二次函数讲义

人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 1 51 第二十二章 二次函数 22 1 二次函数的图象和性质 22 1 1 二次函数 1 设一个正方形的边长为 x 则该正方形的面积 y 其中变量是 是 的函数 2 一般地 形如 y ax 2 bx c 的函数 叫做二次函数 其中 x 是 自变量 a b c 分别为二次项系数 一次项系数 常数项 知识点 1 二次函数的定义 1 下列函数是二次函数的是 A y 2x 1 B y 2x 1 C y x 2 2 D y 0 5x 2 2 下列说法中 正确的是 A 二次函数中 自变量的取值范围是非零实数 B 在圆的面积公式 S r2中 S 是 r 的二次函数 C y x 1 x 4 不是二次函数 12 D 在 y 1 x2中 一次项系数为 12 3 若 y a 3 x 2 3x 2 是二次函数 则 a 的取值范围是 4 已知二次函数 y 1 3x 2x 2 则二次项系数 a 一次项系数 b 常数 项 c 5 已知两个变量 x y 之间的关系式为 y a 2 x 2 b 2 x 3 1 当 时 x y 之间是二次函数关系 2 当 时 x y 之间是一次函数关系 6 已知两个变量 x y 之间的关系为 y m 2 x m2 2 x 1 若 x y 之间是二次函数关 系 求 m 的值 知识点 2 实际问题中的二次函数的解析式 7 某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品 该商品可以自行定价 若每件商品 售价为 x 元 则可卖出 350 10 x 件商品 那么商品所赚钱数 y 元与售价 x 元的函数 关系式为 A y 10 x 2 560 x 7350 B y 10 x 2 560 x 7350 C y 10 x2 350 x 7350 D y 10 x 2 350 x 7350 8 某车的刹车距离 y m 与开始刹车时的速度 x m s 之间满足二次函数 y x2 x 0 若 120 该车某次的刹车距离为 5 m 则开始刹车时的速度为 A 40 m s B 20 m s C 10 m s D 5 m s 9 某厂今年一月份新产品的研发资金为 a 元 以后每月新产品的研发资金与上月相比增 长率都是 x 则该厂今年三月份新产品的研发资金 y 元 关于 x 的函数关系式为 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 2 51 y 10 多边形的对角线条数 d 与边数 n 之间的关系式为 自变量 n 的取值范 围是 当 d 35 时 多边形的边数 n 11 如图 有一个长为 24 米的篱笆 一面利用墙 墙的最大长度 a 为 10 米 围成的中间隔 有一道篱笆的长方形花圃 设花圃的宽 AB 为 x 米 面积为 S 平方米 1 求 S 与 x 的函数关系式 2 如果要围成面积为 45 平方米的花圃 AB 的长为多少米 12 已知二次函数 y x2 2x 2 当 x 2 时 y 当 x 时 函数值 为 1 13 边长为 4 m 的正方形中间挖去一个边长为 x m x 4 的小正方形 剩余的四方框的面 积为 y m2 则 y 与 x 之间的函数关系式为 它是 函 数 14 设 y y 1 y 2 y 1与 x 成正比例 y 2与 x2成正比例 则 y 与 x 的函数关系是 A 正比例函数 B 一次函数 C 二次函数 D 以上都不正确 15 某种正方形合金板材的成本 y 元 与它的面积成正比 设边长为 x 厘米 当 x 3 时 y 18 那么当成本为 72 元时 边长为 A 6 厘米 B 12 厘米 C 24 厘米 D 36 厘米 16 某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形 抽屉底面周长为 180 cm 高为 20 cm 设底面的宽为 x 抽屉的体积为 y 时 求 y 与 x 之间的函数关系 式 材质及其厚度等暂忽略不计 17 某商店经营一种小商品 进价为 2 5 元 据市场调查 销售单价是 13 5 元时 平均 每天销售量是 500 件 而销售单价每降低 1 元 平均每天就可以多售出 100 件 假 定每件商品降价 x 元 商店每天销售这种小商品的利润是 y 元 请写出 y 与 x 之间 的函数关系式 并注明 x 的取值范围 18 一块矩形的草坪 长为 8 m 宽为 6 m 若将长和宽都增加 x m 设增加的面积为 y m2 1 求 y 与 x 的函数关系式 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 3 51 2 若使草坪的面积增加 32 m2 求长和宽都增加多少米 22 1 2 二次函数 y ax 2的图象和性质 1 由解析式画函数图象的步骤是 2 一次函数 y kx b k 0 的图象是 3 二次函数 y ax 2 a 0 的图象是一条 其对称轴为 轴 顶点坐标为 4 抛物线 y ax 2与 y ax 2关于 轴对称 抛物线 y ax 2 当 a 0 时 开口向 顶点是它的最 点 当 a 0 时 开口向 顶点是它的最 点 随着 a 的增大 开口越来越 知识点 1 二次函数 y ax 2的图象及表达式的确定 1 已知二次函数 y x 2 则其图象经过下列点中的 A 2 4 B 2 4 C 2 4 D 4 2 2 某同学在画某二次函数 y ax 2的图象时 列出了如下的表格 x 3 2 5 1 0 1 2 5 3 y 36 4 0 25 1 根据表格可知这个二次函数的关系式是 2 将表格中的空格补全 3 已知二次函数 y ax 2的图象经过点 A 1 13 1 求这个二次函数的解析式并画出其图象 2 请说出这个二次函数的顶点坐标 对称轴 知识点 2 二次函数 y ax 2的图象和性质 4 对于函数 y 4x 2 下列说法正确的是 A 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 B 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 C y 随 x 的增大而减小 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 4 51 D y 随 x 的增大而增大 5 已知点 1 y 1 2 y 2 3 y 3 都在函数 y x 2的图象上 则 A y 1 y 2 y 3 B y 1 y 3 y 2 C y 3 y2 y 1 D y 2 y 1 y 3 6 已知二次函数 y m 2 x 2的图象开口向下 则 m 的取值范围是 7 二次函数 y x2的图象是一条开口向 的抛物线 对称轴是 顶点 12 坐标是 当 x 时 y 随 x 的增大而减小 当 x 0 时 函数 y 有 填 最大 或 最小 值是 8 如图是一个二次函数的图象 则它的解析式为 当 x 时 函数图象 的最低点为 9 已知二次函数 y mxm 2 2 1 求 m 的值 2 当 m 为何值时 二次函数有最小值 求出这个最小值 并指出 x 取何值时 y 随 x 的增大而减小 3 当 m 为何值时 二次函数的图象有最高点 求出这个最高点 并指出 x 取何值时 y 随 x 的增大而增大 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 5 51 10 二次函数 y x2和 y 5x 2 以下说法 它们的图象都是开口向上 它们的对称 15 轴都是 y 轴 顶点坐标都是原点 0 0 当 x 0 时 它们的函数值 y 都是随着 x 的增大而增大 它们开口的大小是一样的 其中正确的说法有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 11 已知 a 0 同一坐标系中 函数 y ax 与 y ax 2的图象有可能是 12 如图是下列二次函数的图象 y ax 2 y bx 2 y cx 2 y dx 2 比较 a b c d 的大小 用 连接为 第 12 题图 第 14 题图 13 当 a 时 抛物线 y ax 2与抛物线 y 4x 2关于 x 轴对称 抛物线 y 7x 2关于 x 轴对称所得抛物线的解析式为 当 a 时 抛物 线 y ax 2与抛物线 y 2x 2的形状相同 14 已知二次函数 y 2x 2的图象如图所示 将 x 轴沿 y 轴向上平移 2 个单位长度后与抛 物线交于 A B 两点 则 AOB 的面积为 15 已知正方形的周长为 C cm 面积为 S cm2 1 求 S 与 C 之间的函数关系式 2 画出所示函数的图象 3 根据函数图象 求出 S 1 cm 2时正方形的周长 4 根据列表或图象的性质 求出 C 取何值时 S 4 cm 2 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 6 51 16 二次函数 y ax 2与直线 y 2x 1 的图象交于点 P 1 m 1 求 a m 的值 2 写出二次函数的表达式 并指出 x 取何值时 y 随 x 的增大而增大 3 指出抛物线的顶点坐标和对称轴 17 如图 抛物线 y x 2与直线 y 2x 在第一象限内有一个交点 A 1 你能求出 A 点坐标吗 2 在 x 轴上是否存在一点 P 使 AOP 为等腰三角形 若存在 请你求出点 P 的坐 标 若不存在 请说明理由 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 7 51 22 1 3 二次函数 y a x h 2 k的图象和性质 22 1 3 1 二次函数 y ax 2 k 的图象和性质 1 二次函数 y ax 2 k 的图象是一条 它与抛物线 y ax 2的 相同 只是 不同 它的对称轴为 轴 顶点坐标为 2 二次函数 y ax 2 k 的图象可由抛物线 y ax 2 得到 当 k 0 时 抛物线 y ax 2向上平移 个单位得 y ax 2 k 当 k 0 时 抛物线 y ax 2向 平移 k 个单位得 y ax 2 k 知识点 1 二次函数 y ax 2 k 的图象和性质 1 抛物线 y 2x 2 2 的对称轴是 顶点坐标是 它与抛物线 y 2x 2的形状 2 抛物线 y 3x 2 2 的开口向 对称轴是 顶点坐标是 3 若点 x 1 y 1 和 x 2 y 2 在二次函数 y x2 1 的图象上 且 x1 x 2 0 则 y1与 y2的 12 大小关系为 4 对于二次函数 y x 2 1 当 x 时 y 最 当 x 时 y 随 x 的增大而减小 当 x 时 y 随 x 的增大而增大 5 已知二次函数 y x 2 4 1 当 x 为何值时 y 随 x 的增大而减小 2 当 x 为何值时 y 随 x 的增大而增大 3 当 x 为何值时 y 有最大值 最大值是多少 4 求图象与 x 轴 y 轴的交点坐标 知识点 2 二次函数 y ax 2 k 与 y ax 2之间的平移 6 将二次函数 y x 2的图象向上平移 1 个单位 则平移后的抛物线的解析式是 7 抛物线 y ax 2 c 向下平移 2 个单位得到抛物线 y 3x 2 2 则 a c 8 在同一个直角坐标系中作出 y x2 y x2 1 的图象 12 12 1 分别指出它们的开口方向 对称轴以及顶点坐标 2 抛物线 y x2 1 与抛物线 y x2有什么关系 12 12 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 8 51 知识点 3 抛物线 y ax 2 k 的应用 9 如图 小敏在某次投篮中 球的运动路线是抛物线 y x2 3 5 的一部分 若命中 15 篮圈中心 则她与篮底的距离 l 是 B A 3 5 m B 4 m C 4 5 m D 4 6 m 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 9 51 10 如果抛物线 y x 2 2 向下平移 1 个单位 那么所得新抛物线的解析式是 A y x 1 2 2 B y x 1 2 2 C y x 2 1 D y x 2 3 11 已知 y ax 2 k 的图象上有三点 A 3 y 1 B 1 y 2 C 2 y 3 且 y2 y 3 y 1 则 a 的取值范围是 A a 0 B a 0 C a 0 D a 0 12 已知抛物线 y x 2 2 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于 C 点 则 ABC 的面积为 13 若抛物线 y ax 2 c 与抛物线 y 4x 2 3 关于 x 轴对称 则 a c 14 如图 在平面直角坐标系中 抛物线 y ax 2 3 与 y 轴交于 A 过点 A 作与 x 轴平行的 直线交抛物线 y x2于点 B C 则 BC 的长度为 13 15 直接写出符合下列条件的抛物线 y ax 2 1 的函数关系式 1 经过点 3 2 2 与 y x2的开口大小相同 方向相反 12 3 当 x 的值由 0 增加到 2 时 函数值减少 4 16 把 y x2的图象向上平移 2 个单位 12 1 求新图象的解析式 顶点坐标和对称轴 2 画出平移后的函数图象 3 求平移后的函数的最大值或最小值 并求对应的 x 的值 17 已知抛物线的对称轴是 y 轴 顶点坐标是 0 2 且经过 1 3 求此抛物线的解析式 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 10 51 18 若二次函数 y ax 2 c 当 x 取 x1 x 2 x1 x 2 时 函数值相等 则当 x 取 x1 x 2时 函 数值为 A a c B a c C c D c 19 廊桥是我国古老的文化遗产 如图所示是一座抛物线形廊桥的示意图 已知抛物线对应 的函数关系式为 y x2 10 为保护廊桥的安全 在该抛物线上距水面 AB 高为 8 米 140 的点 E F 处要安装两盏警示灯 求这两盏灯的水平距离 2 24 结果精确到 1 米 5 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 11 51 22 1 3 2 二次函数 y a x h 2的图象和性质 1 二次函数 y a x h 2的图象是 它与抛物线 y ax 2的 相同 只是 不 同 它的对称轴为直线 顶点坐标为 2 二次函数 y a x h 2的图象可由抛物线 y ax 2 得到 当 h 0 时 抛物线 y ax 向 平移 h 个单位得 y a x h 2 当 h 0 时 抛物线 y ax 2向 平移 h 个单位得 y a x h 2 知识点 1 二次函数 y a x h 2的图象 1 将抛物线 y x 2向左平移 2 个单位后 得到的抛物线的解析式是 A y x 2 2 B y x 2 2 C y x 2 2 D y x 2 2 2 抛物线 y 3 x 1 2不经过的象限是 A 第一 二象限 B 第二 四象限 C 第三 四象限 D 第二 三象限 3 已知二次函数 y a x h 2的图象是由抛物线 y 2x 2向左平移 3 个单位长度得到的 则 a h 4 在同一平面直角坐标系中 画出函数 y x 2 y x 2 2 y x 2 2的图象 并写出 对称轴及顶点坐标 知识点 2 二次函数 y a x h 2的性质 5 二次函数 y 15 x 1 2的最小值是 A 1 B 1 C 0 D 没有最小值 6 如果二次函数 y a x 3 2有最大值 那么 a 0 当 x 时 函数的最大值是 7 对于抛物线 y x 5 2 开口方向 顶点坐标为 对称轴为 13 8 二次函数 y 5 x m 2中 当 x 5 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 5 时 y 随 x 的增大而减小 则 m 此时 二次函数的图象的顶点坐标为 当 x 时 y 取最 值 为 9 已知 A 4 y 1 B 3 y 2 C 3 y 3 三点都在二次函数 y 2 x 2 2的图象上 则 y1 y 2 y 3的大小关系为 10 已知抛物线 y a x h 2 当 x 2 时 有最大值 此抛物线过点 1 3 求抛物线 的解析式 并指出当 x 为何值时 y 随 x 的增大而减小 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 12 51 11 顶点为 6 0 开口向下 形状与函数 y x2的图象相同的抛物线的解析式是 12 A y x 6 2 B y x 6 2 C y x 6 2 D y x 6 2 12 12 12 12 12 平行于 x 轴的直线与 y a x 2 2的一个交点坐标为 1 2 则另一个交点坐标为 A 1 2 B 1 2 C 5 2 D 1 4 13 在同一直角坐标系中 一次函数 y ax c 和二次函数 y a x c 2的图象大致为 14 已知二次函数 y 3 x a 2的图象上 当 x 2 时 y 随 x 的增大而增大 则 a 的取值 范围是 15 已知一条抛物线与抛物线 y x2 3 形状相同 开口方向相反 顶点坐标是 12 5 0 则该抛物线的解析式是 16 已知抛物线 y a x h 2的对称轴为 x 2 且过点 1 3 1 求抛物线的解析式 2 画出函数的图象 3 从图象上观察 当 x 取何值时 y 随 x 的增大而增大 当 x 取何值时 函数有最 大值 或最小值 17 已知一条抛物线的开口方向和形状大小与抛物线 y 8x 2都相同 并且它的顶点在 抛物线 y 2 x 2的顶点上 32 1 求这条抛物线的解析式 2 求将 1 中的抛物线向左平移 5 个单位后得到的抛物线的解析式 3 将 2 中所求抛物线关于 x 轴对称 求所得抛物线的解析式 18 如图 在 Rt OAB 中 OAB 90 O 为坐标原点 边 OA 在 x 轴上 OA AB 1 个单位长度 把 Rt OAB 沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度后得 AA1B1 1 求以 A 为顶点 且经过点 B1的抛物线的解析式 2 若 1 中的抛物线与 OB 交于点 C 与 y 轴交于点 D 求点 D C 的坐标 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 13 51 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 14 51 22 1 3 3 二次函数 y a x h 2 k 的图象和性质 1 抛物线 y a x h 2 k 与 y ax 2形状 位置 把抛物线 y ax 2向上 下 和 向左 右 平移 可以得到抛物线 y a x h 2 k 平移的方向 距离要根据 的值来决定 2 抛物线 y a x h 2 k 有如下特点 当 a 0 时 开口向 当 a 0 时 开 口向 对称轴是直线 顶点坐标是 知识点 1 二次函数 y a x h 2 k 的图象 1 抛物线 y x 1 2 3 的对称轴是 A y 轴 B 直线 x 1 C 直线 x 1 D 直线 x 3 2 抛物线 y x 2 2 1 的顶点坐标是 A 2 1 B 2 1 C 2 1 D 2 1 3 把抛物线 y 2x 2先向右平移 1 个单位长度 再向上平移 2 个单位长度后 所得函数 的表达式为 A y 2 x 1 2 2 B y 2 x 1 2 2 C y 2 x 1 2 2 D y 2 x 1 2 2 4 写出下列抛物线的开口方向 对称轴及顶点坐标 1 y 3 x 1 2 2 2 y x 1 2 5 13 知识点 2 二次函数 y a x h 2 k 的性质 5 在函数 y x 1 2 3 中 y 随 x 的增大而减小 则 x 的取值范围为 A x 1 B x 3 C x 1 D x 3 6 如图 在平面直角坐标系中 抛物线的解析式为 y 2 x h 2 k 则下列结论正确 的是 A h 0 k 0 B h 0 k 0 C h 0 k 0 D h 0 k 0 第 6 题图 第 9 题图 7 一小球被抛出后 距离地面的高度 h 米 和飞行时间 t 秒 满足函数关系式 h 5 t 1 2 6 则小球距离地面的最大高度是 A 1 米 B 5 米 C 6 米 D 7 米 8 用长度一定的绳子围成一个矩形 如果矩形的一边长 x m 与面积 y m2 满足函数关系 式 y x 12 2 144 0 x 24 则该矩形面积的最大值为 9 如图是二次函数 y a x 1 2 2 图象的一部分 该图象在 y 轴右侧与 x 轴交点的坐标 是 10 已知抛物线 y a x 3 2 2 经过点 1 2 1 求 a 的值 2 若点 A m y 1 B n y 2 m n 3 都在该抛物线上 试比较 y1与 y2的大小 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 15 51 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 16 51 11 将抛物线 y 2x 2 1 向右平移 1 个单位 再向上平移 2 个单位后所得到的抛物线为 A y 2 x 1 2 1 B y 2 x 1 2 3 C y 2 x 1 2 1 D y 2 x 1 2 3 12 已知二次函数 y 3 x 2 2 1 下列说法 其图象的开口向下 其图象的对称轴为直 线 x 2 其图象顶点坐标为 2 1 当 x 2 时 y 随 x 的增大而减小 则其中 说法正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 13 二次函数 y a x m 2 n 的图象如图 则一次函数 y mx n 的图象经过 A 第一 二 三象限 B 第一 二 四象限 C 第二 三 四象限 D 第一 三 四象限 14 设 A 2 y1 B 1 y 2 C 2 y 3 是抛物线 y x 1 2 a 上三点 则 y1 y 2 y 3的 大小关系为 A y 1 y 2 y 3 B y 1 y 3 y 2 C y 3 y 2 y 1 D y 3 y 1 y 2 15 二次函数 y a x k 2 k 无论 k 为何实数 其图象的顶点都在 A 直线 y x 上 B 直线 y x 上 C x 轴上 D y 轴上 16 把二次函数 y a x h 2 k 的图象先向左平移 2 个单位 再向上平移 4 个单位 得到二 次函数 y x 1 2 1 的图象 12 1 试确定 a h k 的值 2 指出二次函数 y a x h 2 k 的开口方向 对称轴和顶点坐标 17 某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉 其中一支高度为 1 米的喷水管喷出的 抛物线水柱最大高度为 3 米 此时距喷水管的水平距离为 米 求在如图所示的平面直角 12 坐标系中抛物线水柱的解析式 不要求写出自变量的取值范围 18 已知抛物线 y x m 2 1 与 x 轴的交点为 A B B 在 A 的右边 与 y 轴的交点为 C 1 写出 m 1 时与抛物线有关的三个正确结论 2 当点 B 在原点的右边 点 C 在原点的下方时 是否存在 BOC 为等腰三角形的情形 若存在 求出 m 的值 若不存在 请说明理由 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 17 51 22 1 4 二次函数 y ax 2 bx c 的图象和性质 22 1 4 1 二次函数 y ax 2 bx c 的图象和性质 1 二次函数 y ax 2 bx c a 0 通过配方可化为 y a x 2 的形式 它的对 b2a 4ac b24a 称轴是 顶点坐标是 如果 a 0 当 x 时 y 随 x 的增大而 b2a 当 x 时 y 随 x 的增大而 如果 a 0 当 x 时 y 随 x b2a b2a 的增大而 当 x 时 y 随 x 的增大而 b2a 2 二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图象与 y ax 2的图象 只是 不同 y ax 2 bx c a 0 的图象可以看成是 y ax 2的图象平移得到的 对于抛物线的平移 要先化成顶点式 再利用 的规则来平移 知识点 1 二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图象和性质 1 已知抛物线 y ax 2 bx c 的开口向下 顶点坐标为 2 3 那么该二次函数有 A 最小值 3 B 最大值 3 C 最小值 2 D 最大值 2 2 将二次函数 y x 2 2x 3 化为 y x h 2 k 的形式 结果为 A y x 1 2 4 B y x 1 2 2 C y x 1 2 4 D y x 1 2 2 3 若抛物线 y x 2 2x c 与 y 轴的交点为 0 3 则下列说法不正确的是 A 抛物线开口向上 B 抛物线的对称轴是 x 1 C 当 x 1 时 y 的最大值为 4 D 抛物线与 x 轴的交点为 1 0 3 0 4 抛物线 y x 2 4x 5 的顶点坐标是 5 已知二次函数 y 2x 2 8x 6 当 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 时 y 有最 值是 知识点 2 二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图象的变换 6 抛物线 y x 2 2x 2 经过平移得到 y x 2 平移方法是 A 向右平移 1 个单位 再向下平移 1 个单位 B 向右平移 1 个单位 再向上平移 1 个单位 C 向左平移 1 个单位 再向下平移 1 个单位 D 向左平移 1 个单位 再向上平移 1 个单位 7 把抛物线 y x 2 bx c 的图象向右平移 3 个单位 再向下平移 2 个单位 所得图象的 解析式为 y x 2 3x 5 则 A b 3 c 7 B b 6 c 3 C b 9 c 5 D b 9 c 21 8 如图 抛物线 y ax 2 5ax 4a 与 x 轴相交于点 A B 且过点 C 5 4 1 求 a 的值和该抛物线顶点 P 的坐标 2 请你设计一种平移的方法 使平移后抛物线的顶点落在第二象限 并写出平移后抛 物线的解析式 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 18 51 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 19 51 9 已知抛物线 y ax 2 bx c a 0 与 x 轴交于 A B 两点 若点 A 的坐标为 2 0 抛物 线的对称轴为直线 x 2 则线段 AB 的长为 10 二次函数 y 2x 2 mx 8 的图象如图所示 则 m 的值是 A 8 B 8 C 8 D 6 第 10 题图 第 12 题图 11 已知二次函数 y x2 7x 若自变量 x 分别取 x1 x 2 x 3 且 0 x 1 x 2 x 3 则对 12 152 应的函数值 y1 y 2 y 3的大小关系正确的是 A y 1 y 2 y 3 B y 1 y 2 y 3 C y 2 y 3 y 1 D y 2 y 3 y 1 12 已知二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图象如图 当 5 x 0 时 下列说法正确的是 A 有最小值 5 最大值 0 B 有最小值 3 最大值 6 C 有最小值 0 最大值 6 D 有最小值 2 最大值 6 13 如图 抛物线 y ax 2 bx 和直线 y ax b 在同一坐标系内的图象正确的是 14 已知二次函数 y x 2 2kx k 2 k 2 1 当实数 k 为何值时 图象经过原点 2 当实数 k 在何范围取值时 函数图象的顶点在第四象限内 15 当 k 分别取 1 1 2 时 函数 y k 1 x 2 4x 5 k 都有最大值吗 请写出你的判断 并说明理由 若有 请求出最大值 16 已知二次函数 y x 2 2mx m 2 1 1 当二次函数的图象经过坐标原点 O 0 0 时 求二次函数的解析式 2 如图 当 m 2 时 该抛物线与 y 轴交于点 C 顶点为 D 求 C D 两点的坐标 3 在 2 的条件下 x 轴上是否存在一点 P 使得 PC PD 最短 若 P 点存在 求出 P 点 坐标 若 P 点不存在 请说明理由 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 20 51 22 1 4 2 用待定系数法求二次函数的解析式 用待定系数法求二次函数的解析式的几种常见的形式 1 三点式 已知图象上的三个点的坐标 可设二次函数的解析式为 2 顶点式 已知抛物线的顶点坐标 h k 及图象上的一个点的坐标 可设二次函数的解 析式为 以下有三种特殊情况 当已知抛物线的顶点在原点时 我们可设抛物线的解析式为 当已知抛物线的顶点在 y 轴上或以 y 轴为对称轴 但顶点不一定是原点时 可设抛 物线的解析式为 当已知抛物线的顶点在 x 轴上 可设抛物线的解析式为 其中 h 0 为抛物线与 x 轴的交点坐标 3 交点式 已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标 x 1 0 x2 0 及图象上任意一点的坐标 可设抛物线的解析式为 知识点 1 利用 三点式 求二次函数的解析式 1 由表格中信息可知 若设 y ax 2 bx c 则下列 y 与 x 之间的函数关系式正确的是 x 1 0 1 ax2 1 ax2 bx c 8 3 A y x 2 4x 3 B y x 2 3x 4 C y x2 3x 3 D y x 2 4x 8 2 已知二次函数 y ax 2 bx c 的图象经过点 1 0 0 2 1 2 则这个二 次函数的解析式为 3 已知二次函数 y ax 2 bx c 当 x 0 时 y 1 当 x 1 时 y 6 当 x 1 时 y 0 求这个二次函数的解析式 知识点 2 利用 顶点式 求二次函数的解析式 4 已知某二次函数的图象如图所示 则这个二次函数的解析式为 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 21 51 A y 2 x 1 2 8 B y 18 x 1 2 8 C y x 1 2 8 D y 2 x 1 2 8 29 5 已知抛物线的顶点坐标为 4 1 与 y 轴交于点 0 3 求这条抛物线的解析式 知识点 3 利用 交点式 求二次函数的解析式 6 如图 抛物线的函数表达式是 A y x2 x 4 B y x2 x 4 12 12 C y x2 x 4 D y x2 x 4 12 12 7 已知一个二次函数的图象与 x 轴的两个交点的坐标分别为 1 0 和 2 0 与 y 轴 的交点坐标为 0 2 求这个二次函数的解析式 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 22 51 8 抛物线的图象如图所示 根据图象可知 抛物线的解析式可能是 A y x 2 x 2 B y x2 x 2 12 12 C y x2 x 1 D y x 2 x 2 12 12 9 二次函数 y x 2 bx c 的图象的最高点是 1 3 则 b c 的值分别是 A b 2 c 4 B b 2 c 4 C b 2 c 4 D b 2 c 4 10 抛物线 y ax 2 bx c 上部分点的横坐标 x 纵坐标 y 的对应值如下表 x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 从上表可知 下列说法中正确的是 填序号 抛物线与 x 轴的一个交点为 3 0 函数 y ax 2 bx c 的最大值为 6 抛物线的对称轴是 x 0 5 在对称轴左侧 y 随 x 增大而增大 11 已知抛物线 y ax 2 bx c a 0 的对称轴为 x 1 且抛物线经过 A 1 0 B 0 3 两点 则这条抛物线的解析式为 12 将二次函数 y x 1 2 2 的图象沿 x 轴对折后得到的图象的解析式为 13 设抛物线 y ax 2 bx c a 0 过 A 0 2 B 4 3 C 三点 其中点 C 在直线 x 2 上 且点 C 到抛物线对称轴的距离等于 1 则抛物线的函数解析式为 14 已知二次函数的图象的对称轴为 x 1 函数的最大值为 6 且图象经过点 2 8 求此二次函数的表达式 15 已知二次函数的图象经过点 0 3 3 0 2 5 且与 x 轴交于 A B 两 点 1 试确定此二次函数的解析式 2 判断点 P 2 3 是否在这个二次函数的图象上 如果在 请求出 PAB 的面积 如 果不在 试说明理由 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 23 51 16 若两个二次函数图象的顶点 开口方向都相同 则称这两个二次函数为 同簇二次 函数 1 请写出两个为 同簇二次函数 的函数 2 已知关于 x 的二次函数 y1 2x 2 4mx 2m 2 1 和 y2 ax 2 bx 5 其中 y1的图 象经过点 A 1 1 若 y1 y2与 y1为 同簇二次函数 求函数 y2的解析式 并 求出当 0 x 3 时 y 2的最大值 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 24 51 专题训练 三 用待定系数法求二次函数解析式 一 已知三点求解析式 1 已知二次函数的图象经过 1 0 2 0 和 0 2 三点 则该函数的解析式是 A y 2x 2 x 2 B y x 2 3x 2 C y x 2 2x 3 D y x 2 3x 2 2 如图 二次函数 y ax 2 bx c 的图象经过 A B C 三点 求出抛物线的解析式 二 已知顶点或对称轴求解析式 3 在直角坐标平面内 二次函数的图象顶点为 A 1 4 且过点 B 3 0 求该二次函 数的解析式 4 已知抛物线经过两点 A 1 0 B 0 3 且对称轴是直线 x 2 求其解析式 三 已知抛物线与 x 轴的交点求解析式 5 已知抛物线与 x 轴的交点是 A 2 0 B 1 0 且经过点 C 2 8 则该抛物线的 解析式为 6 如图 抛物线 y x 2 bx c 与 x 轴的两个交点分别为 A 1 0 B 3 0 求这条抛 物线的解析式 四 已知几何图形求解析式 7 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 边长为 2 的正方形 OABC 的顶点 A C 分别在 x 轴 y 轴的正半轴上 二次函数 y x2 bx c 的图象经过 B C 两点 求该二次 23 函数的解析式 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 25 51 五 已知面积求解析式 8 直线 l 过点 A 4 0 和 B 0 4 两点 它与二次函数 y ax 2的图象在第一象限内交于点 P 若 S AOP 求二次函数关系式 92 六 已知图形变换求解析式 9 已知抛物线 C1 y ax 2 bx c 经过点 A 1 0 B 3 0 C 0 3 1 求抛物线 C1的解析式 2 将抛物线 C1向左平移几个单位长度 可使所得的抛物线 C2经过坐标原点 并写 出 C2的解析式 七 运用根与系数的关系求解析式 10 已知抛物线 y x 2 2mx m 2 m 2 1 直线 l y x 2 是否经过抛物线的顶点 2 设该抛物线与 x 轴交于 M N 两点 当 OM ON 4 且 OM ON 时 求出这条 抛物线的解析式 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 26 51 22 2 二次函数与一元二次方程 22 2 1 二次函数与一元二次方程之间的关系 1 一元二次方程 ax2 bx c 0 的实数根 就是二次函数 y ax 2 bx c 当 时 自变量 x 的值 它是二次函数的图象与 x 轴交点的 2 抛物线 y ax 2 bx c 与 x 轴交点个数与一元二次方程 ax2 bx c 0 根的判别式的 关系 当 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴 交点 当 b2 4ac 0 时 抛物线 与 x 轴有 交点 当 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有 交点 知识点 1 二次函数与一元二次方程 1 抛物线 y 3x 2 x 2 与坐标轴的交点个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 2 如图 已知抛物线与 x 轴的一个交点 A 2 0 对称轴是 x 1 则该抛物线与 x 轴 的另一个交点的坐标是 A 2 0 B 3 0 C 4 0 D 5 0 3 抛物线 y x 2 6x m 与 x 轴只有一个公共点 则 m 的值为 4 绿茵场上 足球运动员将球踢出 球的飞行高度 h 米 与前行距离 s 米 之间的关系为 h s s2 那么当足球落地时距离原来的位置有 米 45 2125 知识点 2 利用二次函数求一元二次方程的近似解 5 根据下列表格的对应值 判断方程 ax2 bx c 0 a 0 a b c 为常数 一个解的范 围是 x 2 23 2 24 2 25 2 26 ax2 bx c 0 06 0 02 0 03 0 09 A 2 x 2 23 B 2 23 x 2 24 C 2 24 x 2 25 D 2 25 x 2 26 6 用图象法求一元二次方程 2x2 4x 1 0 的近似解 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 27 51 知识点 3 二次函数与不等式 7 二次函数 y x 2 x 2 的图象如图所示 则函数值 y 0 时 x 的取值范围是 A x 1 B x 2 C 1 x 2 D x 1 或 x 2 第 7 题图 第 8 题图 8 如图是二次函数 y ax 2 bx c 的部分图象 由图象可知不等式 ax2 bx c 0 的解 集是 A 1 x 5 B x 5 C x 1 且 x 5 D x 1 或 x 5 9 已知二次函数 y ax 2 bx c 中 函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表 x 1 0 1 2 3 y 10 5 2 1 2 则当 y 5 时 x 的取值范围是 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 28 51 10 已知函数 y x 2 2x 3 当 x m 时 y 0 则 m 的值可能是 A 4 B 0 C 2 D 3 11 根据表格中的对应值 判断方程 ax2 bx c 0 a 0 a b c 为常数 的根的个数是 x 5 17 5 18 5 19 5 20 ax2 bx c 0 02 0 01 0 02 0 04 A 0 B 1 C 2 D 1 或 2 12 抛物线 y ax 2 bx c 的图象如图 则关于 x 的方程 ax2 bx c 2 0 的情况是 A 有两个不相等的实数根 B 有两个异号的实数根 C 有两个相等的实数根 D 没有实数根 13 抛物线 y 2 x 3 x 2 与 x 轴的交点坐标分别为 14 1 用配方法把二次函数 y x 2 4x 3 化成 y x h 2 k 的形式 2 在直角坐标系中画出 y x2 4x 3 的图象 3 若 A x1 y 1 B x 2 y 2 是函数 y x 2 4x 3 图象上的两点 且 x1 x 2 1 请比 较 y1 y 2的大小关系 直接写结果 4 把方程 x2 4x 3 2 的根在函数 y x 2 4x 3 的图象上表示出来 15 二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图象如图 根据图象解答下列问题 1 写出方程 ax2 bx c 0 的两个根 2 写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围 3 若方程 ax2 bx c k 有两个不相等的实数根 求 k 的取值范围 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 29 51 17 已知抛物线 y ax 2 bx c a 0 的图象与 x 轴交于 A x1 0 B x 2 0 x 1 x 2 两点 与 y 轴交于点 C x 1 x 2是方程 x2 4x 5 0 的两根 1 若抛物线的顶点为 D 求 S ABC S ACD 的值 2 若 ADC 90 求二次函数的解析式 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 30 51 22 2 2 二次函数 y ax 2 bx c 的图象与字母系数的关系 抛物线 y ax 2 bx c 的图象与字母系数 a b c 之间的关系 1 当 a 0 时 开口 当 a 0 时 开口 2 若对称轴在 y 轴的左边 则 a b 若对称轴在 y 轴的右边 则 a b 3 若抛物线与 y 轴的正半轴相交 则 c 0 若抛物线与 y 轴的负半轴相交 则 c 0 若抛物线经过原点 则 c 0 4 当 x 1 时 y ax 2 bx c a b c 当 x 1 时 y ax 2 bx c a b c 当 x 2 时 y ax 2 bx c 4a 2b c 当 x 2 时 y ax 2 bx c 4a 2b c 5 当对称轴 x 1 时 x 1 所以 b 2a 此时 2a b 0 b2a 当对称轴 x 1 时 x 1 所以 b 2a 此时 2a b 0 b2a 6 b 2 4ac 0 二次函数与横轴有两个交点 b 2 4ac 0 二次函数与横轴有一个交点 b 2 4ac 0 二次函数与横轴无交点 知识点 1 二次函数图象与字母系数的关系 1 二次函数 y ax 2 bx c 的图象如图所示 则下列关系式错误的是 A a 0 B c 0 C b 2 4ac 0 D a b c 0 第 1 题图 第 2 题图 第 4 题图 2 二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图象如图所示 下列结论正确的是 A a 0 B b 2 4ac 0 C 当 1 x 3 时 y 0 D 1 b2a 3 二次函数 y x 2 bx c 中 若 b c 0 则它的图象一定过点 A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 4 二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图象如图所示 若 M a b c N 4a 2b c P 2a b 则 M N P 中 值小于 0 的数有 A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 31 51 知识点 2 函数图象的综合 5 若正比例函数 y mx m 0 y 随 x 的增大而减小 则它和二次函数 y mx 2 m 的图 象大致是 6 二次函数 y ax 2 bx 的图象如图所示 那么一次函数 y ax b 的图象大致是 7 在同一坐标系内 一次函数 y ax b 与二次函数 y ax 2 8x b 的图象可能是 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 32 51 8 已知二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图象如图所示 则下列结论中正确的是 A ac 0 B 当 x 1 时 y 随 x 的增大而减小 C b 2a 0 D x 3 是关于 x 的方程 ax2 bx c 0 a 0 的一个根 第 8 题图 第 9 题图 第 11 题图 9 二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图象如图 其对称轴为 x 1 下列结论中错误的是 A abc 0 B 2a b 0 C b 2 4ac 0 D a b c 0 10 已知二次函数 y kx 2 7x 7 的图象和 x 轴有交点 则 k 的取值范围是 A k B k 且 k 0 74 74 C k D k 且 k 0 74 74 11 已知二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图象如图所示 且关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c m 0 没有实数根 有下列结论 b 2 4ac 0 abc 0 m 2 其 中正确结论的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 12 如图 抛物线 y ax 2 bx c a 0 的对称轴是过点 1 0 且平行于 y 轴的直线 若点 P 4 0 在该抛物线上 则 4a 2b c 的值为 第 12 题图 第 13 题图 13 如图 二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图象的顶点为点 D 其图象与 x 轴的交点 A B 的横坐标分别为 1 3 与 y 轴负半轴交于点 C 在下面四个结论中 2a b 0 a b c 0 c 3a 只有当 a 时 ABD 是等腰直角三角 12 形 其中正确的结论是 只填序号 14 如图 抛物线 y ax 2 bx c 与 x 轴交于 A D 两点 与 y 轴交于点 C 抛物线的顶 点 B 在第一象限 若点 A 的坐标为 1 0 试分别判断 a b c b 2 4ac 2a b 2a b a b c a b c 的符号 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 33 51 15 已知关于 x 的二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图象经过点 C 0 1 且与 x 轴交于不 同的两点 A B 点 A 的坐标是 1 0 1 求 c 的值 2 求 a 的取值范围 16 如图 直线 y x m 和抛物线 y x 2 bx c 都经过点 A 1 0 B 3 2 1 求 m 的值和抛物线的解析式 2 求不等式 x2 bx c x m 的解集 直接写出答案 3 若 M a y 1 N a 1 y 2 两点都在抛物线 y x 2 bx c 上 试比较 y1与 y2的大 小 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 34 51 综合练习 一 二次函数的图象和性质 22 1 22 2 一 选择题 1 若抛物线 y ax 2经过点 P 1 3 则它也经过 A P 1 1 3 B P 2 1 3 C P 3 1 3 D P 4 3 1 2 二次函数 y ax 2 bx c 图象上部分点的坐标满足下表 x 3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 则该函数图象的顶点坐标为 A 3 3 B 2 2 C 1 3 D 0 6 3 把抛物线 y x 2 bx c 的图象向右平移 3 个单位 再向下平移 2 个单位 所得图象的 解析式为 y x 2 3x 5 则 A b 3 c 7 B b 6 c 3 C b 9 c 5 D b 9 c 21 4 二次函数的图象如图所示 则它的解析式为 A y x 2 4 B y 4 x 2 C y 4 x 2 D y 2 x 2 34 34 第 4 题图 第 6 题图 5 函数 y ax b 与 y ax 2 b 在同一坐标系中的大致图象是 6 如图 平面直角坐标系中 两条抛物线有相同的对称轴 则下列关系正确的是 A m n k h B m n k h C m n k h D m n k h 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 35 51 7 如图为抛物线 y ax 2 bx c 的图象 A B C 为抛物线与坐标轴的交点 且 OA OC 1 则下列关系中正确的是 A a b 1 B a b 1 C b 2a D ac 0 第 7 题图 第 8 题图 8 二次函数 y ax 2 bx c a 0 的部分图象如图所示 图象过点 1 0 对称轴为直 线 x 2 下列结论 4a b 0 9a c 3b 8a 7b 2c 0 当 x 1 时 y 的值随 x 值的增大而增大 其中正确的结论有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 二 填空题 9 已知下列函数 y x 2 y x 2 y x 1 2 2 其中图象通过平移可以得到函 数 y x 2 2x 3 的图象的有 填写所有正确选项的序号 10 已知点 A x1 y 1 B x 2 y 2 在二次函数 y x 1 2 1 的图象上 若 x1 x 2 1 则 y1 y2 填 或 11 已知以 x 为自变量的二次函数 y m 3 x 2 m 2 m 6 的图象经过原点 则 m 12 已知抛物线的顶点是 0 1 对称轴是 y 轴 且经过 3 2 则此抛物线的解析式 为 当 x 0 时 y 随 x 的增大而 13 如图 已知抛物线 y x 2 bx c 经过点 0 3 请你确定一个 b 的值 使该抛物 线与 x 轴的一个交点在 1 0 和 3 0 之间 你所确定的 b 的值是 14 已知抛物线 y x 2 a 2 x 9 的顶点在坐标轴上 则 a 的值是 三 解答题 15 已知抛物线 y a x 3 2 2 经过点 1 2 1 求 a 的值 2 若点 A m y 1 B n y 2 m n 3 都在该抛物线上 试比较 y1与 y2的大小 人教版新课标九年级上册 第二十二章 二次函数 智易方教育培优部 Fmm制 36 51 16 二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图象如图所示 根据图象解答下列问题 1 写出方程 ax2 bx c 2 0 的根的情况 2 写出 y