勾股定理知识点梳理

勾股定理知识点梳理 1 直角三角型有哪些特殊的性质 角 直角三角型的两锐角互余 边 直角三角形两直 角边的平方和等于斜边的平方 用符号表示 在 Rt ABC 中 面积 两种cba22 计算面积的方法 2 如何判定一个三角形是直角三角形呢 有一个内角为直角的三角形是直角三角形 两个内角互余的三角形是直角三角形 如果三角形的三边长为 a b c 满足 那么这个三角形是直角三角形c2 3 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别 勾股定理是直角三角形的性质定理 而其逆定理是判定定理 联系 勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反 都与直角三角形有关 4 互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设 这样的两个命题叫做互 逆命题 如果把其中一个叫做原命题 那么另一个叫做它的逆命题 5 勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数 即 中 为22abc abc 正整数时 称 为一组勾股数abc 记住常见的勾股数可以提高解题速度 如 3 45 8 15 17 9 40 41 等6 8105 237 45 6 勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多 常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后 只要没有重叠 没有空隙 面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法 列出等式 推导出勾股定理 常见方法如下 方法一 化简可证 4EFGHSS 正 方 形 正 方 形 ABCD214 abc 方法二 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 2214Sabc 大正方形面积为 22 Sabab 所以 22abc 方法三 化简得证1 Sab 梯 形 212SADEBabc 梯 形 cbaHGFED CBA bac baccabcab abccbaEDCBA 一 典型例题 类型一 勾股定理的直接用法 1 在 Rt ABC 中 C 90 1 已知 a 6 c 10 求 b 2 已知 a 40 b 9 求 c 3 已知 c 25 b 15 求 a 思路点拨 写解的过程中 一定要先写上在哪个直角三角形中 注意 勾股定理的变形使用 举一反三 变式 如图 B ACD 90 AD 13 CD 12 BC 3 则 AB 的长是多少 类型二 勾股定理的构造应用 2 如图 已知 在 中 求 BC 的长 思路点拨 由条件 想到构造含 角的直角三角形 为此作 于 D 则有 再由勾股定理计算出 AD DC 的长 进而 求出 BC 的长 举一反三 变式 1 如图 已知 于 P 求证 变式 2 已知 如图 B D 90 A 60 AB 4 CD 2 求 四边形 ABCD 的面积 类型三 勾股定理的实际应用 一 用勾股定理求两点之间的距离问题 3 如图所示 在一次夏令营活动中 小明从营地 A 点出发 沿北偏东 60 方 向走了 到达 B 点 然后再沿北偏西 30 方向走了 500m 到达目的地 C 点 1 求 A C 两点之间的距离 2 确定目的地 C 在营地 A 的什么方向 举一反三 变式 一辆装满货物的卡车 其外形高 2 5 米 宽 1 6 米 要开进厂门形状如图的某工 厂 问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 答案 由于厂门宽度是否足够卡车通过 只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否 小于 CH 如图所示 点 D 在离厂门中线 0 8 米处 且 CD 与地面交于 H 二 用勾股定理求最短问题 4 国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状 目前正在全国各地农村进行电网 改造 某地有四个村庄 A B C D 且正好位于一个正方形的四个顶点 现计划在四个村 庄联合架设一条线路 他们设计了四种架设方案 如图实线部分 请你帮助计算一下 哪 种架设方案最省电线 思路点拨 解答本题的思路是 最省电线就是线路长最短 通过利用勾股定理计算线路 长 然后进行比较 得出结论 举一反三 变式 如图 一圆柱体的底面周长为 20cm 高 为 4cm 是上底面的直径 一 只蚂蚁从点 A 出发 沿着圆柱的侧面爬行到点 C 试求出爬行的最短路程 解 如图 在 Rt 中 底面周长的一半 cm 根据勾股定理得 提问 勾股定理 AC cm 勾股定理 答 最短路程约为 cm 类型四 利用勾股定理作长为 的线段 5 作长为 的线段 思路点拨 由勾股定理得 直角边为 1 的等腰直角三角形 斜边长就等于 直角边 为 和 1 的直角三角形斜边长就是 类似地可作 举一反三 变式 在数轴上表示 的点 解析 可以把 看作是直角三角形的斜边 为了有利于画图让其他两边的长为整数 而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和 得另外两边分别是 3 和 1 作法 如图所示在数轴上找到 A 点 使 OA 3 作 AC OA 且截取 AC 1 以 OC 为半径 以 O 为圆心做弧 弧与数轴的交点 B 即为 类型五 逆命题与勾股定理逆定理 6 写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1 原命题 猫有四只脚 正确 2 原命题 对顶角相等 正确 3 原命题 线段垂直平分线上的点 到这条线段两端距离相等 正确 4 原命题 角平分线上的点 到这个角的两边距离相等 正确 思路点拨 掌握原命题与逆命题的关系 解析 1 逆命题 有四只脚的是猫 不正确 2 逆命题 相等的角是对顶角 不正确 3 逆命题 到线段两端距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 正确 4 逆命题 到角两边距离相等的点 在这个角的平分线上 正确 总结升华 本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备 7 如果 ABC 的三边分别为 a b c 且满足 a2 b2 c2 50 6a 8b 10c 判断 ABC 的形 状 总结升华 勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的 在证明中也常 要用到 举一反三 变式 1 四边形 ABCD 中 B 90 AB 3 BC 4 CD 12 AD 13 求四边形 ABCD 的面积 变式 2 已知 ABC 的三边分别为 m2 n 2 2mn m2 n2 m n 为正整数 且 m n 判断 ABC 是否为直角三角形 分析 本题是利用勾股定理的的逆定理 只要证明 a 2 b2 c2 即可 证明 所以 ABC 是直角三角形 变式 3 如图正方形 ABCD E 为 BC 中点 F 为 AB 上一点 且 BF AB 请问 FE 与 DE 是否垂直 请说明 经典例题精析 类型一 勾股定理及其逆定理的基本用法 1 若直角三角形两直角边的比是 3 4 斜边长是 20 求此直角三角形的面积 思路点拨 在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度 求面积 可以先通过比值 设未知数 再根据勾股定理列出方程 求出未知数的值进而求面积 总结升华 直角三角形边的有关计算中 常常要设未知数 然后用勾股定理列方程 组 求解 举一反三 变式 1 等边三角形的边长为 2 求它的面积 变式 2 直角三角形周长为 12cm 斜边长为 5cm 求直角三角形的面积 变式 3 若直角三角形的三边长分别是 n 1 n 2 n 3 求 n 思路点拨 首先要确定斜边 最长的边 长 n 3 然后利用勾股定理列方程求解 变式 4 以下列各组数为边长 能组成直角三角形的是 A 8 15 17 B 4 5 6 C 5 8 10 D 8 39 40 解析 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断 变式 5 四边形 ABCD 中 B 90 AB 3 BC 4 CD 12 AD 13 求四边形 ABCD 的面积 类型二 勾股定理的应用 2 如图 公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇 且 QPN 30 点 A 处有一所中学 AP 160m 假设拖拉机行驶时 周围 100m 以内会受到噪音的影响 那么 拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时 学校是否会受到噪声影响 请说明理由 如果受 影响 已知拖拉机的速度为 18km h 那么学校受影响的时间为多少秒 思路点拨 1 要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A 实质上是看 A 到公路的距离是否 小于 100m 小于 100m 则受影响 大于 100m 则不受影响 故作垂线段 AB 并计算其长度 2 要求出学校受影响的时间 实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程 因此 必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校 行至哪一点后结束影响学校 同理 拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响 那么 AD 100 m BD 60 m CD 120 m 拖拉机行驶的速度为 18km h 5m s t 120m 5m s 24s 答 拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时 学校会受到噪声影响 学校受影响的时间 为 24 秒 总结升华 勾股定理是求线段的长度的很重要的方法 若图形缺少直角条件 则可以通过作 辅助垂线的方法 构造直角三角形以便利用勾股定理 举一反三 变式 1 如图学校有一块长方形花园 有极少数人为了避开拐角而走 捷径 在花园内走出了一条 路 他们仅仅少走了 步路 假设 2 步为 1m 却踩伤 了花草 解析 他们原来走的路为 3 4 7 m 设走 捷径 的路长为 xm 则 故少走的路长为 7 5 2 m 又因为 2 步为 1m 所以他们仅仅少走了 4 步路 答案 4 变式 2 如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格 它的每一个小三角形都是边长 为 1 的正三角形 这样的三角形称为单位正三角形 1 直接写出单位正三角形的高与面积 2 图中的平行四边形 ABCD 含有多少个单位正三角形 平行四边形 ABCD 的面积是多 少 3 求出图中线段 AC 的长 可作辅助线 类型三 数学思想方法 一 转化的思想方法 我们在求三角形的边或角 或进行推理论证时 常常作垂线 构造直角三角形 将问题转 化为直角三角形问题来解决 3 如图所示 ABC 是等腰直角三角形 AB AC D 是斜边 BC 的中点 E F 分别是 AB AC 边上的点 且 DE DF 若 BE 12 CF 5 求线段 EF 的长 思路点拨 现已知 BE CF 要求 EF 但这三条线段不在同一三角形中 所以关键是线段 的转化 根据直角三角形的特征 三角形的中线有特殊的性质 不妨先连接 AD 总结升华 此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识 通过此题 我们可 以了解 当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时 应通过适当的转化把它们放 在同一直角三角形中求解 二 方程的思想方法 4 如图所示 已知 ABC 中 C 90 A 60 求 的值 思路点拨 由 再找出 的关系即可求出 和 的值 总结升华 在直角三角形中 30 的锐角的所对的直角边是斜边的一半 举一反三 变式 如图所示 折叠矩形的一边 AD 使点 D 落在 BC 边的点 F 处 已知 AB 8cm BC 10cm 求 EF 的长