八年级数学上册压轴题训练

1 八年级数学上册压轴题训练 1 问题背景 如图 1 在四边形 ABC 中 AB AD BAD 120 B ADC 90 E F 分别是 BC CD 上的点 且 EAF 60 探究图中线段 BE EF FD 之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是 延长 FD 到点 G 使 DG BE 连结 AG 先证明 ABE ADG 再证明 AEF AGF 可得出结论 他的结论应是 探索延伸 如图 2 若在四边形 ABCD 中 AB AD B D 180 E F 分别是 BC CD 上的点 且 EAF BAD 上 述结论是否仍然成立 并说明理由 实际应用 如图 3 在某次军事演习中 舰艇甲在指挥中心 O 处 北偏西 30 的 A 处 舰艇乙在指挥中心南偏东 70 的 B 处 并且两舰艇到指挥中心的距离相等 接到行动指令后 舰艇甲向正东方向以 60 海里 小时的速度前进 舰 艇乙沿北偏东 50 的方向以 80 海里 小时的速度前进 1 5 小时后 指挥中心观测到甲 乙两舰艇分别到达 E F 处 且两舰艇之间的夹角为 70 试求此时两舰艇之间的距离 2 2 问题提出 学习了三角形全等的判定方法 即 SAS ASA AAS SSS 和直角三角形全等的判定方法 即 HL 后 我们继续对 两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等 的情形进行研究 初步思考 我们不妨将问题用符号语言表示为 在 ABC 和 DEF 中 AC DF BC EF B E 然后 对 B 进行分类 可分为 B 是直角 钝角 锐角 三种情况进行探究 深入探究 第一种情况 当 B 是直角时 ABC DEF 1 如图 在 ABC 和 DEF AC DF BC EF B E 90 根 据 可以知道 Rt ABC Rt DEF 第二种情况 当 B 是钝角时 ABC DEF 2 如图 在 ABC 和 DEF AC DF BC EF B E 且 B E 都是钝角 求证 ABC DEF 第三种情况 当 B 是锐角时 ABC 和 DEF 不一定全等 3 在 ABC 和 DEF AC DF BC EF B E 且 B E 都是锐角 请你用尺规在图 中作出 DEF 使 DEF 和 ABC 不全等 不写作法 保留作图痕迹 4 B 还要满足什么条件 就可以使 ABC DEF 请直接写出结论 在 ABC 和 DEF 中 AC DF BC EF B E 且 B E 都是锐角 若 则 ABC DEF 3 3 有这样一道题 把一张顶角为 36 的等腰三角形纸片剪两刀 分成 3 张小纸片 使每张小纸片都是等腰三角形 你能办到吗 请画示意图说明剪法 我们有多少种剪法 图 1 是其中的一种方法 定义 如果两条线段将一个三角形分成 3 个等腰三角形 我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线 1 请你在图 2 中用两种不同的方法画出顶角为 45 的等腰三角形的三分线 并标注每个等腰三角形顶角的度数 若两种方法分得的三角形成 3 对全等三角形 则视为同一种 2 ABC 中 B 30 AD 和 DE 是 ABC 的三分线 点 D 在 BC 边上 点 E 在 AC 边上 且 AD BD DE CE 设 C x 试画出示意图 并求出 x 所有可能的值 4 4 如图 ABC 中 AB AC A 36 称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形 请完成以下操作 画图不要 求使用圆规 以下问题所指的等腰三角形个数均不包括 ABC 1 在图 1 中画 1 条线段 使图中有 2 个等腰三角形 并直接写出这 2 个等腰三角形的顶角度数分别是 度和 度 2 在图 2 中画 2 条线段 使图中有 4 个等腰三角形 3 继续按以上操作发现 在 ABC 中画 n 条线段 则图中有 个等腰三角形 其中有 个黄金等腰 三角形 5 5 在等腰直角三角形 ABC 中 BAC 90 AB AC 直线 MN 过点 A 且 MN BC 过点 B 为一锐角顶点作 Rt BDE BDE 90 且点 D 在直线 MN 上 不与点 A 重合 如图 1 DE 与 AC 交于点 P 易证 BD DP 无需 写证明过程 1 在图 2 中 DE 与 CA 延长线交于点 P BD DP 是否成立 如果成立 请给予证明 如果不成立 请说明理 由 2 在图 3 中 DE 与 AC 延长线交于点 P BD 与 DP 是否相等 请直接写出你的结论 无需证明 6 6 如图 已知 BAD 和 BCE 均为等腰直角三角形 BAD BCE 90 点 M 为 DE 的中点 过点 E 与 AD 平行的 直线交射线 AM 于点 N 1 当 A B C 三点在同一直线上时 如图 1 求证 M 为 AN 的中点 2 将图 1 中的 BCE 绕点 B 旋转 当 A B E 三点在同一直线上时 如图 2 求证 ACN 为等腰直角三角 形 3 将图 1 中 BCE 绕点 B 旋转到图 3 位置时 2 中的结论是否仍成立 若成立 试证明之 若不成立 请说明 理由 7 7 问题情境 张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题 如图 1 在 ABC 中 AB AC 点 P 为边 BC 上的任一点 过点 P 作 PD AB PE AC 垂足分别为 D E 过点 C 作 CF AB 垂足为 F 求证 PD PE CF 小军的证明思路是 如图 2 连接 AP 由 ABP 与 ACP 面积之和等于 ABC 的面积可以证得 PD PE CF 小俊的证明思路是 如图 2 过点 P 作 PG CF 垂足为 G 可以证得 PD GF PE CG 则 PD PE CF 变式探究 如图 3 当点 P 在 BC 延长线上时 其余条件不变 求证 PD PE CF 8 8 在图 1 图 2 图 3 图 4 中 点 P 在线段 BC 上移动 不与 B C 重合 M 在 BC 的延长线上 1 如图 1 ABC 和 APE 均为正三角形 连接 CE 求证 ABP ACE ECM 的度数为 2 如图 2 若四边形 ABCD 和四边形 APEF 均为正方形 连接 CE 则 ECM 的度数为 如图 3 若五边形 ABCDF 和五边形 APEGH 均为正五边形 连接 CE 则 ECM 的度数为 3 如图 4 n 边形 ABC 和 n 边形 APE 均为正 n 边形 连接 CE 请你探索并猜想 ECM 的度数与正多边形 边数 n 的数量关系 用含 n 的式子表示 ECM 的度数 并利用图 4 放大后的局部图形 证明你的结论 9 9 如图 在 ABC 中 点 D 为边 BC 的中点 过点 A 作射线 AE 过点 C 作 CF AE 于点 F 过点 B 作 BG AE 于点 G 连接 FD 并延长 交 BG 于点 H 1 求证 DF DH 2 若 CFD 120 求证 DHG 为等边三角形 10 10 已知两等边 ABC DEC 有公共的顶点 C 1 如图 当 D 在 AC 上 E 在 BC 上时 AD 与 BE 之间的数量关系为 2 如图 当 B C D 共线时 连接 AD BE 交于 M 连接 CM 线段 BM 与线段 AM CM 之间有何数量关系 试说明理由 3 如图 当 B C D 不共线时 线段 BM 与线段 AM CM 之间的数量关系是 不要求证明 11 3 在 ABC 中 ACB 为 锐 角 动 点 D 异 于 点 B 在 射 线 BC 上 连 接 AD 以 AD 为 边 在 AD 的 右 侧 作 正 方 形 ADEF 连 接 CF 1 若 AB AC BAC 90 那 么 如 图 一 当 点 D 在 线 段 BC 上 时 线 段 CF 与 BD 之 间 的 位 置 大 小 关 系 是 直接写出结论 图 二 当 点 D 在 线 段 BC 的 延 长 上 时 中 的 结 论 是 否 仍 然 成 立 请 说 明 理 由 2 若 AB AC BAC 90 点 D 在 线 段 BC 上 那 么 当 ACB 等 于 多 少 度 时 线 段 CF 与 BD 之 间 的 位 置 关 系 仍 然 成 立 请 画 出 相 应 图 形 并 说 明 理 由 12 4 如图 1 等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形 ABCD 的顶点 A 重合 将此三角板绕点 A 旋转 使三角板 中该锐角的两条边分别交正方形的两边 BC DC 于点 E F 连接 EF 1 猜想 BE EF DF 三条线段之间的数量关系 并证明你的猜想 2 在图 1 中 过点 A 作 AM EF 于点 M 请直接写出 AM 和 AB 的数量关系 3 如图 2 将 Rt ABC 沿斜边 AC 翻折得到 Rt ADC E F 分别是 BC CD 边上的点 EAF 1 2 BAD 连接 EF 过点 A 作 AM EF 于点 M 试猜想 AM 与 AB 之间的数量关系 并证明你的猜想 13 答案 1 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 等 边 三 角 形 的 判 定 分 析 1 首 先 证 明 1 2 再 证 明 DCF DBH 即 可 得 到 DF DH 2 首 先 根 据 角 的 和 差 关 系 可 以 计 算 出 GFH 30 再 由 BGM 90 可 得 GHD 60 再 根 据 直 角 三 角 形 的 性 质 可 得 HG HF 进 而 得 到 结 论 解 答 证 明 1 CF AE BG AE BGF CFG 90 1 GMB 2 CME GMB CME 1 2 点 D 为 边 BC 的 中 点 DB CD 在 BHD 和 CED 中 1 2 DB CD 3 4 BHD CED ASA DF DH 2 CFD 120 CFG 90 GFH 30 BGM 90 GHD 60 HGF 是 直 角 三 角 形 HD DF HG HF DH21 DHG 为 等 边 三 角 形 点 评 此 题 主 要 考 查 了 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 以 及 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 关 键 是 掌 握 全 等 三 角 形 的 判 定 定 理 2 解 1 AD BE 2 BM AM CM 理由 在 BM 上截取 BM AM 连接 CM ABC CED 均为等边三角形 BC AC CE CD ACB ECD 60 ACB ACE ECD ACE 即 BCE ACD 在 BCE 和 ACD 中 AC BC BCE ACD CE CD BCE ACD SAS 14 1 2 在 BM C 和 AMC 中 BM AM 1 2 BC AC BM C AMC SAS 3 4 CM CM ACB 3 5 60 4 5 60 即 MM C 60 MM C 为等边三角形 CM MM BM B M M M AM CM 3 BM AM CM 15 4 16