初二数学--勾股定理讲义

初二数学 张老师 优胜教育 初二数学 勾股定理 知识点归纳 123456 1 已 知 直 角 三 角 形 的 两 边 求 第 三 边勾 股 定 理 2 求 直 角 三 角 形 周 长 面 积 等 问 题3 验 证 勾 股 定 理 成 立1 勾 股 数 的 应 用勾 股 定 理 勾 股 定 理 的 逆 定 理 2 判 断 三 角 形 的 形 状 求 最 大 最 小 角 的 问 题 面 积 问 题 求 长 度 问 题 最 短 距 离 问 题勾 股 定 理 的 应 用 航 海 问 题 网 格 问 题 图 形 问 题 考点一 勾股定理 1 对于任意的直角三角形 如果它的两条直角边分别为 a b 斜边为 c 那么一定有22cba 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 2 结论 有一个角是 30 的直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半 有一个角是 45 的直角三角形是等腰直角三角形 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 3 勾股定理的验证 初二数学 张老师 优胜教育 a b c a bc a bc a b c a b a b a b b a 例题 例 1 已知直角三角形的两边 利用勾股定理求第三边 1 在 Rt ABC 中 C 90 若 a 5 b 12 则 c 若 a 15 c 25 则 b 若 c 61 b 60 则 a 若 a b 3 4 c 10 则 Rt ABC 的面积是 2 如果直角三角形的两直角边长分别为 2n n 1 那么它的斜边长是 1n2 A 2n B n 1 C n 2 1 D 1n2 3 在 Rt ABC 中 a b c 为三边长 则下列关系中正确的是 A B 22abc 22acb C D 以上都有可能 4 已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4 则第三边长的平方是 A 25 B 14 C 7 D 7 或 25 例 2 已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长 面积等问题 1 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12 则它斜边上的高为 2 已知 Rt ABC 中 C 90 若 a b 14cm c 10cm 则 Rt ABC 的面积是 A 24 B 36 C 48 D 602cm2cm2c2cm 3 已知 x y 为正数 且 x 2 4 y 2 3 2 0 如果以 x y 的长为直角边作一个直角 三角形 那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为 A 5 B 25 C 7 D 15 初二数学 张老师 优胜教育 例 3 探索勾股定理的证明 有四个斜边为 c 两直角边长为 a b 的全等三角形 拼成如图所示的五边形 利用这个 图形证明勾股定理 A B CM DG H F E 考点二 勾股定理的逆定理 1 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a b c 有关系 那么这个三22cba 角形是直角三角形 2 常见的勾股数 3n 4n 5n 5n 12n 13n 8n 15n 17n 7n 24n 25n 9n 40n 41n n 为正整数 3 直角三角形的判定方法 如果三角形的三边长 a b c 有关系 那么这个三角形是直角三角形 22cba 有一个角是直角的三角形是直角三角形 两内角互余的三角形是直角三角形 如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半 那么这个三角形是直角三角形 例题 例 1 勾股数的应用 1 下列各组数据中的三个数 可作为三边长构成直角三角形的是 A 4 5 6 B 2 3 4 C 11 12 13 D 8 15 17 2 若线段 a b c 组成直角三角形 则它们的比为 A 2 3 4 B 3 4 6 C 5 12 13 D 4 6 7 例 2 利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 1 下面的三角形中 初二数学 张老师 优胜教育 ABC 中 C A B ABC 中 A B C 1 2 3 ABC 中 a b c 3 4 5 ABC 中 三边长分别为 8 15 17 其中是直角三角形的个数有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 若三角形的三边之比为 则这个三角形一定是 1 2 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 不等边三角形 3 已知 a b c 为 ABC 三边 且满足 a 2 b 2 a2 b2 c 2 0 则它的形状为 A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰三角形或直角三角形 4 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数 得到的三角形是 A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 5 若 ABC 的三边长 a b c 满足 试判断 ABC 的22abc01a6b20c 形状 6 ABC 的两边分别为 5 12 另一边为奇数 且 a b c 是 3 的倍数 则 c 应为 此三角形为 例 3 求最大 最小角的问题 1 若三角形三条边的长分别是 7 24 25 则这个三角形的最大内角是 度 2 已知三角形三边的比为 1 2 则其最小角为 3 考点三 勾股定理的应用 例题 例 1 面积问题 1 下图是一株美丽的勾股树 其中所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三 角形 若正方形 A B C D 的边长分别是 3 5 2 3 则最大正方形 E 的面积是 初二数学 张老师 优胜教育 A 13 B 26 C 47 D 94 A B CD E S 2 S3 S1 A B C S 3 S2 S1 图 1 图 2 图 3 3 如图 ABC 为直角三角形 分别以 AB BC AC 为直径向外作半圆 用勾股定理 说明三个半圆的面积关系 可得 A S1 S2 S3 B S1 S2 S3 C S2 S3 S1 D 以上都不是 2 如图所示 分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形 其面积分别是 S1 S 2 S 3 则它们之间的关系是 A S1 S2 S3 B S1 S2 S3 C S2 S3 S1 D S2 S3 S1 例 2 求长度问题 1 小明想知道学校旗杆的高 他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1 米 当他把绳子的 下端拉开 5 米后 发现下端刚好接触地面 求旗杆的高度 2 在一棵树 10m 高的 B 处 有两只猴子 一只爬下树走到离树 20m 处的池塘 A 处 另外一只爬到树顶 D 处后直接跃到 A 外 距离以直线计算 如果两只猴子所经过的距离相 等 试问这棵树有多高 C A D B 例 3 最短路程问题 1 如图 1 已知圆柱体底面圆的半径为 高为 2 AB CD 分别是两底面的直径 AD BC 是母线 若一只小虫从 A 点出发 从侧面爬行到 C 点 则小虫爬行的最短路线的 长度是 结果保留根式 初二数学 张老师 优胜教育 2 如图 2 有一个长 宽 高为 3 米的封闭的正方体纸盒 一只昆虫从顶点 A 要爬到顶 点 B 那么这只昆虫爬行的最短距离为 A B CD B A 图 1 图 2 例 4 航海问题 1 一轮船以 16 海里 时的速度从 A 港向东北方向航行 另一艘船同时以 12 海里 时的速 度从 A 港向西北方向航行 经过 1 5 小时后 它们相距 海里 2 深圳 如图 1 某货船以 24 海里 时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M 处 在点 A 处测得某岛 C 在北偏东 60 的方向上 该货船航行 30 分钟到达 B 处 此时 又测得该岛在北偏东 30 的方向上 已知在 C 岛周围 9 海里的区域内有暗礁 若继续向正 东方向航行 该货船有无暗礁危险 试说明理由 东 东 30 60 BA C MD D B C A 图 1 图 2 3 如图 2 某沿海开放城市 A 接到台风警报 在该市正南方向 260km 的 B 处有一台风 中心 沿 BC 方向以 15km h 的速度向 D 移动 已知城市 A 到 BC 的距离 AD 100km 那 么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点 如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有 受到台风的破坏的危险 正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离 初二数学 张老师 优胜教育 危险 例 5 网格问题 1 如图 正方形网格中 每个小正方形的边长为 1 则网格上的三角形 ABC 中 边长 为无理数的边数是 A 0 B 1 C 2 D 3 2 如图 正方形网格中的 ABC 若小方格边长为 1 则 ABC 是 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 以上答案都不对 3 如图 小方格都是边长为 1 的正方形 则四边形 ABCD 的面积是 A 25 B 12 5 C 9 D 8 5 B C A A B D C B A 图 1 图 2 图 3 例 6 图形问题 1 如图 1 求该四边形的面积 2 2010 四川宜宾 如图 2 已知 在 ABC 中 A 45 AC AB 1 则边 2 3 BC 的长为 4 312 13 BCD A 图 1 图 2 3 某公司的大门如图所示 其中四边形 是长方形 上部是以 为直径的半圆 其中 2 3 2 现有一辆装满货物的卡车 高为 2 5 宽为 1 6 问这辆卡车能 否通过公司的大门 并说明你的理由 初二数学 张老师 优胜教育 4 太原 将一根长 24 的筷子置于地面直径为 5 高为 12 的圆柱形水杯中 设筷 子露在杯子外面的长为 h 则 h 的取值范围 中考链接 1 2010 广西钦州市 如图是一张直角三角形的纸片 两直角边 AC 6 cm BC 8 cm 现将 ABC 折叠 使点 B 与点 A 重合 折痕为 DE 则 BE 的长为 A 4 cm B 5 cm C 6 cm D 10 cm A B CD 2 2010 山东荷泽 本题满分 8 分 如图所示 在 Rt ABC 中 C 90 A 30 BD 是 ABC 的平分线 CD 5 求 AB 的长 3 如图 正方形网格中的每个小正方形边长都是 1 每个小格的顶点叫格点 以格点为顶 点分别按下列要求画三角形 使三角形的三边长分别为 3 在图甲中画一个即可 85 使三角形为钝角三角形且面积为 4 在图乙中画一个即可 初二数学 张老师 优胜教育 甲 乙 4 2010 广东湛江 下列四组线段中 可以构成直角三角形的是 A 1 2 3 B 2 3 4 C 3 4 5 D 4 5 6 5 2010 四川泸州 在 ABC 中 AB 6 AC 8 BC 10 则该三角形为 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰直角三角形 6 2010 辽宁丹东市 已知 ABC是边长为 1的等腰直角三角形 以 Rt ABC的斜边 AC为 直角边 画第二个等腰 Rt ACD 再以 Rt ACD的斜边 AD为直角边 画第三个等腰 Rt ADE 依此类推 第 n个等腰直角三角形的斜边长是 ABC D E F G 7 2010 广西南宁 如图 每个小正方形的边长为 1 的三边 的大小关系式 ABC cba A B C D bca cba a 8 2010 湖北孝感 本题满分 10 分 问题情境 勾股定理是一条古老的数学定理 它有很多种证明方法 我国汉代数学家赵爽根 据弦图 利用面积法进行证明 著名数学家华罗庚曾提出把 数形关系 勾股定理 带到其他星球 作为地球人与其他星球 人 进行第一次 谈话 的语言 定理表述 请你根据图 1 中的直角三角形叙述勾股定理 用文字及符号语言叙述 3 分 初二数学 张老师 优胜教育 尝试证明 以图 1 中的直角三角形为基础 可以构造出以 a b 为底 以 为高的直角梯形ba 如图 2 请你利用图 2 验证勾股定理 4 分 知识拓展 利用图 2 中的直角梯形 我们可以证明 其证明步骤如下 2 cba ADbaBC 又 在直角梯形 ABCD 中有 BC AD 填大小关系 即 2 cba