特殊平行四边形中的常见辅助线

特殊平行四边形中的常见辅助线 一 连结法 1 2014陕西 第9题3分 如图 在菱形ABCD中 AB 5 对角线 AC 6 若过点A作 AE BC 垂足为E 则AE 的长为 A 4 B C D 5 2 2015安徽 第9题4分 如图 矩形ABCD中 AB 8 BC 4 点E在边AB上 点F在边CD 上 点G H在对角线AC上 若四边形EGFH是菱形 则 AE的长是 A 2 B 3 C 5 D 6 3 如图 在矩形ABCD中 AB 4 AD 6 M N分别是AB CD的中点 P是AD上的点 且 PNB 3 CBN 1 求证 PNM 2 CBN 2 求线段AP的长 2015山东德州 第20题8分 如图 在平面 直角坐标系中 矩形OABC 的对角线OB AC相 交于点D 且BE AC AE OB 1 求证 四边形AEBD是菱形 2 如果OA 3 OC 2 求出经过点E的反比例函数解析式 考点 反比例函数综合题 分析 1 先证明四边形AEBD 是平行四边形 再由矩形的性质得出DA DB 即可证出四边 形AEBD是菱形 2 连接DE 交AB于F 由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分 求出 EF AF 得出点E的坐 标 设经过点E的反比例函数解析式为 y 把点E坐标代入求出k的值即可 解答 1 证明 BE AC AE OB 四边形AEBD 是平行四边形 四边形OABC是矩形 DA AC DB OB AC OB AB OC 2 DA DB 四边形AEBD 是菱形 2 解 连接DE 交AB于 F 如图所示 四边形AEBD 是菱形 AB与DE 互相垂直平分 OA 3 OC 2 EF DF OA AF AB 1 3 点 E坐标为 1 设经过点E的反比例函数解析式为 y 把点E 1 代入得 k 经过点E 的反比例函数解析式为 y 点评 本题是反比例函数综合题目 考查了平行四边形的判定 菱形的判定 矩形的性质 坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法 本题综合性强 有一定难度 特别是 2 中 需要作辅助线求出点E的坐标才能得出结果 5 2015江苏泰州 第25题12分 如图 正方形ABCD的边长为8cm E F G H分别是AB BC CD DA上的动点 且AE BF CG DH 1 求证 四边形EFGH是正方形 2 判断直线EG是否经过一个定点 并说明理由 3 求四边形EFGH面积的最小值 考点 四边形综合题 分析 1 由正方形的性质得出 A B C D 90 AB BC CD DA 证出AH BE CF DG 由SAS证明 AEH BFE CGF DHG 得出EH FE GF GH AEH BFE 证出四边形 EFGH是菱形 再证出 HEF 90 即可得出结论 2 连接AC EG 交点为 O 先证明 AOE COG 得出 OA OC 证出O 为对角线AC BD的 交点 即O为正方形的中心 3 设四边形EFGH面积为S BE xcm 则BF 8 x cm 由勾股定理得出S x 2 8 x 2 2 x 4 2 32 S是x的二次函数 容易得出四边形EFGH面积的最小值 解答 1 证明 四边形ABCD是正方形 A B C D 90 AB BC CD DA AE BF CG DH AH BE CF DG 在 AEH BFE CGF和 DHG 中 AEH BFE CGF DHG SAS EH FE GF GH AEH BFE 四边形EFGH是菱形 BEF BFE 90 BEF AEH 90 HEF 90 四边形EFGH是正方形 2 解 直线EG经过一个定点 这个定点为正方形的中心 AC BD的交点 理由如下 连接AC EG 交点为O 如图所示 四边形ABCD是正方形 AB CD OAE OCG 在 AOE 和 COG中 AOE COG AAS OA OC 即O为AC的中点 正方形的对角线互相平分 O为对角线AC BD的交点 即O为正方形的中心 3 解 设四边形EFGH面积为S 设BE xcm 则BF 8 x cm 根据勾股定理得 EF 2 BE2 BF2 x2 8 x 2 S x2 8 x 2 2 x 4 2 32 2 0 S有最小值 当x 4时 S的最小值 32 四边形EFGH面积的最小值为32cm 2 点评 本题是四边形综合题目 考查了正方形的性质与判定 菱形的判定 全等三角形的 判定与性质 勾股定理 二次函数的最值等知识 本题综合性强 有一定难度 特别是 2 3 中 需要通过作辅助线证明三角形全等和运用二次函数才能得出结果 6 12分 2015内蒙古赤峰25 12分 如图 四边形ABCD是边长为2 一个锐角等于60 的菱形 纸片 小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合 按顺时针方向旋转三角形纸片 使它的两边分别交CB BA 或它们的延长线 于点E F EDF 60 当CE AF时 如图1小芳 同学得出的结论是DE DF 1 继续旋转三角形纸片 当CE AF时 如图2小芳的结论是否成立 若成立 加以证明 若不成 立 请说明理由 2 再次旋转三角形纸片 当点E F分别在CB BA的延长线上时 如图3请直接写出DE与DF的 数量关系 3 连EF 若 DEF的面积为y CE x 求y与x的关系式 并指出当x为何值时 y有最小值 最小 值是多少 考点 几何变换综合题 分析 1 如答图1 连接BD 根据题干条件首先证明 ADF BDE 然后证明 ADF BD E ASA 得DF DE 2 如答图2 连接BD 根据题干条件首先证明 ADF BDE 然后证明 ADF BDE ASA 得DF DE 3 根据 2 中的 ADF BDE得到 S ADF S BDE AF BE 所以 DEF的面积转化为 y S B EF S ABD 据此列出y关于x的二次函数 通过求二次函数的最值来求y的最小值 解答 解 1 DF DE 理由如下 如答图1 连接BD 四边形ABCD是菱形 AD AB 又 A 60 ABD是等边三角形 AD BD ADB 60 DBE A 60 EDF 60 ADF BDE 在 ADF与 BDE中 ADF BDE ASA DF DE 2 DF DE 理由如下 如答图2 连接BD 四边形 ABCD是菱形 AD AB 又 A 60 ABD是等边三角形 AD BD ADB 60 DBE A 60 EDF 60 ADF BDE 在 ADF与 BDE中 ADF BDE ASA DF DE 3 由 2 知 ADF BDE 则S ADF S BDE AF BE x 依题意得 y S BEF S ABD 2 x xsin60 2 2sin60 x 1 2 即y x 1 2 0 该抛物线的开口方向向上 当 x 0即点E B重合时 y 最小值 点评 本题考查了几何变换综合题 解题过程中 利用了三角形全等的判定与性质 菱形 的性质以及等边三角形的判定与性质 对于促进角与角 边与边 相互转换 将未知角转化为 已知角 未知边转化为已知边 是关键 二 中心对称法 倍长法 1 2014山东临沂 第25题11分 问题情境 如图1 四边形ABCD是正方形 M是BC边上的一点 E是 CD边的中点 AE 平分 DAM 探究展示 1 证明 AM AD MC 2 AM DE BM是否成立 若成立 请给出证明 若不成立 请说明理由 拓展延伸 3 若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形 其他条件不变 如图2 探究展示 1 2 中的 结论是否成立 请分别作出判断 不需要证明 考点 四边形综合题 角平分线的定义 平行线的性质 全等三角形的判定与性质 矩形的性质 正方形的性质 专题 综合题 探究型 分析 1 从平行线和中点这两个条件出发 延长AE BC交于点N 如图1 1 易证 ADE NCE 从而有AD CN 只需证明AM NM 即可 2 作FA AE交CB的延长线于点F 易证AM FM 只需证明 FB DE即可 要证FB DE 只需证 明它们所在的两个三角形全等即可 3 在图2 1 中 仿照 1 中的证明思路即可证到AM AD MC仍然成立 在图2 2 中 采 用反证法 并仿照 2 中的证明思路即可证到AM DE BM不成立 解答 1 证明 延长AE BC交于点N 如图1 1 四边形ABCD是正方形 AD BC DAE ENC AE平分 DAM DAE MAE ENC MAE MA MN 在 ADE 和 NCE中 ADE NCE AAS AD NC MA MN NC MC AD MC 2 AM DE BM成立 证明 过点A作AF AE 交CB的延长线于点F 如图1 2 所示 四边形ABCD是正方形 BAD D ABC 90 AB AD AB DC AF AE FAE 90 FAB 90 BAE DAE 在 ABF 和 ADE中 ABF ADE ASA BF DE F AED AB DC AED BAE FAB EAD EAM AED BAE BAM EAM BAM FAB FAM F FAM AM FM AM FB BM DE BM 3 结论AM AD MC 仍然成立 证明 延长AE BC交于点P 如图2 1 四边形ABCD是矩形 AD BC DAE EPC AE平分 DAM DAE MAE EPC MAE MA MP 在 ADE 和 PCE中 ADE PCE AAS AD PC MA MP PC MC AD MC 结论 AM DE BM不成立 证明 假设AM DE BM成立 过点A作AQ AE 交CB的延长线于点Q 如图2 2 所示 四边形ABCD是矩形 BAD D ABC 90 AB DC AQ AE QAE 90 QAB 90 BAE DAE Q 90 QAB 90 DAE AED AB DC AED BAE QAB EAD EAM AED BAE BAM EAM BAM QAB QAM Q QAM AM QM AM QB BM AM DE BM QB DE 在 ABQ和 ADE中 ABQ ADE AAS AB AD 与条件 AB AD 矛盾 故假设不成立 AM DE BM不成立 2 2014黑龙江绥化 第26题9分 在菱形ABCD和正三角形BGF中 ABC 60 P是DF 的中点 连 接PG P C 1 如图1 当点G在BC边上时 易证 PG PC 如图2 当点F在AB的延长线上时 线段PC PG有怎样的数量关系 写出你的猜想 并给与证明 3 如图3 当点F在CB的延长线上时 线段PC PG又有怎样的数量关系 写出你的猜想 不必 证明 考点 四边形综合题 分析 1 延长GP交DC于点 E 利用 PED PGF 得出PE PG DE FG 得到CE CG CP 是EG的中垂线 在RT CPG 中 PCG 60 所以PG PC 2 延长GP交DA于点E 连接 EC GC 先证明 DPE FPG 再证得 CDE CBG 利用在RT CPG中 PCG 60 所以PG PC 3 延长GP到H 使PH PG 连接CH DH 作ME DC 先证 GFP HDP 再证得 HDC G BC 在在RT CPG中 PCG 60 所以PG PC 解答 1 提示 如图1 延长GP交DC于点E 利用 PED PGF 得出PE PG DE FG CE CG CP是EG的中垂线 在RT CPG 中 PCG 60 PG PC 2 如图2 延长GP交DA于点E 连接EC GC ABC 60 BGF正三角形 GF BC AD EDP GFP 在 DPE和 FPG中 DPE FPG ASA PE PG DE FG BG CDE CBG 60 CD CB 在 CDE和 CBG中 CDE CBG SAS CE CG DCE BCG ECG DCB 120 PE PG CP PG PCG ECG 60 PG PC 3 猜想 PG PC 证明 如图3 延长GP到H 使PH PG 连接CH CG DH 作ME DC P是线段DF的中点 FP DP GPF HPD GFP HDP GF HD GFP HDP GFP PFE 120 PFE PDC CDH HDP PDC 120 四边形ABCD是菱形 CD CB ADC ABC 60 点A B G又在一条直线上 GBC 120 四边形BEFG是菱形 GF GB HD GB HDC GBC CH CG DCH BCG DCH HCB BCG HCB 120 即 HCG 120 CH CG PH PG PG PC GCP HCP 60 PG PC 点评 本题主要考查了菱形的性质 以及全等三角形的判定等知识点 根据已知和所求的条件正 确的构建出相关的全等三角形是解题的关键 3 如图 在 ABCD中 点M为边AD的中点 过点C作AB的垂线交AB 于点E 连接ME 1 若AM 2AE 4 BCE 30 求 ABCD的面积 2 若BC 2AB 求证 EMD 3 MEA 解 1 M 为 AD的中点 AM 2AE 4 AD 2AM 8 在 中 BC CD 8 又 CH DE BEC 90 BCE 30 BE BC 4 AB 6 CE 2 延长EM CD交于点N 连接CM 在 中 AEM N A C D M E B N A C D M E B 三 旋转法 1 2014浙江绍兴 第23题6分 1 如图 正方形ABCD中 点E F分别在边BC CD上 EAF 4 5 延长CD 到点G 使DG BE 连结EF AG 求证 EF FG 2 如图 等腰直角三角形ABC中 BAC 90 AB AC 点M N在边BC 上 且 MAN 45 若B M 1 CN 3 求MN的长 考点 全等三角形的判定与性质 正方形的性质 专题 证明题 分析 1 证 ADG ABE FAE GAF 根据全等三角形的性质求出即可 2 过点C作CE BC 垂足为点 C 截取CE 使CE BM 连接AE EN 通过证明 ABM ACE SAS 推知全等三角形的对应边AM AE 对应角 BAM CAE 然后由等腰直角三角形的性质和 MAN 45 得到 MAN EAN 45 所以 MAN EAN SAS 故全等三角形的对应边MN EN 最后由勾股定理得到EN 2 EC2 NC2即MN 2 BM2 NC2 解答 1 证明 在正方形ABCD中 ABE ADG AD AB 在 ABE 和 ADG中 ABE ADG SAS BAE DAG AE AG EAG 90 在 FAE 和 GAF中 FAE GAF SAS EF FG 2 解 如图2 过点C作CE BC 垂足为点C 截取CE 使CE BM 连接AE EN AB AC BAC 90 B C 45 CE BC ACE B 45 在 ABM 和 ACE中 ABM ACE SAS AM AE BAM CAE BAC 90 MAN 45 BAM CAN 45 于是 由 BAM CAE 得 MAN EAN 45 在 MAN和 EAN中 MAN EAN SAS MN EN 在Rt ENC中 由勾股定理 得EN 2 EC2 NC2 MN2 BM2 NC2 BM 1 CN 3 MN2 12 32 MN 点评 本题主要考查正方形的性质 全等三角形的判定和性质 等腰直角三角形的性质以及勾股 定理的综合应用 2 2015湖北十堰 第10题3分 如图 正方形ABCD的边长为6 点E F分别在AB AD 上 若CE 3 且 ECF 45 则CF 的长为 A 2 B 3 C D 考点 全等三角形的判定与性质 勾股定理 正方形的性质 分析 首先延长FD到G 使DG BE 利用正方形的性质得 B CDF CDG 90 CB CD 利用SAS定理得 BCE DCG 利用全等三角形的性质易得 GCF ECF 利用勾股定理可得AE 3 设AF x 利用GF EF 解得 x 利用勾股定理可得CF 解答 解 如图 延长FD到G 使DG BE 连接CG EF 四边形ABCD为正方形 在 BCE 与 DCG中 BCE DCG SAS CG CE DCG BCE GCF 45 在 GCF 与 ECF中 GCF ECF SAS GF EF CE 3 CB 6 BE 3 AE 3 设AF x 则DF 6 x GF 3 6 x 9 x EF 9 x 2 9 x2 x 4 即AF 4 GF 5 DF 2 CF 2 故选A 点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质 勾股定理等 构建全等三角形 利用方程思 想是解答此题的关键 四 构造法 1 2015甘肃庆阳 第25题 10分 如图 在正方形ABCD中 点E是边BC 的中点 直线EF交正方形外角的平分线于点 F 交DC于点 G 且AE EF 1 当AB 2时 求 GEC的面积 2 求证 AE EF 考点 全等三角形的判定与性质 正方形的性质 分析 1 首先根据 ABE ECG得到AB EC BE GC 从而求得GC 即可求得S GEC 2 取AB的中点H 连接EH 根据已知及正方形的性质利用 ASA判定 AHE ECF 从而得到A E EF 解答 解 1 AB BC 2 点E为BC的中点 BE EC 1 AE EF ABE ECG AB EC BE GC 即 2 1 1 GC 解得 GC S GEC ECCG 1 2 证明 取AB的中点H 连接EH ABCD是正方形 AE EF 1 AEB 90 2 AEB 90 1 2 BH BE BHE 45 且 FCG 45 AHE ECF 135 AH CE AHE ECF AE EF 点评 此题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质 解 2 题的关键是取AB的 中点H 得出AH EC 再根据全等三角形的判定得出 AHE ECF