目标 1 理解旋转 旋转中心 旋转角 中心对称的概念 2 学会找旋转角及画中心对称图形 3 掌握中心对称的性质 4 学会关于原点对称的点的坐标 5 了解图形旋转的应用 二 重点 一 旋转 1 定义 把一个图形绕某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转 其中 O 叫做旋转中心 转动的角叫做旋转角 2 性质 1 对应点到旋转中心的距离相等 2 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 旋转前后的图形全等 二 中心对称 1 定义 把一个图形绕着某一个点旋转 180 如果旋转后的图形 能够和原来的图形互相重合 那么这个图形叫做中心对称图形 这个点 就是它的对称中心 2 性质 1 关于中心对称的两个图形是全等形 2 关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且 被对称中心平分 7 3 关于中心对称的两个图形 对应线段平行 或在同一直线上 且相等 3 判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点 并且被这一点 平分 那么这两个图形关于这一点对称 4 中心对称图形 把一个图形绕某一个点旋转 180 如果旋转后 的图形能够和原来的图形互相重合 那么这个图形叫做中心对称图形 这个店就是它的对称中心 5 关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时 它们的坐标 的符号相反 即点 P x y 关于原点的对称点为 P x y 6 关于 x 轴对称的点的特征 两个点关于 x 轴对称时 它们的坐标 中 x 相等 y 的符号相反 即点 P x y 关于 x 轴的对称点为 P x y 7 关于 y 轴对称的点的特征 两个点关于 y 轴对称时 它们的坐标 中 y 相等 x 的符号相反 即点 P x y 关于 y 轴的对称点为 P x y 8 第 24 章 圆 一 学习目标 1 理解圆的几何定义与圆有关的概念 2 掌握垂径定理 切线的判定定理 切线长定理以及圆周角定理 3 学会判断点 直线 圆与圆的位置关系 4 会计算弧长 扇形的面积及圆锥的侧面积和全面积 二 重点 一 圆的相关概念 1 圆的定义 在一个个平面内 线段 OA 绕它 固定的一个端点 O 旋转一周 另一个端点 A 随之旋 转所形成的图形叫做圆 固定的端点 O 叫做圆心 线段 OA 叫做半径 2 圆的几何表示 以点 O 为圆心的圆记作 O 读作 圆 O 二 弦 弧等与圆有关的定义 1 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 如图中的 AB 2 直径 经过圆心的弦叫做直径 如途 中的 CD 直径等于半径的 2 倍 3 半圆 圆的任意一条直径的两个端点分 圆成两条弧 每一条弧都叫做半圆 4 弧 优弧 劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 弧用符号 表示 以 A B 为端点的弧记作 读作 圆弧 AB 或 弧 AB 大于半圆的弧叫做优弧 多用三个字母表示 小于半圆的 弧叫做劣弧 多用两个字母表示 9 三 垂径定理及其推论 1 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的弧 推论 1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对 的两条弧 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 3 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条 弧 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 四 圆的对称性 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 经过圆心的每一条直线都是它 的对称轴 2 圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 五 弧 弦 弦心距 圆心角之间的关系定理 1 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角 2 弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距 3 弧 弦 弦心距 圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦想等 所 对的弦的弦心距相等 推论 在同圆或等圆中 如果两个圆的圆心角 两条弧 两条弦或 两条弦的弦心距中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 六 圆周角定理及其推论 1 圆周角 顶点在圆上 并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 10 2 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周 角所对的弧也相等 推论 2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的 弦是直径 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形 是直角三角形 七 点和圆的位置关系 设 O 的半径是 r 点 P 到圆心 O 的距离为 d 则有 dr 点 P 在 O 外 八 过三点的圆 1 过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆 2 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接 圆 3 三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平 分线的交点 它叫做这个三角形的外心 4 圆内接四边形性质 四点共圆的判定条件 圆内接四边形对角 互补 九 反证法 先假设命题中的结论不成立 然后由此经过推理 引出矛盾 判定 11 所做的假设不正确 从而得到原命题成立 这种证明方法叫做反证法 十 直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系 具体如下 1 相交 直线和圆有两个公共点时 叫做直线和圆相交 这时直 线叫做圆的割线 公共点叫做交点 2 相切 直线和圆有唯一公共点时 叫做直线和圆相切 这时直 线叫做圆的切线 3 相离 直线和圆没有公共点时 叫做直线和圆相离 如果 O 的半径为 r 圆心 O 到直线 l 的距离为 d 那么 直线 l 与 O 相交 dr 十一 切线的判定和性质 1 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线 2 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 十二 切线长定理 1 切线长 在经过圆外一点的圆的切线上 这点和切点之间的线段 的长叫做这点到圆的切线长 2 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 十三 三角形的内切圆 12 1 三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切 圆 2 三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分 线的交点 它叫做三角形的内心 十四 圆和圆的位置关系 1 圆和圆的位置关系 如果两个圆没有公共点 那么就说这两个圆 相离 相离分为外离和内含两种 如果两个圆只有一个公共点 那么就说这两个圆相切 相切分为外 切和内切两种 如果两个圆有两个公共点 那么就说这两个圆相交 2 圆心距 两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距 3 圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为 R 和 r 圆心距为 d 那么 两圆外离 d R r 两圆外切 d R r 两圆相交 R r dr 两圆内含 dr 4 两圆相切 相交的重要性质 如果两圆相切 那么切点一定在连 心线上 它们是轴对称图形 对称轴是两圆的连心线 相交的两个圆的 连心线垂直平分两圆的公共弦 十五 正多边形和圆 13 1 正多边形的定义 各边相等 各角也相等的多边形叫做正多边形 2 正多边形和圆的关系 只要把一个圆分成相等的一些弧 就可以 做出这个圆的内接正多边形 这个圆就是这个正多边形的外接圆 十六 与正多边形有关的概念 1 正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的 中心 2 正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的 半径 3 正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做 这个正多边形的边心距 4 中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多 边形的中心角 十七 正多边形的对称性 1 正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形 一个正 n 边形 共有 n 条对称轴 每条对称轴都通过正 n 边形的中心 2 正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形 它的对称中心是正多边形的中心 3 正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆 再做正多边形 十八 弧长和扇形面积 1 弧长公式 n 的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 180 rnl 14 2 扇形面积公式 其中 n 是 lRnS21360 扇 扇形的圆心角度数 R 是扇形的半径 l 是扇形的弧长 3 圆锥的侧面积 其中 l 是圆锥的母线长 r 是圆 rlS 21 锥的地面半径 4 弦切角定理 弦切角 圆的切线与经过切点的弦所夹的角 叫做 弦切角 弦切角定理 弦切角等于弦与切线 夹的弧所对的圆周角 即 BAC ADC 5 切割线定理 PA 为 O 切线 PBC 为 O 割线 则 PCBA 2 15 第 25 章 概率初步 一 学习目标 1 理解概率 必然事件 随机事件 不可能事件的概念 2 学会运用列举法求随机事件的概率 二 重点 一 概率 1 随机事件 在一定条件下 可能发生也可能不发生的事件 称 为随机事件 一般的 随机事件发生的可能性是有大小的 不同的随机 事件发生的可能性大小有可能不同 确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件 事先能 肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件 必然事件和不可能事件都 是确定的 事件分为确定事件和不确定事件 随机事件 确定事件又分 为必然事件和不可能事件 二 概率 1 概率 1 一般地 在大量重复实验中 如果事件 A 发生的频率 m n 会 稳定在某个常数 p 附近 那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率 记为 P A p 频率接近概率 2 概率是频率 多个 的波动稳定值 是对事件发生可能性大小 16 的量的表现 概率反映可能性大小的一般规律 3 概率取值范围 0 p 1 4 必然发生的事件的概率 P A 1 不可能发生事件的概率 P A 0 5 事件发生的可能性越大 概率越接近与 1 事件发生的可能性 越小 概率越接近于 0 二 求概率方法 一般地 如果在一次实验中 有 n 种可能的结果 并且它们发生的 可能性都相等 事件 A 包含其中的 m 种结果 那么事件发生的概率为 P A m n 1 列举法 一次实验中 涉及 1 个因素 并且可能出现的结果数目 有限多个 并且它们发生的可能性都相等 把可能的结果都列出来 求 P A m n 的方法 2 列表法 当一次实验要涉及 2 个因素 并且可能出现的结果数目 较多 并且它们发生的可能性都相等 为不重不漏地列出所有可能的结 果 采用列表法 频率等于概率 1 当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时 我们 常用列表的方式 列出所有可能的结果 再求出概率 2 列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出 n 再 从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m 求出概率 3 树状法 当一次实验要涉及 3 个或更多的因素 列表法就不方便 了 为不重不漏地列出所有可能的结果 通常采用树形图法 频率等于 17 概率 树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合 依次列 出 象树的枝丫形式 最末端的枝丫个数就是总的可能的结果 n 4 游戏公平性 1 判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率 然后比较概率的大小 概率相等就公平 否则就不公平 三 利用频率估计概率 1 利用频率估计概率 频率接近概率 1 大量重复实验时 事件发生的频率在某个固定位置左右摆动 并且摆动的幅度越来越小 根据这个频率稳定性定理 可以用频率的集 中趋势来估计概率 这个固定的近似值 p 就是这个事件的概率 2 用频率估计概率得到的是近似值 随实验次数的增多 值越来 越精确 3 当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多 或各种可 能结果发生的可能性不相等时 一般通过统计频率来估计概率 2 模拟实验 1 在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品 或人抽取 这样的实验称为模拟实验 2 模拟实验是用卡片 小球编号等形式代替实物进行实验 或用 计算机编号等进行实验 目的在于省时 省力 但能达到同样的效果 3 模拟实验只能用更简便方法完成 验证实验目的 但不能改变 实验目的 这部分内容根据 新课标 要求 只要设计出一个模拟实验 即可